初中學(xué)段方程體系起始課教學(xué)構(gòu)想

邢成云

【摘 要】 方程是刻畫現(xiàn)實(shí)世界的一個(gè)有效的數(shù)學(xué)模型，其本質(zhì)是描述現(xiàn)實(shí)世界中的等量關(guān)系，而作為整個(gè)方程系統(tǒng)的起始課，要具有統(tǒng)領(lǐng)性和先行組織性，除了實(shí)現(xiàn)如何從算式走向方程外，還擔(dān)負(fù)著建構(gòu)方程基本結(jié)構(gòu)的功能，為此對這一體系的起始課進(jìn)行了整體教學(xué)設(shè)計(jì)，以實(shí)現(xiàn)算式到方程的平穩(wěn)過渡和方程體系的建構(gòu)，形成結(jié)構(gòu)性思維，指向數(shù)學(xué)核心、指向數(shù)學(xué)本質(zhì)，落實(shí)好方程教學(xué)的德化育人目標(biāo)。

【關(guān)鍵詞】 方程體系;起始課;教學(xué)構(gòu)想

1 基本認(rèn)識(shí)

方程在小學(xué)已經(jīng)接觸，對此有了初步的感知，但一般停留在“它是含有未知數(shù)的等式”這一形式化定義的外部表征層面上，初中學(xué)段再認(rèn)識(shí)方程，應(yīng)然是立足方程的本質(zhì)而教.方程的本質(zhì)是描述現(xiàn)實(shí)世界中的等量關(guān)系，它將未知數(shù)置于和已知數(shù)同等的地位，是用等號將相互等價(jià)的兩件事情聯(lián)立，并尋找未知數(shù)的過程，可通俗理解為“殊途同歸”，也可以理解為朝向同一對象“算兩次”，它是數(shù)學(xué)領(lǐng)域的重要內(nèi)容，是刻畫現(xiàn)實(shí)世界的一個(gè)有效的數(shù)學(xué)模型.

另外，本節(jié)課落腳于一元一次方程，其內(nèi)容既是用“模型思想”解決實(shí)際問題的開端，是代數(shù)的核心內(nèi)容之一;又是“數(shù)的運(yùn)算→算式→含字母的代數(shù)式→方程概念及列方程（組）→解方程（組）→方程及方程組的應(yīng)用”這樣的知識(shí)邏輯鏈條上的一個(gè)關(guān)鍵節(jié)點(diǎn);同時(shí)，它還是初中學(xué)段“二元一次方程組”和“一元二次方程”的回歸基地（根據(jù)地），是這兩部分知識(shí)的“最近發(fā)展區(qū)”.

作為整個(gè)方程系統(tǒng)的起始課，除了實(shí)現(xiàn)如何從算式走向方程外，還擔(dān)負(fù)著建構(gòu)方程基本結(jié)構(gòu)的功能，為此，筆者通過通盤考慮定位，設(shè)計(jì)了本節(jié)起始課教學(xué).

首先解決第一個(gè)問題——算式到方程的平穩(wěn)過渡.由于小學(xué)生通過多年列算式的強(qiáng)定勢，對方程存有排斥心理，甚者說對列算式情有獨(dú)鐘，怎么辦？營造一種用方程比用算式便捷的例子，形成反差，制造認(rèn)知沖突（因?yàn)樗荏w現(xiàn)數(shù)學(xué)內(nèi)在矛盾，又能在消除沖突的情緒傾向下產(chǎn)生問題及思路的直覺，這種直覺引導(dǎo)學(xué)生思考的方向），讓學(xué)生初步體會(huì)從算式到方程的進(jìn)步，在比較中，感知與體驗(yàn)，當(dāng)然這個(gè)轉(zhuǎn)化不可能一節(jié)課內(nèi)完成，需要后續(xù)的不斷策動(dòng)、感化，讓學(xué)生對方程的優(yōu)越性體會(huì)的更深刻，自然就會(huì)從“算式陣營”走到“方程陣營”中去，我們不是強(qiáng)拖硬拽，而是定位自然轉(zhuǎn)場.由此啟用了以下兩例：

（1）猜年齡

李玲今年12歲，去年，她爸爸的年齡與她年齡的3倍的和是69歲，請問，李玲爸爸今年多少歲？

（2）丟番圖的墓志銘

古希臘數(shù)學(xué)家丟番圖的墓碑上記載著：

“他生命的六分之一是幸福的童年;

再活了他生命的十二分之一，兩頰長起了細(xì)細(xì)的胡須;

他結(jié)了婚，又度過了一生的七分之一;

再過五年，他有了兒子，感到很幸福;

可是兒子只活了他父親全部年齡的一半;

兒子死后，他在極度悲痛中度過了四年，也與世長辭了.”

說明 問題1可用兩個(gè)方法，看不出各自的優(yōu)勢，但2就不同了，算術(shù)法也可行但費(fèi)力，甚至列不出，而用方程就是舉手之勞！如此的反差有策動(dòng)之力.

方程初始課的高立意就是用方程的觀念和思想引領(lǐng)學(xué)生思考，體會(huì)為什么要學(xué)方程？用方程解決問題是怎樣想的、方程相比算式的優(yōu)越性，讓算式的局限窘迫凸現(xiàn)出來，給學(xué)生感知的落差，督使學(xué)生朝向的轉(zhuǎn)移，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)育人的高立意.

第二個(gè)問題——建構(gòu)方程體系.借助文字語言與符號語言的轉(zhuǎn)換，滲透符號意識(shí)，列出方程，而后發(fā)動(dòng)學(xué)生設(shè)定標(biāo)準(zhǔn)歸類，勾勒出（有理）方程的整體框架，這是其一;而后提出問題，從算式到方程，算式直接獲得了問題的答案，而方程不是，怎么辦？由此呼出或喚醒解方程與方程解的概念，接著選擇蘊(yùn)有可用等式性質(zhì)潛質(zhì)的一元一次方程，提出解方程首先需要研究等式性質(zhì)（當(dāng)然也屬于喚醒內(nèi)容，小學(xué)研究過）.如此，方程的研究思路就呈現(xiàn)出來了.

教學(xué)目標(biāo)：

（1）用方程表述實(shí)際問題中的數(shù)量關(guān)系，感知其必要性和合理性;

（2）通過多次對實(shí)際問題中數(shù)量關(guān)系的分析，體會(huì)到方程相比于算式的優(yōu)越性之所在，初步感受方程是刻畫現(xiàn)實(shí)世界的有效模型，滲透應(yīng)用意識(shí)、符號意識(shí);

（3）通過分類方程建構(gòu)方程概念體系，從整體上把握一元一次方程這一章節(jié)的核心內(nèi)容，知曉這一章節(jié)的學(xué)習(xí)任務(wù).

教學(xué)重點(diǎn)：體悟方程模型之用.

教學(xué)難點(diǎn)：如何實(shí)現(xiàn)算術(shù)法到方程模型解決實(shí)際問題的過渡、轉(zhuǎn)化.

2 教學(xué)設(shè)計(jì)

2.1 選準(zhǔn)起點(diǎn)，比對凸顯

問題1：猜年齡：李玲今年12歲，去年，她爸爸的年齡與她年齡的3倍的和是69歲，請問，李玲爸爸今年多少歲？

問題2：丟番圖的墓志銘（略，見以上）

設(shè)計(jì)意圖 通過學(xué)生的交流體會(huì)方程優(yōu)于算式的地方，順向與逆向的較量，單純已知數(shù)字參與的運(yùn)算和已知數(shù)、未知數(shù)共同參與的運(yùn)算的對決與反差，應(yīng)該能對學(xué)生產(chǎn)生一定的沖擊力，在對比中瓦解學(xué)生的初始認(rèn)識(shí)，為轉(zhuǎn)向方程搭起支架;另外，通過使用丟番圖墓志銘這一數(shù)學(xué)故事，激發(fā)學(xué)習(xí)的興致，感受數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的趣味之所在，并感悟數(shù)學(xué)的人文性及歷史價(jià)值，培養(yǎng)善于探索的數(shù)學(xué)思維品質(zhì).

2.2 反思總結(jié)，梳理思路

引導(dǎo)學(xué)生再次審視問題1、2列方程的過程，梳理出列方程的基本步驟：找等量關(guān)系—設(shè)元—列方程，簡記為“找—設(shè)—列”，實(shí)現(xiàn)實(shí)際問題向數(shù)學(xué)問題的轉(zhuǎn)化，其中展現(xiàn)的就是用數(shù)學(xué)的眼光看世界、用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界的抽象意識(shí)、模型意識(shí).

一個(gè)問題需要關(guān)注，算術(shù)法直接獲得了問題的答案，而方程沒有，怎么辦？自然引出方程的解和解方程的概念.（這些小學(xué)認(rèn)識(shí)過，只不過喚醒而已）

設(shè)計(jì)意圖 沒有反思就沒有建構(gòu)，不經(jīng)過學(xué)生的反思就難以沉淀.故在第一環(huán)節(jié)教學(xué)的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生反思自己獲得方程的過程與念頭，形成共性認(rèn)識(shí)，達(dá)成方程法的基本套路.通過與算術(shù)法直接獲取答案與方程法先是列了個(gè)方程比對，把解方程獲得方程的解的必要性給倒逼出來.

2.3 典例呈現(xiàn)，勾勒全貌

（1）環(huán)形跑道一周400米，沿跑道跑多少周，可以跑3000米？

（2）如圖1，天平左邊放著3個(gè)乒乓球，右邊放5.4克的砝碼和一個(gè)乒乓球恰好平衡，求一個(gè)乒乓球的質(zhì)量？

（3）甲種鉛筆每支0.3元，乙種鉛筆每支0.6元，用9元錢買了兩種鉛筆共20支，兩種鉛筆各買了多少支？

（4）一個(gè)長方形的長比寬多3，面積為120，求這個(gè)長方形的寬？

（5）一個(gè)數(shù)的倒數(shù)等于3，求這個(gè)數(shù)？

（6）李英買了單價(jià)分別為3元與2.4元的賀卡若干張，一共花了12.6元，問這兩種賀卡各買了多少張？

結(jié)合前面的2個(gè)方程，獲得如下8個(gè)方程：

教學(xué)預(yù)設(shè) 引導(dǎo)學(xué)生給出標(biāo)準(zhǔn)嘗試分類，以呈現(xiàn)出初中學(xué)段的所有方程類型，并根據(jù)外形嘗試命名.特別凸顯對“元”、“次”的認(rèn)識(shí).而后作出介紹：元習(xí)慣用x、y、z等26個(gè)字母中后程的字母表示，首開先河的是笛卡爾，我國古代用的是天元術(shù)“天元、地元、人元、物元”來表示未知數(shù)（注：“元”因此而得名）.

設(shè)計(jì)意圖 進(jìn)一步熟悉列方程，體驗(yàn)以方程模型為載體的抽象，一是對環(huán)節(jié)2.2的落實(shí)，體驗(yàn)方程模型的有效性以及通過（4）列出一元二次方程⑥的優(yōu)越性來敲敲邊鼓，因?yàn)槎畏匠填惖膽?yīng)用很難用算術(shù)法解決，以策動(dòng)學(xué)生實(shí)現(xiàn)算術(shù)法向方程法的轉(zhuǎn)向，其必要性顯現(xiàn)出來;二是以此為載體整體呈現(xiàn)初中學(xué)段的方程全貌;三是滲透數(shù)學(xué)文化，給數(shù)學(xué)以溫度.讓同類概念在后繼的教學(xué)中不再重復(fù)、另起鍋灶，減低外部認(rèn)知負(fù)荷，節(jié)省學(xué)生的后繼學(xué)習(xí)力量，直擊各類方程本質(zhì)，便于核心知識(shí)的凝聚與整體套路的展望.

2.4 整體建構(gòu)，分享體會(huì)

在2.3環(huán)節(jié)的基礎(chǔ)上，類比筆者教材整合后的先行內(nèi)容有理式分類（整式、分式），把有理方程分成整式方程與分式方程兩類，然后通過追問的形式，把常見的整式方程（一元一次、二元一次、一元二次等）列舉出來，建構(gòu)起有理方程體系：

（有理）方程整式方程一元二次方程一元一次方程二元一次方程……分式方程（猜測）

然后提出問題：列出這些方程的目的何在？

教學(xué)預(yù)設(shè) 通過解方程去獲得實(shí)際問題的解決.

這樣就形成了一個(gè)問題解決的閉環(huán)：

接著啟用簡單例子（2）獲得的方程④：3x=5.4+x嘗試求解，目的是導(dǎo)出對“等式性質(zhì)”的研究.因?yàn)樾W(xué)通過天平已經(jīng)認(rèn)識(shí)了等式性質(zhì).所以對它的研究不會(huì)有多大阻力，至此，方程的開篇就整體落地了.

然后基于數(shù)學(xué)自身趨簡的意識(shí)，揭開研究最基礎(chǔ)的“一元一次方程”的序幕，把一元一次方程的相關(guān)概念（一元一次方程、一元一次方程的解、解一元一次方程等）明確.

設(shè)計(jì)意圖 布爾巴基學(xué)派曾指出：“數(shù)學(xué)并非是研究數(shù)量的，而是研究結(jié)構(gòu)的科學(xué).”通過師生、生生交流，勾勒出有理方程的結(jié)構(gòu)全貌以及形成實(shí)際問題獲解的化歸閉環(huán)，整體建構(gòu)方程體系，前瞻后聯(lián)，最后落腳于方程基地——一元一次方程.

2.5 聚焦重點(diǎn)，著眼發(fā)展

問題單：

（1）通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你對算式與方程在解決實(shí)際問題的作用有什么新的認(rèn)識(shí)？

（2）列舉列方程的基本步驟？列方程的目的何在？

（3）你認(rèn)為研究方程需要研究什么問題？

教學(xué)說明 有了問題（1）（2）的鋪墊，（3）的展望就有了根基，在概念建構(gòu)的基礎(chǔ)上，指出先研究一元一次方程的解法與應(yīng)用，然后通過“元、次”比對，設(shè)想出求解基本路徑“消元、降次”，整體的化歸思路凸顯出來.結(jié)合2.4的結(jié)構(gòu)完善體系如下：

設(shè)計(jì)說明 問題單使用元認(rèn)知問句，用生長性小結(jié)，立足當(dāng)下，展望未來，統(tǒng)攝方程體系，形成策略性知識(shí)——列方程，求方程的解，解決實(shí)際問題.

2.6 分層作業(yè)，各顯其能

必做題：（1）列方程：

①某校7年級1班共有學(xué)生48人，其中女生人數(shù)比男生人數(shù)的45多3人，這個(gè)班有男生多少人？

②今年上半年某鎮(zhèn)居民人均可支配收入為5109元，比去年同期增長了8.3%，去年同期這項(xiàng)收入為多少元？

③一列客車與一輛卡車同時(shí)從A地出發(fā)沿同一公路同方向行駛到B地，客車的行駛速度是65km/h，卡車的行駛速度是55 km/h，卡車比客車晚到半小時(shí)，A、B兩地的路程是多少？

④用買10個(gè)大水杯的錢，可以買15個(gè)小水杯，大水杯比小水杯的單價(jià)多5元，兩種水杯的單價(jià)各多少元？

（2）嘗試解方程：①x+7=21;②1-2x=5;③2x-1=4+5x.

設(shè)計(jì)說明 列方程的題目來自于教材或教材改編，解方程的題目有的出自于本節(jié)課的教學(xué)所得，是一次資源的再利用，尤其是復(fù)雜方程，就直接取之于課堂.3 反思評價(jià)

3.1 教學(xué)的高品位

章建躍博士認(rèn)為，只有充分地挖掘數(shù)學(xué)知識(shí)蘊(yùn)涵的價(jià)值觀資源，并在教學(xué)中將知識(shí)教學(xué)與價(jià)值觀影響融為一體，才能真正體現(xiàn)“數(shù)學(xué)育人”.其中，至關(guān)重要的是要提高課堂教學(xué)的思想性.在課堂教學(xué)實(shí)踐中，要做到“高立意，低起點(diǎn)”[1].本節(jié)教學(xué)設(shè)計(jì)就是對此的一種踐行、一種嘗試，接軌小學(xué)的所識(shí)，用方程的魅力濡染學(xué)生，力圖實(shí)現(xiàn)算式到方程的初步轉(zhuǎn)身.

方程是研究數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型，可以幫助人們從數(shù)量關(guān)系的角度更準(zhǔn)確、清晰地認(rèn)識(shí)、描述和把握現(xiàn)實(shí)世界.因此，在本節(jié)方程體系起始課的學(xué)習(xí)中，除了建構(gòu)基本體系外，還應(yīng)聚焦方程相比算式方程的價(jià)值和方程思想，把重心放在關(guān)注建模和應(yīng)用過程，讓學(xué)生體會(huì)為什么要學(xué)方程、用方程解決問題是怎樣想的，以涵養(yǎng)學(xué)生良好的方程思想及觀念等，增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)符號意識(shí)、應(yīng)用意識(shí)、建模意識(shí)，這些應(yīng)然是方程教學(xué)實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)育人的最重要的目標(biāo)，如此為教才是高品位、高立意的教學(xué).

3.2 對立的統(tǒng)一體

如果把算式方法看做原始的“石器”時(shí)代，方程方法就是在知識(shí)、思想和方法上有了重大發(fā)展的“銅器”時(shí)代[2].但二者不是“老死不相往來”的對立，算術(shù)法其實(shí)是方程法的根脈，是最簡單形式的方程“x=？”，就因?yàn)樨?fù)擔(dān)一邊偏，所以思考起來相對費(fèi)力，對此，孫維剛老師有過經(jīng)典的論述：

算術(shù)方法為什么難？是因?yàn)樗@個(gè)方程的左端是x，于是整個(gè)題目思考的勞動(dòng)量，全部集中到了右端;而列方程的方法，一般情況下，把思考量分擔(dān)到了左右兩端，每端的思考負(fù)荷都不大[3].

孫老師的論斷很形象，就是說方程的優(yōu)越性在于把積聚在一側(cè)的思維量實(shí)施了分?jǐn)偅粗c已知和平相處，而算術(shù)法往往是集中于一側(cè)，拉大了思維量，若題目復(fù)雜會(huì)讓學(xué)生不得思路而失敗.從經(jīng)濟(jì)的角度選擇方程是上策，可我們的學(xué)生剛從小學(xué)的算術(shù)法走來，對算術(shù)法的依賴不亞于嬰兒對母親的依賴，初始的教學(xué)常會(huì)有阻力的產(chǎn)生.如何幫助學(xué)生順利轉(zhuǎn)軌是教學(xué)設(shè)計(jì)的關(guān)鍵，轉(zhuǎn)得慢就妨礙著進(jìn)入初中學(xué)程的進(jìn)展.但不管怎樣，也得慢慢來，不能操之過急.

3.3 起始的統(tǒng)攝力

作為起始課，具有統(tǒng)領(lǐng)性，整體建構(gòu)方程的學(xué)習(xí)體系與研究思路，形成結(jié)構(gòu)性思維，讓遷移好發(fā)生，讓后續(xù)的方程教學(xué)不再在這些非核心的概念外形上糾纏，便于聚焦力量，指向數(shù)學(xué)核心、指向數(shù)學(xué)本質(zhì).需要說明的是，雖然建構(gòu)了方程體系，但沒有在不同類型方程概念的識(shí)別上下功夫，而是把重心放在了理解方程本質(zhì)、方程思想，樹立用方程的符號意識(shí)、建模意識(shí)上，以此理性思維、理性精神指向核心素養(yǎng)，去落實(shí)數(shù)學(xué)學(xué)科的德化育人.

參考文獻(xiàn)

[1]章建躍.中學(xué)數(shù)學(xué)課改的十個(gè)論題[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（中旬），2010（3）：2～4

[2]項(xiàng)武義.基礎(chǔ)代數(shù)學(xué)[M].北京：人民教育出版社，2011：代序.

[3]孫維剛.全班55%怎樣考上北大、清華[M].長春：北方婦女兒童出版社，1999.9