法叢平坦子流形的余維數(shù)限定*

馬賽飛，郭震，王愛蕊

(云南師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，云南 昆明 650500)

1 引 言

設(shè)x:Mn→Nn+p是n維黎曼流形Mn到n+p維黎曼流形Nn+p的等距浸入，其中p稱為余維數(shù)，當(dāng)Mn和余維數(shù)p滿足一定條件時，Mn可等距嵌入到一個歐氏空間中作為子流形，這是與子流形余維數(shù)相關(guān)的問題，一直以來受到了很多數(shù)學(xué)家的關(guān)注[1].根據(jù)Nash的嵌入定理[2]，可知每個黎曼流形可以等距嵌入到維數(shù)足夠高的歐氏空間中,因此自然就提出一個問題：能否尋找一個維數(shù)足夠低的歐氏空間，使得一個黎曼流形能夠嵌入到這個歐氏空間中去,對此問題前人做了大量的研究.

本文研究法叢平坦子流形的余維數(shù)，考慮當(dāng)黎曼流形Nn+p為具有常截曲率c的空間形式的情況，記為Nn+p(c),得到如下定理.

定理1 設(shè)x:Mn→Nn+p(c)(p≥2)是n維黎曼流形Mn到n+p維空間形式Nn+p(c)的等距浸入子流形，若Mn的法叢平坦，則余維數(shù)不超過子流形的維數(shù)，即p≤n.

2 記號、定義和基本公式

Nn+p(c)是具有標(biāo)準(zhǔn)度量〈·,·〉的n+p維常曲率為c的空間形式，Mn是該空間形式中具有平坦法叢的子流形.在Nn+p(c)上選取局部正交標(biāo)架場{eA},{ωA}為其對偶標(biāo)架，使其限制在Mn上有{ei}切于Mn,{eα}法于Mn,且有如下指標(biāo)約定：

1≤A,B,C，…≤n+p,1≤i,j,k,l,…≤n,n+1≤α,β,γ,…≤n+p

Nn+p(c)在基底下的結(jié)構(gòu)方程為:

(1)

Rαβij=0,ωαβ=0

(2)

空間形式Nn+p(c)的子流形的結(jié)構(gòu)方程為：

上述方程可積條件為：

又由(2)式的第一式有

(3)

3 定理的證明

證明定理前先證如下命題.

證明由題設(shè)條件R⊥=0及(3)式有

(4)

對法標(biāo)架場en+1,…,e2n作法標(biāo)架變換有：

(5)

由矩陣秩的性質(zhì)，有rankB≤min(n，p),其中rankB為矩陣B的秩.若p>n,則有rankB≤n,由此可對矩陣B的秩進(jìn)行分類討論.

(6)

設(shè)

并結(jié)合(5)式和(6)式有

(7)

由(7)式有

同理有Aη2n+1=……=Aη2n+r=0.

Case2：rankB

定理1的證明取ηn+1,…,η2n,η2n+1,…,ηn+p(p>n)為Mn的法標(biāo)架場，則由(2)式和定理條件并結(jié)合命題1有x:Mn→Nn+p(c)在此標(biāo)架下的結(jié)構(gòu)方程為：

(8)

由(8)式有

d(η2n+1Λ…Ληn+p)=0

(9)

由(9)式容易得出p-n個矢量外積η2n+1Λ…Ληn+p在Mn上為常量，因此，子流形Mn包含于一個線性空間ν,且ν⊥=span{η2n+1,…,ηn+p}?Np-n為p-n維固定子空間，從而Mn含于N2n中作為子流形，由此定理得證.