數(shù)理結(jié)合的賽題典例
——第35屆全國(guó)中學(xué)生物理競(jìng)賽預(yù)賽第6題的4種解法

鐘云杰 柏露枝

(江蘇省常州市北郊高級(jí)中學(xué),江蘇 常州 213031)

填空題:田徑場(chǎng)上某同學(xué)將一鉛球以初速度v0拋出,該鉛球拋出點(diǎn)的高度為H．鉛球在田徑場(chǎng)上的落點(diǎn)與鉛球拋出點(diǎn)的最大水平距離為_(kāi)_______,對(duì)應(yīng)的拋射角θ為_(kāi)_______．重力加速度為g．

1 命題意圖研判

數(shù)學(xué)知識(shí)既是解決物理問(wèn)題的工具,更是物理學(xué)發(fā)展的支撐和保障．應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決物理問(wèn)題的能力既是高考考查學(xué)生物理能力之一,也是全國(guó)中學(xué)生物理競(jìng)賽考查學(xué)生解決物理問(wèn)題能力水平的重要內(nèi)容之一．第35屆全國(guó)中學(xué)生物理競(jìng)賽預(yù)賽第6題的解法中,蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想和方法,因此,該題的命題意圖旨在通過(guò)求斜上拋運(yùn)動(dòng)的最大水平射程,凸顯中學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決物理問(wèn)題的能力水平．現(xiàn)由該題的四種解法展示命題本意．

2 4種解題方法

圖1

方法1:分解速度法.

拋體運(yùn)動(dòng)常規(guī)的處理方法是,將運(yùn)動(dòng)分解為水平方向的勻速直線運(yùn)動(dòng)和豎直方向的豎直上拋運(yùn)動(dòng),如圖1所示．由勻速直線運(yùn)動(dòng)和豎直上拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律得

vx=v0cosθ.

(1)

vy=v0sinθ.

(2)

x=vxt.

(3)

(4)

由(1)-(4)式可得

(5)

(5)式可化為

(6)

顯然(6)式是以tanθ為參數(shù)的一元二次方程,因?yàn)棣扔薪?

所以Δ≥0,即

由此解得

解法認(rèn)知:解決拋體運(yùn)動(dòng)問(wèn)題,通常是將拋體運(yùn)動(dòng)分解為水平方向和豎直方向兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)來(lái)處理．雖然方法1是一種常規(guī)的分解速度法解拋體運(yùn)動(dòng)問(wèn)題,但對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)方程知識(shí)、三角函數(shù)知識(shí)的應(yīng)用能力有一定的要求．

方法2:分解加速度法.

將加速度分解為與速度方向共線(反向)以及與速度方向垂直兩個(gè)方向,如圖2所示．由圖2可知,物體在初速度方向做勻減速直線運(yùn)動(dòng),在垂直初速度方向做初速度為0的勻加速直線運(yùn)動(dòng)．

由圖3可見(jiàn),當(dāng)物體沿初速度方向速度減為0時(shí),物體沿初速度方向位移達(dá)到最大(Q1位置),此時(shí)物體到達(dá)地面的實(shí)際位置達(dá)到最遠(yuǎn),即Q位置,BQ長(zhǎng)度即為所要求的最大射程xm;圖3中∠BAO等于所要求的對(duì)應(yīng)拋射角θ．

圖2

圖3

由加速度分解可得

g0=gsinθ.

(1)

v0方向的最大位移為

(2)

由幾何關(guān)系可知∠BAO=∠Q2QO，故有

(3)

有(1)-(3)式可得

(4)

(4)式由基本不等式規(guī)律可知

即

(5)

將式(5)代入式(4)得

圖4

解法認(rèn)知:運(yùn)動(dòng)的分解具有多向性．分解加速度求解拋體運(yùn)動(dòng)問(wèn)題比分解速度求解拋體運(yùn)動(dòng)問(wèn)題在思想層面上突破常規(guī)．但分解加速度這種求解方法,對(duì)學(xué)生幾何知識(shí)和不等式知識(shí)的應(yīng)用能力有一定的要求．

方法3:自然分解法.

將物體的運(yùn)動(dòng)分解為沿初速度方向的勻速直線運(yùn)動(dòng)和豎直方向的自由落體運(yùn)動(dòng),如圖4所示.由此得:

在初速度方向有

x0=v0t.

(1)

在豎直方向有

(2)

由幾何關(guān)系可得

(3)

由式(1)-(3)可得

(4)

(4)式中,將t2作為自變量,可知

(5)

(6)

(7)

將式(6)代入式(1)可知

(8)

由于拋射角θ和x0、xm的關(guān)系滿足:

(9)

所以由式(7)-(9)可知

解法認(rèn)知:自然是一種狀態(tài),解題的自然性、本屬性是思維的基本出發(fā)點(diǎn)．基于運(yùn)動(dòng)的自然性,拋體運(yùn)動(dòng)是初速度方向和豎直方向兩種運(yùn)動(dòng)的合運(yùn)動(dòng)也就順以為然．顯然從初速度方向的勻速直線運(yùn)動(dòng)和豎直方向的自由落體運(yùn)動(dòng)求解此題不失為一種基本的、自然的求解方法,但這種解法中凸顯出對(duì)一元二次方程和二次函數(shù)知識(shí)的靈活應(yīng)用水平．

方法4:動(dòng)能定理法.

由解法1的圖1可知

vx=v0cosθ.

(1)

x=vxt.

(2)

由式(1)、(2)可得

x=v0tcosθ.

(3)

由于初速度v0確定,即初動(dòng)能確定;高度也確定,由動(dòng)能定理可知,末動(dòng)能確定,即末速度v的大小為定值．那么,由動(dòng)能定理有

(4)

圖5

末速度矢量分解如圖5,易發(fā)現(xiàn)速度矢量三角形面積為

(5)

由式(3)、(5)可得

(6)

而矢量三角形面積又滿足

(7)

由式(6)、(7)可知

(8)

要使x有最大值,則θ+α=90°,結(jié)合(4)后應(yīng)有

拋射角滿足

(9)

由式(4)、(9)可知

解法認(rèn)知:物理知識(shí)是解決物理問(wèn)題之本．動(dòng)能定理法求解此題,將功能思想融合在純運(yùn)動(dòng)問(wèn)題的解題之中,突破了解決純運(yùn)動(dòng)問(wèn)題的求解域界,實(shí)現(xiàn)了思維躍遷．但動(dòng)能定理法求解此題對(duì)學(xué)生向量知識(shí)、幾何知識(shí)和三角函數(shù)知識(shí)的靈活應(yīng)用能力有較高的要求．

綜上可見(jiàn),該題的4種解法,以運(yùn)動(dòng)的合成與分解為主體,以數(shù)學(xué)知識(shí)的綜合應(yīng)用為主知,以學(xué)生的數(shù)理結(jié)合能力為主導(dǎo)．總之,在這4種解法中,既體現(xiàn)了解決物理問(wèn)題的自然美和創(chuàng)新美,又體現(xiàn)了物理美和數(shù)學(xué)美在解決物理問(wèn)題中的結(jié)合美．