基于T-Map的飛機(jī)部件交點(diǎn)軸線公差轉(zhuǎn)化方法

肖 歡 朱永國(guó) 劉春鋒 周結(jié)華

1.南昌航空大學(xué)航空制造工程學(xué)院，南昌，3300632.金航數(shù)碼科技有限責(zé)任公司，北京，1000283. 江西洪都航空工業(yè)集團(tuán)有限責(zé)任公司部裝一廠，南昌，3300244. 南昌航空大學(xué)信息工程學(xué)院，南昌，330063

0 引言

飛機(jī)部件這種大型裝配件的對(duì)接裝配、測(cè)量過(guò)程中所使用的激光跟蹤儀、局部GPS等飛機(jī)數(shù)字化裝配精度檢測(cè)設(shè)備得到迅速發(fā)展與應(yīng)用，但這些數(shù)字化檢測(cè)設(shè)備都是基于點(diǎn)測(cè)量模式的，以測(cè)量點(diǎn)的坐標(biāo)值變動(dòng)來(lái)評(píng)價(jià)裝配準(zhǔn)確度[1]?？紤]到裝配中的裝配可行性、定位穩(wěn)定性等因素，采用數(shù)字化設(shè)備對(duì)裝配件進(jìn)行精度檢測(cè)需要對(duì)傳統(tǒng)的裝配方案進(jìn)行調(diào)整。由于調(diào)整后裝配基準(zhǔn)的變化致使裝配特征間的約束關(guān)系、幾何公差都產(chǎn)生變化，故要滿足設(shè)計(jì)要求必須重新進(jìn)行公差計(jì)算與分配。為了獲得基準(zhǔn)變換后基于點(diǎn)測(cè)量模式裝配方案的幾何公差，需要探索合理的公差轉(zhuǎn)化方法。

國(guó)內(nèi)外學(xué)者在公差表示和公差轉(zhuǎn)化方面已經(jīng)取得了一些成果。DESROCHERS[2]提出了工藝和拓?fù)湎嚓P(guān)表面(TTRS) 的幾何尺寸和公差(geometric dimension and tolerance,GD&T)表示方法，通過(guò)構(gòu)建TTRS的公差轉(zhuǎn)化模型進(jìn)行了公差轉(zhuǎn)化分析。THIMM等[3]為實(shí)現(xiàn)公差方案從設(shè)計(jì)到工藝的轉(zhuǎn)化，依據(jù)幾何公差的類型定義進(jìn)行規(guī)劃，以滿足設(shè)計(jì)與制造要求為前提，提高設(shè)計(jì)的可制造性為目的，進(jìn)行了幾何公差轉(zhuǎn)化系統(tǒng)開(kāi)發(fā)。LOUATI等[4]在小位移矢量簇(SDT)理論基礎(chǔ)上，通過(guò)功能幾何與基準(zhǔn)幾何空間位置的變換求解，獲得了三維幾何模型的公差約束條件，提出了基于SDT的幾何公差直接轉(zhuǎn)換方法。CAUX等[5]為實(shí)現(xiàn)幾何公差的轉(zhuǎn)換，通過(guò)基準(zhǔn)參考系下變動(dòng)幾何空間位置的矢量變換，提出了一種基于矢量表示的公差轉(zhuǎn)換方法。ANSELMETTI[6]通過(guò)公差鏈的微分變動(dòng)分析，提出了滿足ISO標(biāo)準(zhǔn)制造規(guī)范的線性模型公差轉(zhuǎn)換算法。胡潔等[7]提出了面向裝配的變動(dòng)幾何約束網(wǎng)絡(luò)概念，將變動(dòng)幾何進(jìn)行統(tǒng)一描述，建立了形位公差與幾何公差綜合的公差轉(zhuǎn)化模型。張開(kāi)富等[8]提出了基于關(guān)鍵特征和圖的裝配容差表示方法，建立了基于有向圖的、集成尺寸、形位及配合容差的裝配容差模型。胡偉等[9]建立了裝配精度信息模型，分析了航天器裝配關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)的公差作用影響以及不同幾何坐標(biāo)系下的裝配公差作用轉(zhuǎn)化機(jī)理，實(shí)現(xiàn)了裝配精度預(yù)測(cè)。鮑強(qiáng)偉等[10-11]為了研究尺寸及公差單元幾何特征之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系，根據(jù)幾何特征與信息單元的映射關(guān)系對(duì)功能幾何相關(guān)的公差累積方程進(jìn)行了推導(dǎo)，通過(guò)確定設(shè)計(jì)基準(zhǔn)、定位基準(zhǔn)和功能幾何位置信息，實(shí)現(xiàn)了裝配模型信息的層次化解析。

上述研究為公差轉(zhuǎn)化方法求解提供了不同思路，但仍存在以下問(wèn)題：①TTRS理論、SDT理論都未對(duì)基準(zhǔn)之間相互約束自由度下的公差轉(zhuǎn)化進(jìn)行分析，只是從基準(zhǔn)體系約束下功能幾何自由度的角度考慮公差轉(zhuǎn)化，容易導(dǎo)致基準(zhǔn)體系冗余或過(guò)約束；②上述方法都是利用公差漂移邊界求解幾何公差變動(dòng)區(qū)域，并且都是對(duì)部分幾何公差類型進(jìn)行解析，缺乏對(duì)自由度約束下的幾何公差求解，與美國(guó)機(jī)械工程師協(xié)會(huì)(ASME)標(biāo)準(zhǔn)對(duì)幾何公差的定義不一致；③上述方法并沒(méi)有在測(cè)量點(diǎn)的坐標(biāo)值變動(dòng)層面考慮幾何公差的變化，不適用于基于點(diǎn)測(cè)量模式的數(shù)字化裝配設(shè)備。

針對(duì)上述總結(jié)的3點(diǎn)問(wèn)題，本文提出了一種基于公差圖(T-Map)的公差轉(zhuǎn)化方法。T-Map公差模型是將幾何特征映射到歐氏空間的點(diǎn)空間模型，T-Map中的每個(gè)映射點(diǎn)對(duì)應(yīng)幾何特征的每一個(gè)可能的變動(dòng)位置，能夠直觀表示相同特征上的多個(gè)公差和在一個(gè)或多個(gè)指定修改材料條件的基準(zhǔn)特征，其邊界表示偏差范圍。DAVIDSON等[12]建立了標(biāo)準(zhǔn)平面特征的T-Map公差模型，BHIDE等[13]建立了圓柱特征的T-Map公差模型，在此基礎(chǔ)上，JIANG等[14]通過(guò)構(gòu)建T-Map，對(duì)零件加工過(guò)程中圓柱特征基準(zhǔn)轉(zhuǎn)換后加工公差的合理性進(jìn)行了驗(yàn)證。本文基于T-Map與ASME標(biāo)準(zhǔn)兼容以及表達(dá)直觀簡(jiǎn)潔等特點(diǎn)，將T-Map作為公差轉(zhuǎn)化的公差數(shù)學(xué)模型，以交點(diǎn)軸線為研究對(duì)象，構(gòu)建交點(diǎn)軸線的T-Map，提出基于T-Map的飛機(jī)部件交點(diǎn)軸線公差轉(zhuǎn)化方法。

1 基于T-Map的交點(diǎn)軸線公差模型構(gòu)建

飛機(jī)裝配協(xié)調(diào)中，交點(diǎn)軸線指兩交點(diǎn)連線，屬于直線類特征，其公差域?yàn)閳A柱域。圖1表示交點(diǎn)軸線的變動(dòng)區(qū)域，受4個(gè)自由度方向約束，其理論軸線可沿兩個(gè)平動(dòng)方向Tx、Ty和繞兩個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)方向Rx、Ry變動(dòng)，理論軸線軸長(zhǎng)為l，公差域大小為T(mén)，圓柱域的坐標(biāo)系Ocxcyczc位于圓柱幾何中心。

圖1 交點(diǎn)軸線的變動(dòng)區(qū)域Fig.1 The variable domain of Intersection axis

將交點(diǎn)軸線的變動(dòng)映射為T(mén)-Map，T-Map的每個(gè)坐標(biāo)軸對(duì)應(yīng)一個(gè)自由度方向，但由于轉(zhuǎn)動(dòng)與平動(dòng)的單位分別是角度與長(zhǎng)度，使得T-Map各坐標(biāo)軸的單位不統(tǒng)一,因此，利用等效線性變換對(duì)T-Map各坐標(biāo)軸單位進(jìn)行統(tǒng)一。三維空間中的直線可由Plücker坐標(biāo)(L,M,N,P,Q,R)表示，其中，L、M、N表示直線的方向變動(dòng)量，P、Q、R表示直線的位置變動(dòng)量[15]。圖1中，實(shí)際軸線相對(duì)理論軸線在Rx、Ry方向的變動(dòng)量分別對(duì)應(yīng)M、L，在Tx、Ty方向的變動(dòng)量分別對(duì)應(yīng)P、Q。設(shè)圓柱域上下表面中任意點(diǎn)的坐標(biāo)分別為p1(x1,y1,z1)和p2(x2,y2,z2)，則有z1=l/2，z2=-l/2。建立三維空間直線Plücker坐標(biāo)與p1、p2的關(guān)系：

(1)

式(1)中，理論軸線軸長(zhǎng)l是定值，所以N為定值；R是T的2階小項(xiàng)，可忽略不計(jì)。依據(jù)式(1)，利用Mv=lM/2和Lv=lL/2，對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)變動(dòng)量進(jìn)行等效線性變換?？紤]N為定值和R為可忽略的高階小項(xiàng)，將交點(diǎn)軸線對(duì)應(yīng)于T-Map中的映射點(diǎn)表示為Ω(P,Q,Mv,Lv)，該映射點(diǎn)能夠在歐氏空間中進(jìn)行表示。另外，各自由度方向的偏差波動(dòng)彼此相關(guān)，受公差域約束的交點(diǎn)軸線T-Map的邊界方程為

(2)

式(2)的幾何意義是四維空間中的兩個(gè)曲面相交的部分為交點(diǎn)軸線T-Map邊界。為此，設(shè)Ω(P,Q,Mv,Lv)中某項(xiàng)為0，則可在三維空間中表示映射點(diǎn)的波動(dòng)范圍，如Mv=0時(shí)的交點(diǎn)軸線T-Map見(jiàn)圖2。

圖2 Mv=0時(shí)的交點(diǎn)軸線T-Map Fig.2 T-Map of intersection axis when Mv=0

2 交點(diǎn)軸線基準(zhǔn)變換模型構(gòu)建

交點(diǎn)軸線裝配方案調(diào)整后，基準(zhǔn)的變換致使特征的相對(duì)位置和GD&T發(fā)生改變，為了方便描述基準(zhǔn)變換前后交點(diǎn)軸線相對(duì)位置與GD&T的關(guān)系，需構(gòu)造一個(gè)表示基準(zhǔn)變換前后相關(guān)參數(shù)轉(zhuǎn)化關(guān)系的模型。

2.1 交點(diǎn)軸線相對(duì)位置關(guān)系構(gòu)建

圖3 集成GD&T的交點(diǎn)軸線基準(zhǔn)變換相對(duì)位置關(guān)系Fig.3 Integrated GD&T’s intersection axes datum transformation relative positional relationship

(3)

式(3)說(shuō)明裝配方案調(diào)整后，目標(biāo)特征與裝配基準(zhǔn)的位置關(guān)系已發(fā)生變化，為此，將相對(duì)位置關(guān)系與GD&T進(jìn)行統(tǒng)一表示：

(4)

i∈{1,2,…,n}j∈{1,2}

2.2 基于GD&T的T-Map解析

裝配基準(zhǔn)變換會(huì)使裝配方案中的參考關(guān)系發(fā)生改變，導(dǎo)致特征的約束關(guān)系也發(fā)生改變，為滿足設(shè)計(jì)要求，此時(shí)需要重新求解合適公差。對(duì)于實(shí)際裝配過(guò)程，以目標(biāo)特征的實(shí)際參考為裝配基準(zhǔn)，目標(biāo)特征與裝配基準(zhǔn)不一定一致。

圖4 基于有向圖的基準(zhǔn)變換前后GD&T關(guān)系模型Fig.4 The GD&T relation model with before and after datum transformation based on directed graph

(5)

(6)

圖5 GD&T關(guān)系調(diào)整后的公差回路Fig.5 The adjusted tolerance loop of GD&T relationship

3 基準(zhǔn)變換下的交點(diǎn)軸線T-Map重構(gòu)

裝配方案調(diào)整后，交點(diǎn)軸線的變動(dòng)會(huì)因基準(zhǔn)變換影響其他特征，交點(diǎn)軸線的T-Map也會(huì)相應(yīng)改變,為此，需要對(duì)基準(zhǔn)變換后交點(diǎn)軸線T-Map公差模型進(jìn)行重構(gòu)。首先，通過(guò)解析交點(diǎn)軸線變動(dòng)關(guān)系得到目標(biāo)特征在各自由度上的變動(dòng)量；然后，求解各自由度上的變動(dòng)量，獲得目標(biāo)特征T-Map映射點(diǎn)坐標(biāo)；最后，依據(jù)基準(zhǔn)變換關(guān)系，得到基準(zhǔn)變換后的交點(diǎn)軸線T-Map公差模型邊界。

3.1 面向基準(zhǔn)變換的交點(diǎn)軸線變動(dòng)分析

利用文獻(xiàn)[16]給出的偏差傳遞狀態(tài)空間方程可得f1、g1和g2間的累積變化公式：

(7)

(8)

由式(8)可得

(9)

同理，建立fi、g1和g2間的累積變化關(guān)系：

(10)

(11)

將式(9)代入式(11)得

(12)

(13)

3.2 目標(biāo)特征T-Map映射點(diǎn)坐標(biāo)計(jì)算

(14)

(15)

式中，li為特征fi的理論軸長(zhǎng)。

(16)

3.3 基準(zhǔn)變換后的T-Map邊界解析

(17)

根據(jù)式(2)和式(17)，基準(zhǔn)變換后，fi的T-Map邊界方程為

(18)

(19)

依據(jù)式(18)和式(19)，基準(zhǔn)變換后fi的T-Map映射點(diǎn)的約束條件為

(20)

圖6 當(dāng)Mv=0時(shí)，基準(zhǔn)變換后的交點(diǎn)軸線T-MapFig.6 The intersection axis T-Map after the datum transformation(Mv=0)

4 ST-Map最小約束條件求解

4.1 基準(zhǔn)變換后T-Map的2維空間域求解

依據(jù)式(20)，選用Lv-Q或Mv-P方向的二維空間域作為判斷依據(jù)。基準(zhǔn)變換后在Lv-Q與Mv-P方向二維空間域的約束條件分別為

(21)

(22)

(23)

圖7 基準(zhǔn)變換后Lv-Q方向的二維空間域Fig.7 The Lv-Q direction’s two-dimensional spatial domains after the datum transformation 表1 圖7中4個(gè)極限映射點(diǎn)坐標(biāo)Tab.1 4 limit map point coordinates in figure 7

Ω1(0,|z(1)i|t(j′)1/l1,lit(j′)1/(2l1),0)Ω2(0,-t(j′)1/2,0,0)Ω3(0,-|z(1)i|t(j′)1/l1,-lit(j′)1/(2l1),0)Ω4(0,t(j′)1/2,0,0)

4.2 ST-Map的二維空間域求解

(24)

依據(jù)式(21)、式(22)和式(24)，可得ST-Map在Lv-Q和Mv-P方向二維空間域的約束條件：

(25)

(26)

4.3 二維空間域幾何關(guān)系的比較

在基準(zhǔn)變換前的T-Map中，Lv-Q與Mv-P方向的二維空間域形狀依據(jù)式(2)可知都為正方形，那么在正方形邊界上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)值之和必為定值。由此，為得到某方向的最小約束條件只需確定ST-Map對(duì)應(yīng)方向二維空間域上最大坐標(biāo)值之和的映射點(diǎn)即可。用Lv-Q方向的二維空間域進(jìn)行說(shuō)明，ST-Map由變換后的T-Map累積獲得，其Lv-Q方向的二維空間域?yàn)橥苟噙呅?，則映射點(diǎn)最大坐標(biāo)值之和在其邊界的4個(gè)極限映射點(diǎn)之中。通過(guò)表2的信息可獲得圖9所示ST-Map與基準(zhǔn)變換前T-Map的二維空間域幾何關(guān)系。最小約束條件為

圖8 ST-Map在Lv-Q方向的二維空間域Fig.8 The Lv-Q direction’s two-dimensional spatial domains of ST-Map 表2 圖8中4個(gè)極限映射點(diǎn)坐標(biāo)Tab.2 4 limit map point coordinates in figure 8

Ω11(0,(t(1′)1+t(2′)1)|z(1)i|/l1,(t(1′)1+t(2′)1)li/(2l1),0)Ω22(0,-t(1′)1+t(2′)1/2,0,0)Ω33(0,-(t(1′)1+t(2′)1)|z(1)i|/l1,-(t(1′)1+t(2′)1)li/(2l1),0)Ω44(0,t(1′)1+t(2′)1/2,0,0)

Lvi=

(27)

類似地，可得圖9所示Mv-P方向的二維空間域幾何關(guān)系。最小約束條件為

Mvi=

(28)

圖9 Lv-Q方向和Mv-P方向二維空間域 幾何關(guān)系比較Fig.9 The geometrical comparison of Lv-Q direction and Mv-P direction’s two-dimensional spatial domains

5 基于T-Map的交點(diǎn)軸線公差轉(zhuǎn)化

在實(shí)際裝配中，交點(diǎn)軸線的約束自由度方向因位置、方向及基準(zhǔn)優(yōu)先性而被基準(zhǔn)特征限制，故在公差轉(zhuǎn)化過(guò)程中僅需考慮部分自由度的約束。另外T-Map與ST-Map的變動(dòng)范圍在基準(zhǔn)變換公差轉(zhuǎn)換過(guò)程中會(huì)因公差大小而受限制，為此，可比較不同自由度約束情況下T-Map與ST-Map的幾何關(guān)系，分別進(jìn)行最大可能公差值的求解，從而獲得基準(zhǔn)變換前后公差的約束條件，即基于T-Map的公差轉(zhuǎn)化關(guān)系。

5.1 4自由度約束的最大公差值求解

4個(gè)自由度方向約束下的交點(diǎn)軸線，其T-Map的Lv-Q方向與Mv-P方向的二維空間域的約束條件都必須滿足，那么基準(zhǔn)變換前的T-Map與滿足式(27)及式(28)條件的ST-Map的二維空間域相等，T-Map的邊界方程為

(29)

(30)

式中，Ti為變換前T-Map的公差值；ci為2種情況下最小約束條件的統(tǒng)一系數(shù)。

ST-Map與T-Map的二維空間域必須相等，因此需確定Ti的最大值。由式(29)可知：

Ti=

(31)

(32)

5.2 3自由度約束的最大公差值求解

假設(shè)受P、Lv和Mv方向約束，則原T-Map應(yīng)滿足：

(33)

由式(33)和式(28)可知，Ti的T-Map的邊界方程為

(34)

式(34)右邊項(xiàng)可認(rèn)為是如下兩個(gè)橢圓坐標(biāo)軸X和Y的坐標(biāo)：

(35)

由于式(35)表示的兩橢圓形狀相同，則其Minkowski和為

(36)

依據(jù)式(36)，Ti的最大值為

(37)

(38)

由式(38)可知，式(37)中的max(Ti)與式(32)中的max(Ti)相同。

5.3 2自由度約束的最大公差值求解

假設(shè)受P和Q方向約束，則原T-Map應(yīng)滿足：

(39)

Ti的T-Map邊界方程為

(40)

Ti=

(41)

(42)

5.4 1自由度約束的最大公差值求解

若受P方向約束，原T-Map應(yīng)滿足：

(43)

Ti應(yīng)滿足：

(44)

5.5 不同自由度約束下公差轉(zhuǎn)化關(guān)系解析

(45)

將式(45)與如下基于特征公差尺寸鏈的傳統(tǒng)公差轉(zhuǎn)化方法中的公差轉(zhuǎn)化關(guān)系相比：

(46)

6 實(shí)例應(yīng)用

圖10 基準(zhǔn)變換前的叉耳式飛機(jī)機(jī)身-機(jī)翼 對(duì)接簡(jiǎn)化圖Fig.10 Fork-type aircraft fuselage-wing docking simplified diagram before the datum transformation

在圖10傳統(tǒng)裝配方案中，通過(guò)平面幾何特征f1間接傳遞公差檢驗(yàn)l3相對(duì)于l2的同軸度，不滿足基于點(diǎn)測(cè)量布設(shè)及測(cè)量簡(jiǎn)單的數(shù)字化裝配需求。為此，對(duì)該方案優(yōu)化調(diào)整，如圖11所示。裝配基準(zhǔn)A的位置用雙耳片接頭的交點(diǎn)構(gòu)成的交點(diǎn)軸線替代，同軸度分別為tx和ty。根據(jù)圖10與圖11中的三維尺寸標(biāo)注信息，將公差轉(zhuǎn)化過(guò)程中需要的各參數(shù)值統(tǒng)計(jì)列于表3。設(shè)定如下：基準(zhǔn)變換前的裝配基準(zhǔn)A對(duì)應(yīng)特征，j=1，i=1；基準(zhǔn)變換后的裝配基準(zhǔn)A對(duì)應(yīng)特征，j=2，i=2；目標(biāo)特征為機(jī)翼單耳片接頭交點(diǎn)構(gòu)成的交點(diǎn)軸線，i=3。

圖11 基準(zhǔn)變換后的叉耳式飛機(jī)機(jī)身-機(jī)翼 對(duì)接簡(jiǎn)化圖Fig.11 Fork-type aircraft fuselage-wing docking simplified diagram after the datum transformation表3 公差轉(zhuǎn)化過(guò)程中的各參數(shù)值Tab.3 The value of each parameter during the tolerance conversion process

mm

由式(32)和式(45)可得各參數(shù)間的約束關(guān)系：

(47)

由式(46)可得各參數(shù)間的約束關(guān)系：

(48)

對(duì)比式(48)、式(47)可知，基于T-Map的公差轉(zhuǎn)化方法相比于基于特征公差尺寸鏈的公差轉(zhuǎn)化方法，考慮了軸向偏移、理論軸線軸長(zhǎng)對(duì)轉(zhuǎn)化結(jié)果的影響。尺寸鏈與T-Map公差轉(zhuǎn)化方法得到的同軸度tx與ty關(guān)系見(jiàn)圖12。

圖12 尺寸鏈與T-Map公差轉(zhuǎn)化方法下同軸度 tx與ty的關(guān)系Fig.12 Relationship of concentricity between tx and ty under dimension chain and T-Map tolerance conversion method

由圖12可得，基于T-Map的公差轉(zhuǎn)化方法獲得的公差值相比于基于特征公差尺寸鏈的公差轉(zhuǎn)化方法得到的公差值更精確。如，同軸度tx=0.013 mm時(shí)，基于T-Map的公差轉(zhuǎn)化方法獲得的同軸度(ty=0.008 mm)小于基于特征公差尺寸鏈的公差轉(zhuǎn)化方法獲得的同軸度(ty=0.012 mm)。

7 結(jié)論

(1)利用映射點(diǎn)表示裝配特征，利用T-Map幾何關(guān)系表示裝配特征變動(dòng)關(guān)系，將裝配特征變動(dòng)轉(zhuǎn)化為T(mén)-Map點(diǎn)空間模型的坐標(biāo)變換，可直接建立裝配特征偏差波動(dòng)的空間域，滿足了面向點(diǎn)測(cè)量模式的數(shù)字化裝配容差控制的需求，通過(guò)T-Map求解幾何公差變動(dòng)區(qū)域與ASME標(biāo)準(zhǔn)對(duì)幾何公差的定義一致。

(2)將基于T-Map的公差轉(zhuǎn)化方法與傳統(tǒng)的尺寸鏈公差轉(zhuǎn)化方法相比，通過(guò)基準(zhǔn)變換過(guò)程中的幾何尺寸及公差關(guān)系，建立了面向裝配的公差轉(zhuǎn)化關(guān)系，通過(guò)基準(zhǔn)間相互約束的自由度個(gè)數(shù)，解析了不同自由度方向約束的偏差，從點(diǎn)的坐標(biāo)值變動(dòng)層面，對(duì)自由度約束的幾何公差進(jìn)行了完整求解，符合三維公差空間特征間的關(guān)系，使轉(zhuǎn)化得到的公差值更精確。

(3)本文考慮的幾何特征類型單一，還存在一定的局限性，接下來(lái)將對(duì)基于T-Map的其他特征類型及多基準(zhǔn)變換的公差轉(zhuǎn)化方法進(jìn)行研究。