空間抽樣中最優(yōu)單元尺寸確定方法研究

張維群，尤靖琛

(西安財(cái)經(jīng)大學(xué) 統(tǒng)計(jì)學(xué)院，陜西 西安 710100)

一、引言

空間抽樣方法廣泛應(yīng)用于農(nóng)業(yè)、人口和自然資源等領(lǐng)域的總體推斷中，通常將研究區(qū)域按照特定方式劃分成互不重疊的面積單元，形成區(qū)域抽樣框[1]8-9，并采用一定的抽樣方法抽取具有代表性的樣本單元，利用樣本信息實(shí)現(xiàn)對(duì)總體特征的推斷。由于區(qū)域劃分方式可變，所形成的不同抽樣框中樣本的代表性有所差異，因此，空間抽樣調(diào)查結(jié)果往往受到樣本單元尺寸和形狀的影響。而實(shí)際應(yīng)用中，單元尺寸的設(shè)計(jì)一般采用經(jīng)驗(yàn)方法予以確定，由于區(qū)域抽樣框的尺度效應(yīng)，不同單元尺寸抽樣框的抽樣估計(jì)精度和調(diào)查成本也有所不同，科學(xué)地設(shè)計(jì)抽樣單元尺寸對(duì)于提高空間抽樣估計(jì)精度和節(jié)約調(diào)查成本均具有現(xiàn)實(shí)意義。

目前，文獻(xiàn)對(duì)于單元尺寸確定問題的理論研究存在一些探索性的思想，給出了確定單元尺寸的思路，但并未形成科學(xué)的理論體系。在空間抽樣實(shí)踐中，人們首先發(fā)現(xiàn)了抽樣框的尺度效應(yīng)，認(rèn)為抽樣框中單元的尺寸影響著抽樣估計(jì)精度，González通過對(duì)單元尺寸和估計(jì)量方差進(jìn)行相關(guān)分析，提出了優(yōu)化單元尺寸的思想[2]；與此同時(shí)，Carfagna和Gallgeo通過對(duì)單元尺寸與方差間的相關(guān)關(guān)系圖分析，給出了優(yōu)化單元尺寸的思路[3]；在空間抽樣的實(shí)踐中，張錦水等在對(duì)冬小麥種植面積空間分層抽樣效率的影響因素分析中，也發(fā)現(xiàn)方差的大小與單元尺寸有著明顯的相關(guān)關(guān)系，并且伴隨著網(wǎng)格尺寸的增大，抽樣方差也會(huì)增大[4]。以上文獻(xiàn)考慮了抽樣單元尺寸對(duì)總體估計(jì)有效性的影響，提出了優(yōu)化空間單元尺寸的思想，但沒有給出精確確定單元尺寸的數(shù)理方法，使得所確定的單元尺寸對(duì)于提高總體推斷精度的效果有限。從尺度效應(yīng)的內(nèi)容來看，空間抽樣單元尺寸不僅影響著總體估計(jì)量方差，還影響著抽樣成本與樣本容量等方面。王迪等利用空間自相關(guān)系數(shù)與抽樣單元尺寸的關(guān)系進(jìn)行單元尺寸初選，并且以相對(duì)誤差、變異系數(shù)和樣本容量為抽樣效率評(píng)價(jià)指標(biāo)，通過定量分析不同單元尺寸的抽樣效率，實(shí)現(xiàn)對(duì)抽樣單元尺寸的優(yōu)選[5]。有關(guān)文獻(xiàn)對(duì)于確定空間抽樣最優(yōu)單元尺寸的思路不盡相同，歸納起來有以下幾方面的思想：基于遙感影像分辨率確定單元尺寸的最小下限；從調(diào)查成本角度給出單元尺寸的最大上限；基于空間分層抽樣識(shí)別性考慮的單元尺寸不超過最小層面積的思想；基于空間單元獨(dú)立性要求的單元尺寸確定方法。但是，文獻(xiàn)對(duì)于單元尺寸如何影響調(diào)查成本并未討論。此外，目前的文獻(xiàn)通常是在指定一部分單元尺寸中選擇最優(yōu)，并非是單元尺寸全部定義域內(nèi)的全局最優(yōu)尺寸，缺乏單元尺寸確定方法的科學(xué)設(shè)計(jì)。因此，本文擬從單元尺寸對(duì)估計(jì)精度和調(diào)查成本影響入手，提出一種確定最優(yōu)單元尺寸的方法，使得空間抽樣方案中單元尺寸設(shè)計(jì)具有一定的科學(xué)性。

本文通過分析單元尺寸對(duì)調(diào)查成本和估計(jì)精度的影響，構(gòu)造空間抽樣的成本函數(shù)和樣本方差統(tǒng)計(jì)量；結(jié)合單元標(biāo)志值及其地理信息擬合標(biāo)志值函數(shù)，構(gòu)建成本約束下使樣本方差達(dá)到最小的目標(biāo)函數(shù)，以此確定最優(yōu)的抽樣單元尺寸；同時(shí)對(duì)目標(biāo)總體進(jìn)行估計(jì)，據(jù)此討論最優(yōu)單元尺寸確定方法的優(yōu)良性。

二、基于抽樣單元尺寸的調(diào)查成本和抽樣方差

在空間抽樣問題研究中，將研究區(qū)域劃分為“不重不漏”的抽樣單元，以形成空間抽樣調(diào)查區(qū)域抽樣框。研究區(qū)域可被劃分成規(guī)則的格子或柵格，也可以分為不規(guī)則的抽樣單元，為了方便抽樣設(shè)計(jì)過程，增加實(shí)際調(diào)查可操作性，通常劃分調(diào)查區(qū)域形成面積相等的正方形網(wǎng)格抽樣框進(jìn)行抽樣。

(一)基于空間單元尺寸影響的調(diào)查成本函數(shù)

在傳統(tǒng)的抽樣調(diào)查中，調(diào)查成本通常分為固定成本和可變成本兩部分。固定成本是指組織實(shí)施一次調(diào)查必須花費(fèi)且固定不變的成本，包括調(diào)查方案設(shè)計(jì)、人員的培訓(xùn)等方面的費(fèi)用?？勺兂杀臼请S著樣本容量的大小而改變的成本，包括調(diào)查資料準(zhǔn)備、調(diào)查者勞動(dòng)報(bào)酬等方面的費(fèi)用。傳統(tǒng)抽樣調(diào)查的成本函數(shù)定義為：

C=C0+nC1

其中，第一項(xiàng)C0是固定成本部分；第二項(xiàng)為可變成本部分，C1是調(diào)查的單位成本，n是抽樣調(diào)查的樣本量。

謝邦昌認(rèn)為，抽樣調(diào)查的成本可以看作是樣本量n、抽樣單位大小x、抽樣概率p和調(diào)查范圍s的一個(gè)函數(shù)，即：

C=f(n，x，p，s)

成本常隨著樣本大小與調(diào)查范圍的增大而增大；而樣本內(nèi)基本單位個(gè)數(shù)相同時(shí)又隨著抽樣單位的增大而縮小[6]24-25。

與傳統(tǒng)抽樣的成本函數(shù)相比，空間調(diào)查成本除了受到樣本量的影響外，還有抽樣單位大小x和調(diào)查范圍s的影響?？臻g抽樣中，抽樣單位是地理空間上區(qū)域網(wǎng)格抽樣框的每一小格，顯而易見，當(dāng)格子單元的尺寸增大時(shí)，抽樣單位大小x隨之增大，在其它因素不變的情況下樣本區(qū)域的調(diào)查成本將有所提高；調(diào)查范圍s對(duì)成本的影響主要體現(xiàn)在樣本分布的疏密程度上，其它影響因素不變時(shí)，調(diào)查范圍越大，樣本在空間上分布越松散，在各樣本點(diǎn)之間轉(zhuǎn)移時(shí)所形成的交通成本也越高。

基于樣本量、抽樣單位大小和調(diào)查范圍對(duì)空間抽樣調(diào)查成本的作用機(jī)理，以及平均最近鄰距離理論，構(gòu)建空間簡單隨機(jī)抽樣的成本函數(shù)為：

(1)

其中，C0是固定成本；C1是單位交通成本；a是空間區(qū)域抽樣框的單元面積，na是調(diào)查的總面積；C2是調(diào)查的單位面積成本。

(二)基于空間單元尺寸的總量估計(jì)量及其方差

傳統(tǒng)的抽樣調(diào)查中，由于標(biāo)志值大的單位對(duì)總體總量的影響比標(biāo)志值小的單位大得多，因此使標(biāo)志值大的單位具有較大的入樣概率，此時(shí)所采用的不等概率抽樣比采用相同概率抽樣得到的估計(jì)更有效[8]。在不等概率抽樣法中，比例抽樣法以其實(shí)施方便、數(shù)據(jù)處理簡單的特點(diǎn)，廣泛應(yīng)用于實(shí)際抽樣調(diào)查[9]。使用比例抽樣法時(shí)，樣本大小的度量常與研究標(biāo)志的某個(gè)輔助變量的值有關(guān)，單位被抽取的概率與輔助變量的大小成比例，如短時(shí)間內(nèi)地區(qū)的勞動(dòng)力、資本等生產(chǎn)要素不會(huì)發(fā)生大的變化，所以可以將某一時(shí)期的地區(qū)生產(chǎn)總值作為下一期經(jīng)濟(jì)抽樣調(diào)查的參考。一般情況下，空間單元的標(biāo)志值與其單元面積呈現(xiàn)正向關(guān)系，單元面積大的抽樣框中各單元標(biāo)志值的水平整體比小尺寸抽樣框的標(biāo)志值高，抽樣估計(jì)時(shí)，不同尺寸單元的標(biāo)志值對(duì)于目標(biāo)總體的影響不盡相同。因此，遵循不等概率抽樣中“標(biāo)志值大的單位具有較大入樣概率”的思想，將空間單元面積的大小作為輔助指標(biāo)，以衡量單元指標(biāo)值對(duì)總體總量的影響，采用放回抽樣法進(jìn)行抽樣，則有總體總量的無偏估計(jì)量為：

(2)

(3)

三、成本約束下空間抽樣最優(yōu)單元尺寸的確定方法

(一)樣本量的確定

遵循傳統(tǒng)抽樣理論中“控制成本，使方差達(dá)到最小”的最優(yōu)決策思想，為了使方差盡可能小，從式(3)中可以看出，當(dāng)單元面積為a時(shí)，增加樣本量n能夠有效降低總體估計(jì)量的方差，但由于調(diào)查經(jīng)費(fèi)的限制，樣本量不可能無限增大。當(dāng)成本固定為CT時(shí)，樣本量n隨抽樣單元面積a的變化而改變，記可變成本為Cv=CT-C0，由式(1)可得樣本量：

(4)

顯然，式(4)表明樣本單元尺寸大小也影響著樣本量的大小，故取給定預(yù)算下的最大樣本量用以估計(jì)總體，此時(shí)的總體總值估計(jì)量即為抽樣單元面積為a時(shí)的有效估計(jì)。

(二)空間抽樣最優(yōu)單元尺寸的確定

當(dāng)單元尺寸較大時(shí)，各個(gè)面積單元內(nèi)總量指標(biāo)值較大，同時(shí)由于空間單元的異質(zhì)性特征，即使面積相同的單元，在不同地理位置上所表現(xiàn)的觀測值也不同，因此面積抽樣框中各單元的標(biāo)志值Yi可以用關(guān)于經(jīng)度值Z1、緯度值Z2和單元尺寸(面積)a的函數(shù)來表示，即Yi=Y(Z1，i，Z2，i，a)，結(jié)合式(4)，得樣本方差：

(5)

當(dāng)總成本控制為CT時(shí)，單元尺寸a的變化會(huì)引起抽樣樣本方差的變化。樣本方差值較小時(shí)，在一次抽樣中估計(jì)值落在總體真值附近的概率較大，此時(shí)估計(jì)的精度也就越高。因此，固定總成本時(shí)使樣本方差達(dá)到最小值的抽樣單元尺寸即為成本約束下最優(yōu)單元尺寸。對(duì)式(5)關(guān)于a求偏導(dǎo)，令導(dǎo)函數(shù)等于零，有：

(6)

(三)抽樣單元標(biāo)志值函數(shù)的建立與參數(shù)擬合

由于面積抽樣框中各單元的值yi是關(guān)于其經(jīng)度值Z1、緯度值Z2和單元尺寸(面積)a的函數(shù)，即Yi=Y(Z1，i，Z2，i，a)。假設(shè)Yi=Y(Z1，i，Z2，i，a)是關(guān)于各參數(shù)連續(xù)可導(dǎo)的函數(shù)，通過泰勒展開可表示為一個(gè)無限多項(xiàng)式，不妨令Yi=Y(Z1，i，Z2，i，a)近似為二次多項(xiàng)式：

(7)

(8)

(9)

四、空間抽樣最優(yōu)單元尺寸確定方法的應(yīng)用

生產(chǎn)要素的空間分布往往呈現(xiàn)不均衡的特性[10]。經(jīng)濟(jì)活動(dòng)的本質(zhì)是追求利潤的最大化，這驅(qū)使了生產(chǎn)要素和經(jīng)濟(jì)活動(dòng)在地理空間上的流動(dòng)。生產(chǎn)要素的流動(dòng)造成了不同地區(qū)經(jīng)濟(jì)活動(dòng)的空間關(guān)聯(lián)，即空間維度上的交互作用[11]。它是區(qū)域經(jīng)濟(jì)發(fā)展的重要影響因素，從經(jīng)濟(jì)學(xué)角度出發(fā)，人們更傾向于將這種交互作用稱為空間溢出效應(yīng)[12]。經(jīng)濟(jì)學(xué)研究中，通常將行政區(qū)劃作為研究的基本單元[13-17]。假定在單元內(nèi)的生產(chǎn)要素是同質(zhì)的，然而實(shí)際情況并非如此，即使在同一行政區(qū)域內(nèi)，不同地區(qū)的生產(chǎn)要素結(jié)構(gòu)也有所差異。一般來說，距離近的地區(qū)生產(chǎn)要素結(jié)構(gòu)具有較強(qiáng)的相似性，這種相似性隨著距離的增大逐漸減小。如果以行政區(qū)劃作為研究的基本單元，往往會(huì)將相似度高的區(qū)域劃分到不同的單元內(nèi)，影響經(jīng)濟(jì)問題的分析。此時(shí)，若基于以規(guī)則網(wǎng)格劃分地理區(qū)域形成的基本單元進(jìn)行研究，可以很大限度上保證單元內(nèi)生產(chǎn)要素的同質(zhì)性，有利于準(zhǔn)確分析經(jīng)濟(jì)學(xué)機(jī)理。

(一)數(shù)據(jù)來源與預(yù)處理

本文數(shù)據(jù)源于2015年陜西省107個(gè)區(qū)縣的地區(qū)GDP，總體總量為17 687.84億元。用ArcGIS處理地圖時(shí)，以陜西最南緯度線與最西經(jīng)度線的交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立抽樣方案設(shè)計(jì)的坐標(biāo)系，此時(shí)坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)應(yīng)基礎(chǔ)坐標(biāo)系點(diǎn)(264.89，3 510.20)，單位為千米，即U=264.89km，V=3 510.20km。由于陜西省的行政區(qū)劃并非規(guī)則的正方形網(wǎng)格，往往存在一個(gè)抽樣單元橫跨多個(gè)區(qū)縣或者一區(qū)縣被分為多個(gè)抽樣單元的情況，此時(shí)該區(qū)縣的地區(qū)生產(chǎn)總值并不等同于這一個(gè)或多個(gè)抽樣單元的觀測值。因此，對(duì)于每一個(gè)抽樣單元，以其覆蓋的各區(qū)縣面積占該區(qū)縣的總面積為權(quán)重，定義多個(gè)區(qū)縣地區(qū)生產(chǎn)總值的加權(quán)平均數(shù)為此抽樣單元的標(biāo)志值，表示為：

(10)

其中，Yi抽樣單元包含了k個(gè)區(qū)縣的區(qū)域，sj為該抽樣單元中第j個(gè)區(qū)縣所占的面積，Sj為第j個(gè)區(qū)縣的總面積，GDPj為第j個(gè)區(qū)縣的GDP值。以20×20km2的正方形網(wǎng)格抽樣框?yàn)槔?，抽樣單元?shù)據(jù)分布如圖1。

圖1顯示，就地區(qū)生產(chǎn)總值的整體水平而言，關(guān)中地區(qū)的地區(qū)生產(chǎn)總值最高，陜北地區(qū)次之，陜南地區(qū)的地區(qū)生產(chǎn)總值最低。就地區(qū)生產(chǎn)總值的空間格局來看，陜西省各個(gè)城市市轄區(qū)的地區(qū)生產(chǎn)總值較高，抽樣單元GDP隨著與各市轄區(qū)的距離增大呈逐漸減小的趨勢，說明陜西省各市轄區(qū)的經(jīng)濟(jì)發(fā)展對(duì)其周邊地區(qū)的經(jīng)濟(jì)有一定的帶動(dòng)作用。

圖1 2015年陜西省地區(qū)生產(chǎn)總值空間分布圖

(二)成本控制下最優(yōu)單元尺寸的確定

在陜西省地圖的基礎(chǔ)上，用大小相等、整齊排列的正方形網(wǎng)格分割地圖以形成區(qū)域抽樣框，其中的單元面積從25km2至2 700km2，共形成50個(gè)水平的抽樣框。根據(jù)式(10)定義每種水平區(qū)域抽樣框中各抽樣單元的指標(biāo)值，并記錄每一個(gè)抽樣單元的中心經(jīng)度值、中心緯度值和單元面積，擬合得標(biāo)志值函數(shù)：

(11)

式(11)顯示各樣本單元的標(biāo)志值隨著緯度的升高和單元尺寸的擴(kuò)大呈增大的趨勢。根據(jù)式(8)、式(9)，得到：

(12)

(13)

不妨令總成本CT為10 000，固定成本C0為500，單位交通成本C1為2，單位面積成本C2為1。若總成本只能夠調(diào)查一個(gè)樣本，得maxa=9 046km2。將各成本參數(shù)代入成本約束下確定最優(yōu)單元尺寸關(guān)系式(6)，結(jié)合式(12)、式(13)，解得最優(yōu)抽樣單元尺寸a=220.851 1km2(如圖2)；根據(jù)式(4)，有樣本量ns=31。

圖2 總體總值樣本方差關(guān)于抽樣單元尺寸的偏導(dǎo)函數(shù)圖

(三)最優(yōu)單元尺寸與其它尺寸下空間抽樣效率對(duì)比

為了避免地圖制圖誤差對(duì)抽樣效率的影響，在最優(yōu)單元尺寸面積的基礎(chǔ)上分別加減30km2和60km2，以新的單元尺寸劃分陜西省2015年地區(qū)生產(chǎn)總值，以形成新的區(qū)域抽樣框。在成本約束下，分別計(jì)算基于各面積抽樣框的成本、樣本量、總體總值估計(jì)量、相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)誤及其方差，結(jié)果如表1。

表1顯示，在相同的成本約束下，基于最優(yōu)單元尺寸220.8511km2所構(gòu)建的空間區(qū)域抽樣框?qū)τ陉兾魇〉貐^(qū)生產(chǎn)總值的估計(jì)精度明顯高于非最優(yōu)單元尺寸的抽樣框。同時(shí)可以看出，由于空間抽樣調(diào)查的總成本限制，隨著抽樣單元尺寸的擴(kuò)大，樣本量逐漸減小，導(dǎo)致在各樣本間轉(zhuǎn)移所花費(fèi)的交通成本減小，但調(diào)查的面積成本有所增加。

表1 最優(yōu)單元尺寸與其他尺寸下空間抽樣效率對(duì)比

(四)最優(yōu)單元尺寸下空間抽樣與傳統(tǒng)抽樣效率對(duì)比

將陜西省地圖數(shù)據(jù)劃分為面積為220.851 1km2的正方形網(wǎng)格，形成面積抽樣框(共1 078個(gè)單元)。為了評(píng)價(jià)最優(yōu)單元尺寸下空間簡單隨機(jī)抽樣的效率，以各區(qū)縣的緯度值為主關(guān)鍵字按升序排列、以經(jīng)度值為次關(guān)鍵字按升序排列，對(duì)陜西省107個(gè)區(qū)縣進(jìn)行編號(hào)，以形成傳統(tǒng)簡單隨機(jī)抽樣的抽樣框。取各區(qū)縣面積的均值帶入式(4)計(jì)算得成本控制下傳統(tǒng)簡單隨機(jī)抽樣的樣本量n0=4。分別對(duì)兩種抽樣框下的總體總值、相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)誤及其樣本方差進(jìn)行估計(jì)，結(jié)果如表2。

表2 最優(yōu)單元尺寸下空間抽樣與傳統(tǒng)簡單隨機(jī)抽樣效率對(duì)比

注：平均面積比為調(diào)查面積占全省總面積的比例。

表2顯示，在成本約束下，基于最優(yōu)單元尺寸的空間簡單隨機(jī)抽樣總體總值的估計(jì)量相比于傳統(tǒng)簡單隨機(jī)抽樣更接近于真實(shí)值17 687.7億元，估計(jì)量的方差也遠(yuǎn)小于傳統(tǒng)抽樣下估計(jì)量的方差，說明最優(yōu)單元尺寸下空間簡單隨機(jī)抽樣具有有效性。傳統(tǒng)簡單隨機(jī)抽樣用各區(qū)縣面積的均值進(jìn)行抽樣設(shè)計(jì)，但由于各區(qū)縣面積差異較大，在實(shí)際調(diào)查中很難準(zhǔn)確控制總成本，因此會(huì)出現(xiàn)實(shí)際調(diào)查費(fèi)用超出預(yù)算成本的情況；而空間簡單隨機(jī)抽樣每一抽樣單元的面積相同，可以有效地將總成本控制在一定范圍內(nèi)，從而體現(xiàn)空間抽樣方案設(shè)計(jì)的經(jīng)濟(jì)性。若不控制調(diào)查的總成本，取相同的樣本量時(shí)，空間簡單隨機(jī)抽樣的估計(jì)精度仍高于傳統(tǒng)簡單隨機(jī)抽樣，且調(diào)查的總成本遠(yuǎn)小于傳統(tǒng)抽樣方式。實(shí)際調(diào)查中，空間抽樣調(diào)查的面積小于傳統(tǒng)抽樣下的調(diào)查面積。綜上所述，在成本約束下，相比于傳統(tǒng)簡單隨機(jī)抽樣，空間抽樣以較小的調(diào)查面積，可達(dá)到較高的估計(jì)精度，其抽樣效率遠(yuǎn)高于傳統(tǒng)的簡單隨機(jī)抽樣。

五、結(jié)論與展望

(一)結(jié)論

本文研究了一種基于空間區(qū)域抽樣框的最優(yōu)單元尺寸確定方法，并且運(yùn)用到實(shí)踐中驗(yàn)證其抽樣效果，將調(diào)查單元的地理信息以自變量的形式加入到標(biāo)志值函數(shù)中，體現(xiàn)了數(shù)據(jù)的空間特性，準(zhǔn)確量化了地理信息對(duì)于個(gè)體影響的程度和方向；考慮空間抽樣調(diào)查的特性，構(gòu)造了基于單元尺寸、調(diào)查距離和調(diào)查面積等因素影響的空間抽樣調(diào)查成本函數(shù)；分析空間單元尺寸對(duì)于抽樣調(diào)查的估計(jì)精度和調(diào)查成本的影響，提出了成本約束下確定最優(yōu)單元尺寸的方法，對(duì)于提高空間抽樣估計(jì)精度具有現(xiàn)實(shí)意義，對(duì)空間抽樣理論進(jìn)行了補(bǔ)充。

(二)問題與展望

本文研究了成本約束下空間抽樣最優(yōu)單元尺寸的確定問題，為空間調(diào)查方案設(shè)計(jì)中如何劃分網(wǎng)格區(qū)域抽樣框提供了一定參考。本文成本函數(shù)的各項(xiàng)參數(shù)均是主觀指定，成本函數(shù)假定各抽樣單元的調(diào)查成本和交通成本相同，但現(xiàn)實(shí)中調(diào)查和交通成本往往受到地理環(huán)境、氣候條件等多個(gè)因素的影響，其理論研究與實(shí)踐應(yīng)用存在著偏差?？紤]多種因素的影響，重構(gòu)成本函數(shù)，進(jìn)而確定最優(yōu)的單元尺寸，以及考慮多目標(biāo)變量時(shí)空間抽樣單元尺寸的確定等問題，需要以后進(jìn)一步研究。