自由度綁定邊界在地下結構動力有限元分析中的實現(xiàn)與驗證

蔣林芝，彭少策

（1、廣州大學土木工程學院 廣州 510006；2、廣州大學工程抗震研究中心 廣州 510405）

0 引言

廣義的地下空間是一個無界且不規(guī)則的開放系統(tǒng)，而就實際工程而言，結構本身和結構的鄰近地基介質才是我們研究的重點內容，因此可以把地下結構動力反應問題歸結為是對近場波動問題的研究。為了使計算的有限域滿足外部無限域對其的影響，考慮引入虛擬的人工邊界，設置滿足散射波的ABC（Artificial Boundary Condition）人工邊界條件。近年來，關于人工邊界的研究已經取得了許多成果，其中最廣為人知有Lysmer 等人［1］基于一維波動理論提出的粘性人工邊界，Deeks 等人［2］基于柱面波動方程提出的粘彈性人工邊界。其中粘彈性邊界由于其穩(wěn)定性良好且精度較高引起了一些學者更為深入的研究，劉晶波等人［3］基于彈性全空間理論推導了三維的粘彈性人工邊界，張波等人［4］采用平面波在三維粘彈性人工邊界下進行地震波動的輸入并開展了數(shù)值模擬，取得了較高的精度。

人工邊界現(xiàn)在已經廣泛應用于有限元軟件如ABAQUS、ANSYS［5-7］中。在此基礎上考慮下臥為剛性基巖發(fā)展的有限元方法為：取出結構和鄰近土體并人為假定有限計算區(qū)域，下部邊界模擬剛性基巖直接采用固定邊界，計算區(qū)域橫向為延伸到無窮遠的規(guī)則介質，在左右兩邊設置分界點作為側邊人工邊界條件，這種簡化模型（見圖1）廣泛應用于土-結構相互作用的動力問題。

圖1 下臥為剛性基巖的土-結構相互作用模型Fig.1 Soil-structure Interaction Model on Rigid Bedrock

1 自由度綁定邊界

1.1 選用原則

在ABAQUS 中建立基巖的土-結構相互作用模型，底部輸入地震波時需要對側邊界進行處理，基于現(xiàn)有的人工邊界理論，一些學者提出了側邊人工邊界條件，但應用于ABAQUS 軟件中就比較復雜，有些甚至需要對軟件進行二次開發(fā)。比如杜修力等人［8］提出的自由場荷載粘彈性組合邊界，不僅需要在側邊邊界上設置彈簧和阻尼，還需要計算自由場的地震反應，然后將計算結果從人工邊界進行輸入，這樣的方法精度很高但也比較費時?；趯嵱们液啽愕闹髦?，本文選擇了使用多點約束中的綁定功能構建人工邊界，兩個節(jié)點在綁定連接下的全局位移、旋轉以及所有其他活動自由度都相等，如果在兩個節(jié)點上有不同的自由度，那么只有共同的節(jié)點才會受到約束。Tsinidis 等人［9］利用這種方式對節(jié)點進行綁定，約束左右兩側自由度防止其旋轉，迫使土層側邊在同一樣高度下同時且均勻地運動，模擬了層流箱進行數(shù)值計算。為了檢驗其在地震荷載作用下的精準度和適用性，本文主要分兩個部分進行討論，第一部分在自由場條件下進行模擬，第二部分引入地下結構進一步驗證。

1.2 邊界設置及檢驗條件

數(shù)值模擬分別設置自由邊界、綁定自由度邊界和遠置人工邊界進行對比。自由邊界即不對兩側邊界進行處理；遠置人工邊界距離計算主體結構滿足L≥cT/2，其中T 為輸入地震動反應的時間，c 為無限域介質的最大波速，則在T 時間范圍內，結構反映將不受人工邊界的影響，即可以作為精確解或參考解［10］；自由度綁定邊界在ABAQUS 中使用連接模塊的MPC（Multi-point Constraints）多點約束中的TIE 功能對左右側節(jié)點進行綁定，約束兩側節(jié)點自由度，此時對應兩個節(jié)點上的所有活動自由度相等，即土層在相同的高度下同時運動。采用歐式范數(shù)對位移時程或加速度時程進行誤差分析，具體見式⑴，其中Y 表示精確解的時程，X 表示需要驗證邊界的時程，當誤差率小于5%時，可以認為人工邊界產生的誤差在允許范圍內。

2 邊界條件的驗證

2.1 自由場問題

建立二維的50 m×20 m 自由場地土模型（見圖2），固定底邊邊界，兩側設立人工邊界，以寬度B=5 000 m的遠置人工邊界作為精確解。土體參數(shù)為：密度ρ=1.78 t/m3，泊松比v=0.3，剪切波速cs=200 m/s。在底部輸入幅值為A=0.1，周期為T=0.5 s 的狄拉克脈沖波（見圖3），選取位于中部的土層表面和半高處為觀測點1、2 進行記錄。得到3 種邊界的位移時程圖如圖3、圖4所示?？梢钥闯觯鹤杂蛇吔缗c遠置人工邊界的反應出現(xiàn)了很大偏差且幅值偏小，不符合波的傳播規(guī)律（見圖4a）；自由度綁定邊界和遠置人工邊界的反應幾乎完全重合，在觀測點1 處的位移峰值為底部輸入的兩倍，符合波的傳播規(guī)律（見圖4b）。取位移時程進行誤差分析，得到綁定自由度邊界的誤差R 在觀測點1處為0.33%，觀測點2 處為0.30%。

圖2 自由場有限元模型Fig.2 Finite Element Model of Free Field

圖3 狄拉克脈沖波位移時程Fig.3 Displacement Time History of Dirac Pulse

圖4 位移時程對比圖Fig.4 Displacement Time History Result Comparison

2.2 土-結構相互作用模型

引入地下結構，建立60 m×40 m 的土-隧道二維有限元模型（見圖5），場地假設為水平成層土層，各層材料的密度、泊松比等物理參數(shù)如表1所示，土體選擇四節(jié)點平面應變單元，網格尺寸最小0.6m，最大為2 m，滿足楊柏坡等人［11］提出的關于有限元最小單元尺寸的精度要求。隧道選用梁單元建模，直徑D=6 m，厚度為d=0.3m，設隧道為線彈性混凝土材料，參數(shù)為：密度ρ=2.5 t/m3，彈性模量 E=30 GPa，泊松比v=0.2。隧道埋深為直徑的兩倍，場地下部假定為基巖，固定底邊邊界，側邊分別設置自由邊界和綁定自由度邊界，設置寬度為B=10 000 m 的遠置人工邊界作為精確解，底部輸入地震波加速度時程為壓縮處理過的南北向 EI-centro 波（見圖6），時長為 22 s。

圖5 土-隧道有限元模型Fig.5 Soil-tunnel Finite Element Model

表1 各土層材料參數(shù)Tab.1 The Material Parameters of Soil Layers

圖6 EI-Centro 地震波加速度時程Fig.6 Acceleration Time History of EI-Centro Wave

以場地土層表面中點為觀測點，比較不同邊界條件下該點的加速度時程，截取前10 s 如圖7所示。圖7a自由邊界下觀測點的加速度峰值為0.36g，低于精確解的加速度峰值0.59g，且變化規(guī)律也出現(xiàn)較大偏差，按照式⑴計算的誤差率R 約為65%，說明在此邊界條件下波的傳播不符合一般規(guī)律；圖7b 加速度隨時間的變化規(guī)律基本重合，加速度峰值相差0.001g，整體誤差為R=3.7%，滿足了5%的誤差率要求，可以認為在ABAQUS 中約束自由度的邊界條件可以達到土-結構模型的精度要求。

圖7 不同邊界條件下觀測點的加速度時程對比Fig.7 Acceleration Time History Comparison of Observation Points in Different Boundary Condition

3 結論

ABAQUS 作為一款大型有限元計算軟件，可以處理從線性到非線性的各類復雜問題，在地下結構抗震研究領域也得到了諸多應用。本文基于在基巖下的土-結構相互作用模型，討論了在ABAQUS 中計算區(qū)域與地基無限域分界處的側邊人工邊界條件，以遠置人工邊界為參考解，考察使用自由度綁定邊界方法的適用性，驗證了其精確度滿足工程誤差要求，是一種簡便且實用的人工邊界條件。但值得注意的是，由綁定自由度邊界的原理和波的傳播可知，側邊人工邊界距離計算主體的距離會對結果造成影響，距離越大則邊界誤差越小，因此在地下結構計算區(qū)域不受限制的情況下使用約束自由度的邊界處理，側邊距離越大結果計算精度越高，但同時會犧牲模型運算的速度，所以要根據(jù)實際工程的具體情況，設置合理的側邊距離，找到這二者的平衡點。