運(yùn)用幾何畫板繪制橢圓的有效方法

于翠玲

在圓錐曲線中，曲線上的點(diǎn)到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離的商是常數(shù)e，且0

幾何畫板以點(diǎn)、線、圓作為基礎(chǔ)圖形，對(duì)這些基礎(chǔ)圖形進(jìn)行拼接、平移、變換、度量、構(gòu)造、軌跡追蹤以及對(duì)基本圖形的性質(zhì)進(jìn)行運(yùn)用。學(xué)生可以在此過(guò)程中探究圖形的內(nèi)在關(guān)系并發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的本質(zhì)，探究數(shù)學(xué)的奧妙和趣味性，激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。筆者結(jié)合自身教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，在總結(jié)、歸納、提煉和創(chuàng)新的基礎(chǔ)上整理出七種常用的運(yùn)用幾何畫板繪制橢圓的方法，分享如下：

一、定義法

定義法的原理是圓錐曲線的統(tǒng)一定義，即焦點(diǎn)距離與到準(zhǔn)線距離的商是定值的點(diǎn)的軌跡。橢圓的定義，即平面內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和等于常數(shù)，這個(gè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡叫橢圓，這兩個(gè)定點(diǎn)叫橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫作橢圓的焦距。

繪制的具體步驟為：打開軟件，新建文件，在繪畫板內(nèi)畫線段AB的同時(shí)在AB上繪制出C點(diǎn)，然后在AB外選取D、E兩點(diǎn)，滿足DE>AB;選中A、C兩點(diǎn)進(jìn)行標(biāo)記向量，然后通過(guò)標(biāo)記向量將D平移，得到D';選中D和D'點(diǎn)，繪制出一個(gè)以D為圓心，以D和D'間距離為半徑的圓并且隱藏;同理，標(biāo)記B、C兩個(gè)點(diǎn)為標(biāo)記向量，并且作出E的平移點(diǎn)到E'點(diǎn)，構(gòu)造出圓，隱藏E'點(diǎn);運(yùn)用點(diǎn)工具做出兩個(gè)圓周交點(diǎn)為F、G兩點(diǎn)。

接下來(lái)分兩種方法研究。

分別選中F、C和G、C兩組點(diǎn)進(jìn)行構(gòu)造軌跡繪制出橢圓曲線，如圖1所示。

點(diǎn)擊F點(diǎn)，點(diǎn)擊顯示、追蹤交點(diǎn)，同理操作G點(diǎn);點(diǎn)擊C點(diǎn)，選擇操作類按鈕、動(dòng)畫、確定，完成設(shè)置;點(diǎn)擊繪畫板上的動(dòng)畫鍵，繪畫板就繪制出一個(gè)橢圓，如圖2所示。

二、準(zhǔn)線法

準(zhǔn)線法的原理是圓錐曲線的統(tǒng)一定義，也就是到定點(diǎn)與定直線的距離的比為常數(shù)e的點(diǎn)的軌跡，叫圓錐曲線，而這條定直線就叫做準(zhǔn)線和橢圓準(zhǔn)線定義，即垂直于長(zhǎng)軸所在直線的直線，方程為：

具體步驟為：打開軟件，定義坐標(biāo)系并且將原點(diǎn)設(shè)置為A點(diǎn);用左側(cè)工具欄中工具作出線段CD并做E點(diǎn)于CD上;同時(shí)選中C、E，并測(cè)量出CE長(zhǎng)度，同理將CD長(zhǎng)度測(cè)量出來(lái);打開計(jì)算器并且輸入CE/CD，然后雙擊出現(xiàn)的CE/CD的屬性框，在比值標(biāo)簽中輸入e并點(diǎn)擊確定;在坐標(biāo)系的橫軸上設(shè)置點(diǎn)F為焦點(diǎn);任意作出線段GH的同時(shí)取點(diǎn)I，然后度量出GI距離，并將GI的標(biāo)簽名稱改為c;點(diǎn)擊e和c兩個(gè)數(shù)據(jù)框，然后打開計(jì)算器并且輸入c/a，并將它的標(biāo)簽名稱改為a;選中a在x軸上繪制點(diǎn)，并通過(guò)繪制點(diǎn)進(jìn)行構(gòu)造、垂線的操作，作出一條橫坐標(biāo)為a且垂直于x軸的直線;點(diǎn)擊c，然后點(diǎn)擊變換、標(biāo)記距離;選中F點(diǎn)并且點(diǎn)擊變換、平移、確定作出F'，選中F和F'兩點(diǎn)然后進(jìn)行作圖、畫圓;將直線和圓周的交點(diǎn)分別設(shè)為J、K并且選中兩點(diǎn)進(jìn)行追蹤;點(diǎn)擊I，進(jìn)行動(dòng)畫操作，然后點(diǎn)擊出現(xiàn)的動(dòng)畫按鈕，橢圓的繪制動(dòng)畫就出來(lái)了，如圖3所示。

三、同心圓法

在幾何畫板中定義坐標(biāo)系，并且繪制兩個(gè)圓心為原點(diǎn)A的圓，其中內(nèi)外圓半徑分別為短軸和長(zhǎng)軸的長(zhǎng)，然后隱藏單位點(diǎn)和兩個(gè)圓周上的控制點(diǎn);作外圓的半徑為AE，將AE與小圓的交點(diǎn)設(shè)為點(diǎn)F;選中E和x軸進(jìn)行構(gòu)造、垂線，作出過(guò)E且垂直x軸的直線，同理作出過(guò)F且垂直于y軸的直線，兩直線的交點(diǎn)則命名為G。

接下來(lái)的步驟分兩種方法進(jìn)行。

點(diǎn)擊G和E，然后進(jìn)行作圖、軌跡，就作出了橢圓曲線，如圖4所示。

點(diǎn)擊G，進(jìn)行顯示、追蹤點(diǎn)，然后選中圓周上點(diǎn)E，進(jìn)行編輯、操作類按鈕、動(dòng)畫、點(diǎn)擊確定，然后點(diǎn)擊動(dòng)畫按鈕，通過(guò)點(diǎn)G運(yùn)動(dòng)就會(huì)畫出橢圓，如圖5所示。

四、單圓法

單圓法的原理是橢圓的定義，即平面內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P到兩個(gè)定點(diǎn)F1 ?、F2 ?的距離之和等于常數(shù)，且滿足│PF1│+│PF2│= 2a>│F1F2│，這個(gè)動(dòng)點(diǎn)P ?的軌跡叫橢圓。這兩個(gè)定點(diǎn)叫橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫作橢圓的焦距。

單圓法第一種做法：打開幾何畫板軟件，作出一個(gè)圓并隱藏圓周上的控制點(diǎn)B，該圓的半徑為2a;在圓內(nèi)和圓周上分別作出C、D兩點(diǎn)，連接CD;選中CD構(gòu)造出中點(diǎn)E，然后選中點(diǎn)E進(jìn)行構(gòu)造、垂線作出垂直CD的直線k;連接AD，然后作出k和AD的交點(diǎn)為F點(diǎn);選中點(diǎn)F進(jìn)行顯示、追蹤點(diǎn)F;點(diǎn)擊D進(jìn)行設(shè)置動(dòng)畫并點(diǎn)擊完成鍵，繪畫板上出現(xiàn)動(dòng)畫按鈕，然后點(diǎn)擊動(dòng)畫按鈕，通過(guò)點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)繪制出橢圓曲線，如圖6所示。

單圓法第二種做法：新建文件、定義坐標(biāo)系并將原點(diǎn)設(shè)置為A，隱藏單位點(diǎn)并用工具畫一個(gè)以原點(diǎn)為圓心的圓并且隱藏圓周上的點(diǎn)，然后將y軸和圓的交點(diǎn)設(shè)置為D、E，并在圓上作出F點(diǎn);運(yùn)用直線工具，做出線段EF，點(diǎn)擊點(diǎn)F和縱坐標(biāo)軸，然后構(gòu)造、平行線，得到過(guò)F平行于y軸的直線，并將該直線與x軸交點(diǎn)設(shè)為G，連接D、G并作出EF和DG交點(diǎn)為H;點(diǎn)擊H，然后顯示、追蹤點(diǎn);點(diǎn)擊F，點(diǎn)擊編輯、操作類按鈕、動(dòng)畫、確定，將出現(xiàn)動(dòng)畫按鈕，點(diǎn)擊該按鈕，點(diǎn)H就會(huì)畫出橢圓， 如圖7所示。

五、三角形法

三角形法的原理與定義法基本相同，由于三角形邊長(zhǎng)不變，通過(guò)三角形一點(diǎn)在y軸運(yùn)動(dòng)帶動(dòng)其他點(diǎn)繪制出橢圓，只要是相交的兩條直線就可以作出橢圓，不一定要選擇坐標(biāo)系的x軸和y軸;可以不選擇正三角形，只要是可以固定形狀不變就可以了。

首先新建文件，然后定義坐標(biāo)系，將原點(diǎn)設(shè)置為A，單位上的點(diǎn)為B，并且將單位點(diǎn)B隱藏，運(yùn)用線段工具作出任意線段CD;在y軸上x軸的兩邊分別作出E、F兩點(diǎn)，且AE>CD和AF>CD;然后在作出EF的同時(shí)在y軸上做出G點(diǎn)，且AG

六、包絡(luò)線法

包絡(luò)線法的原理與單圓法基本相同，但是運(yùn)用的方法類似于圓的切線，運(yùn)用該方法得出的圖形是切線未過(guò)的地方，因?yàn)闄E圓圖形任何一條切線都不可能經(jīng)過(guò)橢圓內(nèi)部。

新建文件，用圓工具作圓，將圓心設(shè)置為A，在圓內(nèi)設(shè)置C點(diǎn)，在圓上設(shè)置D點(diǎn)，并連接AC、CD;設(shè)置CD的中點(diǎn)為E，作出過(guò)E垂直于CD的直線;選中垂線的同時(shí)，點(diǎn)擊顯示、追蹤直線;點(diǎn)擊D，進(jìn)行編輯、操作類按鈕、動(dòng)畫，然后確定;點(diǎn)擊出現(xiàn)的按鈕就會(huì)畫出橢圓，如圖9所示。

七、切線法

切線法的原理與單圓法基本相同。

打開幾何畫板并定義坐標(biāo)系，將原點(diǎn)設(shè)為A;然后以原點(diǎn)為圓心作圓并將圓的控制點(diǎn)隱藏;運(yùn)用點(diǎn)工具繪制將x軸與圓周的交點(diǎn)設(shè)置為D、E;然后在D、E兩點(diǎn)作出x軸垂線分別為j、k;在圓上取F，并且連接FA，在F點(diǎn)做出圓的切線，隱藏FA，將G和H設(shè)為該線與j、k交點(diǎn);連接線段GE、HD，將兩直線交點(diǎn)設(shè)置為I，并且隱藏FA;將點(diǎn)I設(shè)置為追蹤點(diǎn)并用 F設(shè)置動(dòng)畫，點(diǎn)擊確定，點(diǎn)擊左上角新出現(xiàn)的按鈕，通過(guò)點(diǎn)I的運(yùn)動(dòng)就會(huì)畫出橢圓，如圖10所示。

以上繪制方法易教易學(xué)，便于操作。教學(xué)定法并非無(wú)法，只要我們?cè)诮虒W(xué)中善于觀察和積累，把一些好的教學(xué)點(diǎn)滴記錄下來(lái)，進(jìn)行歸納總結(jié)和提煉，就會(huì)形成好的教學(xué)方法并逐漸形成自己的教學(xué)特色，服務(wù)于課堂教學(xué)。各位同仁不妨一試。

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??編輯/王一鳴 E-mail：51213148@qq.com