有限元法解一維桿單元、熱傳導(dǎo)和流體流動(dòng)問題的相似性比較

王銘明 胡圣明 于浩 汪晨

摘要：本文通過對(duì)求解一維桿應(yīng)力的有限元?jiǎng)偠染仃嚰捌浞匠痰耐茖?dǎo)，并根據(jù)類比的方法，延伸推導(dǎo)了一維熱傳導(dǎo)和流體運(yùn)動(dòng)的有限元求解過程。通過比較分析發(fā)現(xiàn)，采用有限元法解決上述三種問題的基本原理完全相同，推到出的剛度矩陣及方程也有很大的相似性，可以用相同的方法推廣到二、三維的情況。

Abstract： This paper deduces the finite element solution process of one-dimensional heat conduction and fluid motion by deriving the finite element stiffness matrix and its equations for solving one-dimensional bar stress and according to the analogy method. Through comparative analysis， it is found that the basic principles of solving the above three problems by using the finite element method are exactly the same， the stiffness matrix and the equations that are pushed out have great similarities， and it can be extended to the second and third dimensions by the same method.

關(guān)鍵詞：一維桿;熱傳導(dǎo);流體運(yùn)動(dòng);有限元法;剛度矩陣

Key words： one dimensional rod;heat conduction;fluid motion;finite element;stiffness matrices

中圖分類號(hào)：V231.1+3 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文章編號(hào)：1006-4311（2019）09-0152-04

0 ?引言

自上世紀(jì)40年代有限單元法[1]問世以來，隨著計(jì)算機(jī)科技的快速發(fā)展，很多學(xué)者將其廣泛地應(yīng)用到各個(gè)領(lǐng)域，包括結(jié)構(gòu)分析、熱傳導(dǎo)分析、流體運(yùn)動(dòng)分析、質(zhì)量傳輸和電磁電位分析等方面[2]。

現(xiàn)今，有限元法已經(jīng)發(fā)展的十分成熟，已經(jīng)出現(xiàn)了很多大型商用有限元軟，如ANSYS、ABAQUS、ADINA、FLAC 3D等等。這些商業(yè)軟件使有限元法在工程應(yīng)用中更加方便，也提高了高大復(fù)雜結(jié)構(gòu)計(jì)算的可行性。因此，一些工程領(lǐng)域已經(jīng)有限元法的力學(xué)分析寫入了相關(guān)規(guī)范，如《水電工程水工建筑物抗震設(shè)計(jì)規(guī)范》（NB 35047-2015）。

盡管采用有限元法解決許多不同領(lǐng)域的工程問題看似是無關(guān)的，但如掌握有限元的基本原理就會(huì)發(fā)現(xiàn)，用有限單元法求解這些問題時(shí)，都存在著一定相似性。

本文根據(jù)有限元的基本原理，列舉了一維的桿單元、熱傳導(dǎo)、流體運(yùn)動(dòng)的剛度矩陣及求解方程的推導(dǎo)過程，比較、分析、總結(jié)其相似性，使有限元法的基本原理更清晰，便于工程學(xué)者們學(xué)習(xí)及應(yīng)用。

4 ?結(jié)語

本文對(duì)工程中最簡(jiǎn)單的一維桿受力、熱傳導(dǎo)和流體運(yùn)動(dòng)的問題，應(yīng)用有限元方法對(duì)其推導(dǎo)剛度矩陣及方程過程，通過比較分析發(fā)現(xiàn)在有限元求解上述問題時(shí)，在基本原理上完全相同，在應(yīng)用上有極大的相似點(diǎn)。對(duì)工程界學(xué)習(xí)有限元及其應(yīng)用有極大的幫助，可以觸類旁通地既快又好的掌握這種方法。本文雖然只是介紹了一維的有限元方法，但是工程學(xué)者也可以用本文的方法，接著將此推廣到二維、三維的情況。

參考文獻(xiàn)：

[1]王勖成.有限單元法[M].北京：清華大學(xué)出版社，2003.

[2]尹飛鴻.有限元法基本原理及應(yīng)用[M].北京：高等教育出版社，2010.

[3]Daryl L.Logan（著），伍義生，吳永禮，等（譯）.有限元方法基礎(chǔ)教程（第三版）[M].北京：電子工業(yè)出版社，2003.

[4]Turner， M. J.， Clough， R. W.， Martin， H. C.， and Topp， L. J.， Stiffness and Delflection Analysis of Complex Structures[J]. Journal of the Aeronautical Sciences， 1956， 23（9）： 805-824.

[5]Martin， H. C. Plane Elasticity Problems and the Direct Stiffness Method[J]. The Trend in Engineering， 1961， 13（1）： 5-19.

[6]Oden. J. T. and Rippcrger， E. A. Mechanics of Elastic Structures （2nd ed.）[M]. McGraw-Hill， New York， 1981.

[7]Holman. J. P. Heat Transfer （8th ed.）[M]. McGraw-Hill， New York， l997.

[8]Zienkiewicz， O. C. and Cheung， Y. K. Finite Elements in the Solution of Field Problems[J]. The Engineer， Sept. 24.1965， pp： 507-510.

[9]Wilson， E. L. and Nickell. R. E. Application of the Finite Element Method to Heat Conduction Analysis[M]. Nuclear Engineering and Design， 1966， 4： 276-286.

[10]Emery， A. F. and Carson. W. W. An Evaluation of the USA of the Finite Element Method in the Computation of Temperature[M]. Journal of Heat Transfer. American Society of Mechanical Engineers， May， l971， pp： l36-145.