追夢(mèng)赤子心

杜月嬌

1900年，巴黎國(guó)際數(shù)學(xué)家代表會(huì)上，數(shù)學(xué)家希爾伯特發(fā)表了題為“數(shù)學(xué)問(wèn)題”的著名演講。在這個(gè)演講中，他根據(jù)19世紀(jì)數(shù)學(xué)研究的成果和趨勢(shì)，提出了23個(gè)最重要的數(shù)學(xué)問(wèn)題。這些問(wèn)題后來(lái)被統(tǒng)稱為“希爾伯特問(wèn)題”，100多年過(guò)去了，希爾伯特問(wèn)題有的已經(jīng)得到圓滿解決，有的至今懸而未決。

南京大學(xué)數(shù)學(xué)系教授劉公祥十分欽佩希爾伯特，不止源于希爾伯特樹起了19世紀(jì)末20世紀(jì)初國(guó)際數(shù)學(xué)界的一面旗幟，更因?yàn)樗麍?jiān)信每個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題都可以得到解決的信念。

“在我們中間，常常聽到這樣的呼聲：這里有一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，去找出它的答案！你能通過(guò)純思維找到它，因?yàn)樵跀?shù)學(xué)中沒(méi)有不可知。”在“數(shù)學(xué)問(wèn)題”演講中，希爾伯特說(shuō)道。

隔著一個(gè)時(shí)代，劉公祥依然能感受到這句話中澎湃的激情?！盁釔?ài)+堅(jiān)持+勤奮”，這份赤子之心是他十?dāng)?shù)年數(shù)學(xué)之路上的行走秘籍?！白鰧W(xué)問(wèn)就要有一顆純粹的心去追求未知的世界，‘功利只能是一種額外獎(jiǎng)賞，而不應(yīng)該是肩上的負(fù)重?！眲⒐檎f(shuō)。

念念不忘，必有回響

1941年，德國(guó)數(shù)學(xué)家H.Hopf發(fā)現(xiàn)球面的上同調(diào)群具有特殊的代數(shù)結(jié)構(gòu)，即Hopf代數(shù)結(jié)構(gòu)。從此，Hopf代數(shù)這個(gè)嶄新的代數(shù)結(jié)構(gòu)迅速發(fā)展了起來(lái)。

“Hopf代數(shù)結(jié)構(gòu)最初來(lái)源于拓?fù)鋵W(xué)，它描述了一些拓?fù)淇臻g的對(duì)稱性，隨著研究的發(fā)展，人們發(fā)現(xiàn)它不僅僅能描述拓?fù)淇臻g的對(duì)稱性，也能用來(lái)描繪量子世界的某種對(duì)稱性?！眲⒐榻榻B道，“Hopf代數(shù)與物理和數(shù)學(xué)的很多分支有著意想不到的聯(lián)系，例如共形場(chǎng)論、低維拓?fù)?、非交換幾何、特征p域上的代數(shù)群表示理論等。”

談起Hopf代數(shù)，劉公祥神采飛揚(yáng)。但在進(jìn)入安慶師范學(xué)院學(xué)習(xí)之前，劉公祥對(duì)數(shù)學(xué)并沒(méi)有太過(guò)偏愛(ài)?！耙粋€(gè)農(nóng)村孩子，也不知道外面的世界是什么樣的”，他說(shuō)。高考之前，青蔥少年劉公祥對(duì)未來(lái)的唯一概念就是“學(xué)好數(shù)理化，走遍天下都不怕”。為此，他毫無(wú)意外地在高考志愿表上填寫了3個(gè)專業(yè)志愿：數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)，而后順理成章地被安慶師范學(xué)院數(shù)學(xué)專業(yè)錄取。

大學(xué)生活推開了劉公祥人生中的一扇大門，真實(shí)地接觸到數(shù)學(xué)分析、高等代數(shù)等課程后，他心底只余4個(gè)字來(lái)評(píng)判——精彩紛呈?！拔业男愿袷悄鎭?lái)順受型的，我不是因?yàn)橄矚g數(shù)學(xué)而學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，而是因?yàn)閷W(xué)了數(shù)學(xué)以后才喜歡上數(shù)學(xué)的。我并不知道自己喜歡什么，但是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)之后就被這些理論吸引住了?！眲⒐檎\(chéng)懇地說(shuō)。對(duì)數(shù)學(xué)的“后天”熱愛(ài)，令劉公祥存了立志深造的心思。2000年，他考入浙江大學(xué)讀研，專業(yè)是基礎(chǔ)數(shù)學(xué)。

從安慶師范學(xué)院到浙江大學(xué)，劉公祥的路越走越寬，卻也難免迷茫?？佳袝r(shí)，他就發(fā)現(xiàn)，雖然在學(xué)過(guò)的專業(yè)上基礎(chǔ)十分扎實(shí)，但在面試階段，主考老師問(wèn)到的拓?fù)鋵W(xué)等學(xué)科，他并沒(méi)有學(xué)習(xí)過(guò)?！爸R(shí)面窄，但精細(xì)”，這也是當(dāng)時(shí)他留給別人最大的印象。年輕時(shí)的劉公祥很介懷“知識(shí)面窄”，“跟留校的保送生相比，他們知道的東西簡(jiǎn)直太多了，我知道的簡(jiǎn)直太少了”。剛到浙江大學(xué)，劉公祥就為此自卑了。但好學(xué)的他，并不會(huì)讓自己一味沉淪于自卑感中，反而加倍勤奮起來(lái)。那時(shí)，他每天看書時(shí)間都不會(huì)低于12小時(shí)，長(zhǎng)時(shí)間的用腦導(dǎo)致他有段時(shí)間早上連鬧鐘都叫不醒?！艾F(xiàn)在懂得是每天看書時(shí)間太長(zhǎng)，大腦需要休息了，但那時(shí)經(jīng)常自責(zé)，怎么會(huì)睡過(guò)頭?！?/p>

一年過(guò)后，劉公祥終于迎頭趕上。最直觀的改變就是，別人知道的，他也知道，而且常常會(huì)知道得更深入，到了這時(shí)，反而是別人不大知道了。“我是個(gè)非常不聰明的人，堅(jiān)持和勤奮讓我可以努力得到更多知識(shí)，這非常關(guān)鍵?！眲⒐橹t遜地說(shuō)。

2007年6月，劉公祥結(jié)束了在中國(guó)科學(xué)院數(shù)學(xué)研究所的博士后研究工作，到南京大學(xué)任職。到2019年6月，他在南京大學(xué)就要滿12個(gè)年頭了。但他依然保留著大學(xué)時(shí)代的學(xué)習(xí)習(xí)慣，堅(jiān)持和勤奮已經(jīng)成為一種自然而然的品格，融入他的血液當(dāng)中。

新方法，新“表示”

采訪中，劉公祥強(qiáng)調(diào)了一個(gè)時(shí)間——1986年。就在這一年，烏克蘭數(shù)學(xué)家Drinfeld在國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)上作了一個(gè)報(bào)告。報(bào)告中指出，量子群范疇和Hopf代數(shù)范疇事實(shí)上是等價(jià)的，Hopf代數(shù)還是Lie代數(shù)的量子化發(fā)展。這意味著量子群和Hopf代數(shù)之間存在一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，從某種意義上說(shuō)，Hopf代數(shù)就是量子代數(shù)。隨后數(shù)年中，量子群得到了長(zhǎng)足的進(jìn)步，而Drinfeld也主要因?yàn)榇硕@得了數(shù)學(xué)界的諾貝爾獎(jiǎng)——菲爾茲獎(jiǎng)。

Drinfeld的觀點(diǎn)極大促進(jìn)了Hopf代數(shù)的發(fā)展：Lie理論的思想方法被重新應(yīng)用到Hopf代數(shù)的研究中。而對(duì)劉公祥來(lái)說(shuō)，為Hopf代數(shù)研究引入新方法，也是他這些年來(lái)的重要工作之一。

“就是代數(shù)表示論”，劉公祥介紹道，“研究Hopf代數(shù)比較傳統(tǒng)的方法是環(huán)論的方法，我喜歡用表示論的方法”。代數(shù)表示論是一支興起于20世紀(jì)70年代的重要代數(shù)分支，主要研究有限維代數(shù)的不可分解表示和模范疇的整體構(gòu)造，其中的核心問(wèn)題之一就是：給定一類代數(shù)，如何根據(jù)表示型來(lái)分類？

為此，他用了六七年時(shí)間去攻關(guān)basic Hopf代數(shù)表示型的完整分類，成功將Hopf代數(shù)結(jié)構(gòu)尤其是余乘結(jié)構(gòu)，與代數(shù)表示論及組合數(shù)論中的生成函數(shù)等建立了聯(lián)系，從而解決了Hopf代數(shù)及代數(shù)表示論的一個(gè)核心問(wèn)題。

走進(jìn)量子世界

1989年，日本數(shù)學(xué)家Toshitake Kohno發(fā)現(xiàn)K-Z方程組導(dǎo)出的辮子群的單值化表示實(shí)際上是由一個(gè)泛R-矩陣給出的。1990年，Drinfeld希望通過(guò)K-Z方程組直接看出這個(gè)泛R-矩陣，從而為Kohno的發(fā)現(xiàn)給出一個(gè)直接的解釋。按照Drinfeld的設(shè)想，K-Z方程組背后應(yīng)該存在一個(gè)擬三角Hopf代數(shù)，但出人意料的是，最終結(jié)果卻是一個(gè)擬三角的擬Hopf代數(shù)。擬Hopf代數(shù)就這樣出現(xiàn)了，人們隨后發(fā)現(xiàn)這是一類如此自然的代數(shù)：即幾乎可以理解為表示范疇為張量范疇的代數(shù)。

但擬Hopf代數(shù)的發(fā)展是極為緩慢的：同樣在1990年，3位數(shù)學(xué)物理學(xué)家在理解一類全純頂點(diǎn)算子代數(shù)的表示范疇時(shí)，利用重構(gòu)理論構(gòu)造出一類新的代數(shù)——Dw（G），他們也證明出這是一類擬Hopf代數(shù)。隨后15年，Dw（G）居然成為唯一被知道的半單擬Hopf代數(shù)的新例子！

“從形式上來(lái)說(shuō)，擬Hopf代數(shù)比Hopf代數(shù)要復(fù)雜得多。而且，擬Hopf代數(shù)的分類是在twist等價(jià)這么一個(gè)更加廣泛且自然的條件下進(jìn)行的?！眲⒐檎J(rèn)為，twist等價(jià)造成了兩重困境，一是令人懷疑是否根本無(wú)法構(gòu)造出真實(shí)的擬量子群;二是很難判斷一個(gè)擬Hopf代數(shù)是不是真實(shí)的。

轉(zhuǎn)機(jī)發(fā)生在2005年。這一年，Gelaki構(gòu)造了一類真實(shí)的擬Hopf代數(shù)，可以理解為Taft代數(shù)的擬Hopf類似，并用群的上同調(diào)給出了所構(gòu)造擬Hopf代數(shù)的真實(shí)性判斷。隨即，他又與Etingof合作完成了素?cái)?shù)階循環(huán)群上的基本擬Hopf代數(shù)分類，不僅得到了一部分真實(shí)的擬Hopf代數(shù)，還至少讓人們意識(shí)到擬Hopf代數(shù)的余乘形式是非常不平凡的。2010年，Angiono極大推廣了Etingof-Gelaki的結(jié)果和方法，分類了循環(huán)群上的基本擬Hopf代數(shù)，但Angiono本質(zhì)上并沒(méi)能給出擬Hopf代數(shù)的新例子。

未知即動(dòng)機(jī)。劉公祥認(rèn)為，他們可以在這一方向上努力。此前，劉公祥已經(jīng)利用箭圖分類了所有的點(diǎn)的擬三角Hopf代數(shù)。利用這一工具，他與合作者還進(jìn)一步完整刻畫了基本圈上的所有可能擬量子群結(jié)構(gòu)，不僅提供了新例子，還在事實(shí)上分類了有限表示型的擬Hopf代數(shù)。作為推論，他們還分類了所有的有限型張量范疇，為張量范疇的研究引入了新工具。2011年，這篇論文被投到權(quán)威數(shù)學(xué)物理期刊Comm.Math.Phys.上后，審稿人對(duì)此表示出了高度贊同，認(rèn)為其“得到了一個(gè)完整的分類結(jié)果”，并“從數(shù)學(xué)家的角度做出了簡(jiǎn)明的介紹和清晰的闡述”。

2014年，劉公祥又發(fā)現(xiàn)了最為重要的小量子群，即Frobenius-Lusztig核，（sl2）的擬Hopf代數(shù)類似Q（sl2）是存在的。這一結(jié)果出來(lái)后，劉公祥備受鼓舞。他意識(shí)到，擬Frobenius-Lusztig核并不是通常Frobenius-Lusztig核的一種推廣，而是一種“平行”理論。從此，他們開始對(duì)一般擬Frobenius-Lusztig核進(jìn)行研究。

“我們證明了，對(duì)于每一個(gè)單Lie代數(shù)g，它們對(duì)應(yīng)的擬Frobenius-Lusztig核Q（g）都是存在的。”劉公祥介紹說(shuō)。難能可貴的是，如果說(shuō)以往發(fā)現(xiàn)的都是相對(duì)孤立的例子，他們所提出的就是一個(gè)批量生產(chǎn)產(chǎn)品的方法，在這個(gè)體系下，可以有大批量的真實(shí)的擬Hopf代數(shù)被構(gòu)造出來(lái)?！耙簿褪钦f(shuō)，對(duì)于每一個(gè)單Lie代數(shù)g，它對(duì)應(yīng)的擬量子群不是真實(shí)的，但擬小量子群真實(shí)存在?！闭f(shuō)起來(lái)有些繞口，但劉公祥依然欣慰，他們終于有希望去分類一部分有限維擬Hopf代數(shù)了。

“張量范疇與表示論相結(jié)合是一個(gè)極具潛力的發(fā)展方向，而研究它們的一個(gè)極為有效的語(yǔ)言就是擬Hopf代數(shù)。這個(gè)領(lǐng)域充滿未知，現(xiàn)在還是初級(jí)階段，我很難預(yù)言它下一步會(huì)發(fā)展成什么樣子，唯一可以斷言的就是這將是一個(gè)非常活躍的方向?！?/p>

劉公祥堅(jiān)信這一點(diǎn)。2017年2月，他向國(guó)家自然科學(xué)基金委提交了優(yōu)秀青年科學(xué)基金項(xiàng)目申報(bào)，希望能夠得到更多支持來(lái)研究“量子代數(shù)與表示論（有限維基本擬Hopf代數(shù)的分類）”。從2018年啟動(dòng)以來(lái)，該項(xiàng)目正在循序漸進(jìn)地開展，預(yù)計(jì)在2020年年底結(jié)題?！拔覀兊哪繕?biāo)是分類一大類的有限維擬Hopf代數(shù)，不僅可以得到大批量的真實(shí)的擬Hopf代數(shù)的例子和結(jié)構(gòu)，還將看到擬Hopf代數(shù)在張量范疇與表示論方面卓有成效的應(yīng)用?！眲⒐楸硎尽?/p>

“劉代數(shù)”

自1969年引入后，有限維Hopf代數(shù)的積分理論就被認(rèn)為具有非常優(yōu)美的性質(zhì)，是緊李群上的哈爾積分的類似物。與有限維相對(duì)的，自然是無(wú)限維。如何定義無(wú)限維Hopf代數(shù)的積分理論？一直以來(lái)，結(jié)果并不理想。

直到2005年前后，浙江大學(xué)盧滌明教授、美國(guó)華盛頓大學(xué)J.Zhang教授和復(fù)旦大學(xué)吳泉水教授合作引進(jìn)了同調(diào)積分概念，保持了通常積分的諸多美妙性質(zhì)，被證明是一種成功的推廣。3位作者猜測(cè)，所有滿足一定條件的Gelfand-Kirillov維數(shù)1（簡(jiǎn)稱為GK-維數(shù)）的Hopf代數(shù)只有3類：無(wú)限維Taft代數(shù)、無(wú)限循環(huán)群的群代數(shù)和無(wú)限二面體群的群代數(shù)。而這個(gè)猜測(cè)基于同調(diào)積分理論的應(yīng)用，并受到一維連通代數(shù)群分類的影響。

對(duì)此，劉公祥也非常感興趣。他在工作中構(gòu)造出了第一個(gè)滿足條件的GK-維數(shù)1的Hopf代數(shù)的例子，從而回答了上述3位作者的猜測(cè)，為GK-維數(shù)1的Hopf代數(shù)分類工作做好了準(zhǔn)備。該文發(fā)表在Proc.Amer.Math.Soc上，并被數(shù)學(xué)領(lǐng)域著名SCI期刊Trans.Amer.Math.Soc.、Proc. Lond.Math.Soc.、J.Pure Appl. Algebra他引。

“我以前研究有限維Hopf代數(shù)分類，這個(gè)發(fā)現(xiàn)也受到了有限維的思想影響。或者說(shuō)，這一類無(wú)限維Hopf代數(shù)中可以看到有限維的影子，是用有限維的知識(shí)找出一個(gè)新的無(wú)限維的例子?！眲⒐橹v述著他的思路。

成果發(fā)表后引起了國(guó)際學(xué)術(shù)界的高度關(guān)注。2010年，K.Brown和J.Zhang在Proc.Lond.Math.Soc.上提出，可以在某些條件下完成GK-維數(shù)1的Hopf代數(shù)的分類。在這篇文章中，兩位作者重點(diǎn)突出了劉公祥的研究成果，將其構(gòu)造出的例子稱為“Lius algebra”（劉代數(shù)），并將他們自己構(gòu)造的一大類新的代數(shù)稱為“Generalized Lius algebras”（廣義劉代數(shù)）。

將研究成果冠以姓氏，這無(wú)疑是對(duì)一個(gè)研究者最大的贊同。劉公祥卻覺(jué)得，“這項(xiàng)工作給我?guī)?lái)的最大喜悅是可以發(fā)現(xiàn)很多新的Hopf代數(shù)分類”。近年來(lái)，在J.Zhang等人工作基礎(chǔ)上，劉公祥又與合作者構(gòu)造出一大類新例子，并徹底完成了該類Hopf代數(shù)的分類。2016年，該成果發(fā)表在權(quán)威數(shù)學(xué)期刊Adv.Math.上。在該系列結(jié)果出現(xiàn)之前，學(xué)術(shù)界普遍相信較低GK-維數(shù)的Hopf代數(shù)應(yīng)該都是pointed（點(diǎn)）的，而劉公祥構(gòu)造的新例子否定了這種看法，也充分展示了Hopf代數(shù)的復(fù)雜性。更加意外的是，在這些例子中還產(chǎn)生了一批新的半單Hopf代數(shù)?！斑@批新的半單Hopf代數(shù)值得進(jìn)一步研究”，劉公祥說(shuō)。

激情燃燒的數(shù)學(xué)人生

“劉公祥是最活躍的年輕數(shù)學(xué)家之一，他在Hopf代數(shù)和量子群研究上貢獻(xiàn)很大。我要強(qiáng)調(diào)的是，基于身后的理論背景，他的研究成果都得到了具體的例子支持。我認(rèn)為他的潛力非常大?！眹?guó)際著名數(shù)學(xué)家A.Masuoka評(píng)價(jià)道。

劉公祥身上不乏這樣的高評(píng)價(jià)，但他卻說(shuō)自己是一個(gè)“故事平淡”的人。一直以來(lái)，他都習(xí)慣勤勤懇懇地做好一切準(zhǔn)備，讓每個(gè)“下一步”都來(lái)得水到渠成。他認(rèn)為這是一種做學(xué)問(wèn)應(yīng)有的態(tài)度。目前，他有3位博士在讀，并指導(dǎo)兩位博士后。他強(qiáng)調(diào)學(xué)生要自主，因?yàn)閿?shù)學(xué)思想的發(fā)現(xiàn)和數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的理解，需要合作，更需要個(gè)人的主觀能動(dòng)性。他們成立了兩個(gè)討論班，以讀經(jīng)典著作和論文為主題，相輔相成。

他自己熱愛(ài)數(shù)學(xué)，也希望學(xué)生們能夠從熱愛(ài)中去從事數(shù)學(xué)研究。講授“高等代數(shù)”課時(shí)，他通常把第一堂課設(shè)置為導(dǎo)讀課，在這堂課上建立起學(xué)生們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信，以及對(duì)課程的整體印象。他注重講課激情，認(rèn)為教師的激情能夠感染學(xué)生。在研究生面試過(guò)程中，他還會(huì)通過(guò)聊家常來(lái)考察學(xué)生品德，并綜合考量學(xué)生的基礎(chǔ)程度及學(xué)習(xí)潛力。

“我對(duì)他們其實(shí)是有規(guī)劃的，生活上不嚴(yán)格，但是學(xué)習(xí)上很嚴(yán)?！眲⒐樽晕以u(píng)價(jià)道。但有趣的是，在“南數(shù)后花園”公眾號(hào)上，劉公祥聞名的并不是他所說(shuō)的嚴(yán)格，而是幽默風(fēng)趣、靈活多變的授課風(fēng)格，甚至還擁有一個(gè)“公祥小天使”的愛(ài)稱。

他熱愛(ài)教學(xué)、熱愛(ài)數(shù)學(xué)，多年以來(lái)，在Hopf代數(shù)的分類研究上，他從未動(dòng)搖過(guò)。用他的話說(shuō)，即使事業(yè)生涯中難免遇到瓶頸，也不是對(duì)數(shù)學(xué)失去興趣，而僅僅是問(wèn)題得不到有效進(jìn)展?！皵?shù)學(xué)是一種抽象的語(yǔ)言。比如，人們可以看到一支筆、一根筷子，但是數(shù)字1是看不到的。這種抽象，對(duì)人類的思維提出了極大的挑戰(zhàn)。我從來(lái)不覺(jué)得數(shù)學(xué)枯燥，反而覺(jué)得這種挑戰(zhàn)特別具有吸引力?！?/p>

和所尊崇的希爾伯特一樣，劉公祥在數(shù)學(xué)研究上懷著一顆赤子之心，他不覺(jué)得有什么問(wèn)題是永遠(yuǎn)無(wú)解的，只是更難破解而已。1930年，在接受哥尼斯堡（現(xiàn)俄羅斯加里寧格勒）榮譽(yù)市民的演講中，針對(duì)一些人信奉不可知論觀點(diǎn)，希爾伯特滿懷信心地宣稱：“我們必須知道 ，我們必將知道！”這句話，也寫在劉公祥的信條里。