高階模糊差分方程動(dòng)力學(xué)行為分析

張千宏，林府標(biāo)，鐘筱鶯

(1.貴州財(cái)經(jīng)大學(xué) 數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院，貴州 貴陽(yáng) 550025；2. 貴州財(cái)經(jīng)大學(xué) 圖書(shū)館,貴州 貴陽(yáng) 550025)

差分方程以離散系統(tǒng)及微分方程與時(shí)滯微分方程的數(shù)值解形式出現(xiàn)，其在經(jīng)濟(jì)學(xué)、生態(tài)學(xué)、計(jì)算機(jī)科學(xué)、控制工程等方面有許多重要的應(yīng)用[1-6].科研工作者得到了一些非線性差分方程振動(dòng)性、周期性及有界性的成果，類(lèi)似的結(jié)論推廣到了兩個(gè)非線性差分方程系統(tǒng)[7-11].

不確定性在許多應(yīng)用領(lǐng)域是非常重要的研究?jī)?nèi)容，針對(duì)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題建立模型時(shí)，系統(tǒng)參數(shù)或初始值含有模糊不確定性.經(jīng)典的確定性問(wèn)題建模，因?yàn)橄到y(tǒng)的狀態(tài)變量、模型的系統(tǒng)參數(shù)、初始條件不確定等因素經(jīng)常會(huì)導(dǎo)致模型的模糊不確定性.在建立數(shù)學(xué)模型時(shí)，模糊集理論是處理模型中不確定性的強(qiáng)有力的工具.特別地，模糊差分方程是動(dòng)力系統(tǒng)建模的一種重要方法.模糊差分方程是一類(lèi)特殊的差分方程，方程中的常數(shù)或初始值為模糊數(shù)，它的解表現(xiàn)為模糊數(shù)數(shù)列.在分析事物內(nèi)在的不確定現(xiàn)象時(shí)，應(yīng)用模糊差分方程來(lái)處理是非常重要的.最近，學(xué)者們對(duì)模糊差分方程的研究興趣與日俱增[12-24].文獻(xiàn)[16]運(yùn)用模糊差分方程模型，研究了金融領(lǐng)域中貨幣的價(jià)值隨時(shí)間變化情況.文獻(xiàn)[19]研究了下列模糊差分方程

其中：A與初始值x-m,x-m+1,…,x0是正模糊數(shù).

論文進(jìn)一步研究下列高階模糊差分方程

(1)

其中：A與初始值x-k,x-k+1,…,x0為正模糊數(shù).

首先給出一些基本定義[13，15].

定義1A為模糊數(shù)，如果A:R→[0,1]滿(mǎn)足(i)～(iv)：

(i)A是正規(guī)的，即存在x∈R， 使得A(x)=1；

(ii)A是模糊凸的，即對(duì)所有的t∈[0,1]和x1,x2∈R，使得

A(tx1+(1-t)x2)≥min{A(x1),A(x2)};

(iii)A為上半連續(xù)的;

A的α截集表示為[A]α={x∈R:A(x)≥α},α∈[0,1]， 顯然[A]α是一個(gè)閉區(qū)間.如果suppA?(0,∞)， 則模糊數(shù)A是正的.如果A為正實(shí)數(shù) (平凡模糊數(shù)),則對(duì)任意α∈(0,1]，A的截集表示為[A]α=[A,A].

定義2設(shè)A,B為模糊數(shù)[A]α=[Al,α,Ar,α],[B]α=[Bl,α,Br,α],α∈(0,1]，模糊數(shù)空間范數(shù)定義為

A,B間的距離定義為

定義3如果存在正實(shí)數(shù)M(或N)，使得

suppxn?[M,∞)或(suppxn?(0,N]),n=1,2,…,

則稱(chēng)模糊數(shù)數(shù)列{xn}是持久的 (或有界的) .如果存在正實(shí)數(shù)M,N>0，使得suppxn?[M,N],n=1,2,…， 則稱(chēng)正模糊數(shù)數(shù)列{xn}是持久且有界的.如果‖xn‖(n=1,2,…),是無(wú)界的,正模糊數(shù)數(shù)列{xn}為無(wú)界的.

定義4如果{xn}是正模糊數(shù)數(shù)列且滿(mǎn)足方程(1)，則xn為方程(1)的正解.如果x=A+x/kx，則正模糊數(shù)x為方程(1)的正平衡點(diǎn).

定義5設(shè){xn}是正模糊數(shù)數(shù)列，x為正模糊數(shù)，記

[xn]α=[Ln,α,Rn,α]，n=0,1,2,…，

(2)

且

[x]α=[Lα,Rα]，α∈(0,1]，

(3)

定義6假設(shè)方程(1)有唯一的正平衡點(diǎn)x，如果對(duì)任意ε>0，存在δ=δ(ε)>0，使得對(duì)方程(1)的任意正解xn， 當(dāng)D(x-i,x)<δ,i=0,1,2,對(duì)所有n>0，有D(xn,x)<ε,則x是穩(wěn)定的.如果x是穩(wěn)定的，且當(dāng)n→∞，方程(1)的每個(gè)正解關(guān)于D收斂于方程(1) 的正平衡點(diǎn)，則方程 (1) 的正平衡點(diǎn)x是漸近穩(wěn)定的.

1 主要結(jié)論

首先討論方程(1)正解的存在性,給出引理1.

引理1[19]設(shè)f:R+×…×R+→R+連續(xù) ，A1,A2,…,Ak+2是模糊數(shù)，則

[f(A1,A2,…,Ak+2)]α=f([A1]α,…,[Ak+2]α),α∈(0,1].

引理2[25]設(shè)u∈E～， [u]α=[u-(α),u+(α)]，α∈(0,1]，則u-(α),u+(α)是(0,1]上的函數(shù)，滿(mǎn)足

(i)u-(α)非減且左連續(xù);

(ii)u+(α)非增且左連續(xù);

(iii)u-(1)≤u+(1).

反之，對(duì)任意定義在(0,1]上的函數(shù)a(α),b(α)，滿(mǎn)足上述(i)～(iii)，對(duì)任意α∈(0,1]，存在唯一的u∈E～，使得[u]α=[a(α),b(α)].

定理1考慮方程 (1) ，其中A是正模糊數(shù).那么對(duì)任意正模糊數(shù)x-k,x-k+1,…,x0，方程(1)存在唯一的正解xn(證明類(lèi)似文獻(xiàn)[19]中命題2.1,此略).

引理3考慮差分方程系統(tǒng)

(4)

其中：p,q及初始值y-i,z-i,i=0,1,2,…,k為正實(shí)數(shù).

下列命題成立：

(i) 假設(shè)

(5)

則當(dāng)n≥3,(4)式的正解(yn,zn)滿(mǎn)足

(6)

(ii) 若(5)式成立，則系統(tǒng)(4)有唯一的正平衡點(diǎn)(y,z)， 且

(7)

(iii) 若(5)式成立，則當(dāng)n→∞時(shí)，系統(tǒng)(4)的每一個(gè)正解收斂于正平衡點(diǎn)(y,z) .

證明(i) 設(shè)(yn,zn)為(4)式的正解.當(dāng)n≥1,yn>0與zn>0， 由式(4)，可得

yn≥p，zn≥q，n=1,2,3,…，

(8)

利用(4)，(8)式，有

(9)

設(shè)vn,wn分別為下列差分系統(tǒng)的解

(10)

使得

vi=yi，wi=zi，i=1,2,…,k.

(11)

利用歸納法證明

yn≤vn，zn≤wn，n≥k+1.

(12)

假設(shè)對(duì)n=m≥k+1,(12)式成立，那么由(9)式，得

(13)

故(12)式成立.由(10)，(11)式，對(duì)n≥k+1, 有

(14)

那么由(8)，(12)，(14)式， (6)式得證.

(ii) 設(shè)y,z為正實(shí)數(shù)，滿(mǎn)足

(15)

則由(5)，(15)式，則得正數(shù)y,z如(7)式所述.故(ii)得證.

(iii) 設(shè)

(16)

其中：li,Li∈(0,∞),i=1,2, 由(4)，(16)式，得

由此得

L1(kq-1)≤l2(kp-1)，L2(kp-1)≤l1(kq-1).

(17)

由(5)，(17)式推出L1L2≤l1l2，由此得

L1L2=l1l2，

(18)

斷言

L1=l1,L2=l2.

(19)

定理2考慮模糊差分方程(1)，其中A及x-i(i=0,1,…,k)是正模糊數(shù)，則下列命題成立：

(i) 如果對(duì)任意α∈(0,1]，使得

(20)

則(1)式的每一個(gè)正解是有界和持久的.

(ii) 如果 (20)式成立，則當(dāng)n→∞時(shí)，方程(1)的每一個(gè)正解xn關(guān)于D收斂于平衡點(diǎn)x.

證明(i) 設(shè)xn是(1)關(guān)于初始值x-k,x-k+1,…,x0唯一正解，使得

[xn]α=[Ln,α,Rn,α],α∈(0,1],n=-k,-k+1,…,0.

(21)

類(lèi)似文獻(xiàn)[17]中命題1的證明 ，有(Ln,α,Rn,α)(n=0,1,2,…)滿(mǎn)足下列帶參數(shù)的常差分方程系統(tǒng)

(22)

因(20)式成立，由引理3中的 (i) ，推出Ln,α與Rn,α為有界和持久的，故正解xn為有界和持久的.

(ii) 因(20)式成立，則類(lèi)似文獻(xiàn)[19]中命題2.3，有唯一正平衡點(diǎn)x，其中

(23)

設(shè)xn為(1)的正解，使得(21)式成立.因(20)式成立， 運(yùn)用引理3中的(iii)到系統(tǒng)(22)，有

(24)

由(24)式， 有

因此定理2中的(ii)得證。

接下來(lái)尋找使得(1)每一個(gè)正解漸近穩(wěn)定的條件.因?yàn)锳是正模糊數(shù)，存在M>0,N>0，使得

[A]α=[Al,α,Ar,α]?[M,N],α∈(0,1].

(25)

如果對(duì)(1)的唯一正解x，由(22)式，有

(26)

且

γ≤Lα≤Rα≤η,α∈(0,1]，

(27)

其中

(28)

定理3考慮模糊差分方程(1)，其中A是正模糊數(shù),假設(shè)

(29)

其中：M,N如(25)式所定義,那么方程(1) 的唯一正平衡點(diǎn)x是漸近穩(wěn)定的.

證明由(29)式，顯然(20)式成立，所以從定理 2中的(ii) ，方程(1)有唯一正平衡點(diǎn)x.

設(shè)ε是任意正實(shí)數(shù).因?yàn)?(29)式成立，取δ如下

(30)

其中：γ,η如 (28)式所定義.

設(shè)xn為方程(1)的任意正解，使得

D(x-i,x)≤δ<ε,i=0,1,2,…,k.

(31)

由(31)式，有

|L-i,α-Lα|≤δ,|R-i,α-Rα|≤δ,α∈(0,1],i=0,1,…,k.

(32)

由(22)，(23)，(25)，(30)，(32)式，得

(33)

由(30)，(33)式，有

|L1,α-Lα|<δ<ε.

(34)

由(22)，(23)，(25)，(30)，(32)式，得

(35)

由(30)，(35)式，得

|R1,α-Rα|<δ<ε.

(36)

由(34)，(36)式及歸納法，得

|Ln,α-Lα|≤ε,|Rn,α-Rα|≤ε,α∈(0,1],n=0,1,….

(37)

因此D(xn,x)<ε,n≥0.故正平衡點(diǎn)x是穩(wěn)定的.另外，由定理2中的 (ii) ，則當(dāng)n→∞時(shí)，公式(1)的每一個(gè)正解關(guān)于D收斂于x， 所以平衡點(diǎn)x是漸近穩(wěn)定的.證畢.

2 數(shù)值例子

例考慮模糊差分方程

(38)

其中：A及初始值x-i(i=0,1,2,3)為正模糊數(shù)，即

(39)

(40)

(41)

由(39)，(40)，(41)式，得

(42)

(43)

所以

(44)

(45)

由(38)式，得含參數(shù)α的差分方程系統(tǒng)

(46)

圖1 系統(tǒng)(46)的動(dòng)力學(xué)行為 圖2 α=0時(shí)，系統(tǒng)(46) 解的表現(xiàn)

圖3 α=0.5時(shí)，系統(tǒng)(46) 解的表現(xiàn) 圖4 α=1時(shí)，系統(tǒng)(46)解的表現(xiàn)

3 結(jié)束語(yǔ)