關于N(2,2,0)代數(shù)的反正則半群

陳 露

(陜西理工大學 數(shù)學與計算機科學學院,陜西 漢中 723000)

正則半群是半群代數(shù)理論的主要研究對象,而純正半群是一類特殊的正則半群．文獻[1-3]分別給出了含有中間單位的純正半群和正則半群的一些基本性質和相關結構定理；文獻[4]建立了帶有一對雙半群的N(2,2,0)代數(shù)系統(tǒng)；文獻[5-7]討論了N(2,2,0)代數(shù)的子代數(shù)、理想、非零零因子和右閉包半群；文獻[8-9]利用N(2,2,0)代數(shù)的一個子類,給出了它的一種同余分解；文獻[10]引入并討論了N(2,2,0)代數(shù)的中間冪等元的性質；文獻[11-14]討論了N(2,2,0)代數(shù)的各種模糊子代數(shù)和模糊理想的性質.論文提出N(2,2,0)代數(shù)的反正則半群的概念并討論其性質.

1 預備知識

定義1[4]設S是含常元0的集合.若在S中定義二元運算*和Δ滿足以下公理：?x,y,z∈S,有

(F1)x*(yΔz)=z*(x*y);

(F2) (xΔy)*z=y*(x*z);

(F3) 0*x=x.

則稱(S,*,Δ,0)是一個N(2,2,0)代數(shù)．

定理1[4]若(S,*,Δ,0)是N(2,2,0)代數(shù),則?x,y,z∈S,下列等式成立：

(1)x*y=yΔx；

(2) (x*y)*z=x*(y*z)，(xΔy)Δz=xΔ(yΔz)；

(3)x*(y*z)=y*(x*z)，(xΔy)Δz=(xΔz)Δy.

推論1[4]若(S,*,Δ,0)是一個N(2,2,0)代數(shù),則(S,*,0)和(S,Δ,0)都是半群．

定義2[5]設(S,*)是一個半群，對于a∈S，若存在b∈S，使得a*b*a=a，則稱a是S的正則元. 如果S的每個元素都是正則元，則稱S是一個正則半群.

定義3[5]設(S,*,Δ,0)是一個N(2,2,0)代數(shù),對于a∈S,存在b∈S,使得a*b*a=a,b*a*b=b,則稱a為可逆元,b是a的逆元.

顯然，在N(2,2,0)代數(shù)(S,*,Δ,0)中，可逆元都是正則元. 記S的正則元a的所有逆元的集合記為V(a)，如果N(2,2,0)代數(shù)的半群(S,*，0)中的每個元素都存在逆元，則稱半群(S,*，0)是可逆的，也稱S是一個可逆半群.

定義4[5]給定一個N(2,2,0)代數(shù)(S,*，0)，若a∈S(a≠0)，存在b∈S(b≠0),使得a*b=0,則稱a是N(2,2,0)代數(shù)(S,*，0)的一個非零零因子，b是a的右伴隨非零零因子．

2 主要結果

定理2在N(2,2,0)代數(shù)(S,*,Δ,0)中，A?S，考慮集合

A={a,b|a*b*a=a,b*a*b=b,b2=0}，

其中：a,b都是正則元，且互為逆元.顯然集合A具有下列性質：

(1) 當a≠0,b≠0時，a是非零零因子，b是a的右伴隨非零零因子；

(2)a3=a;

證明(1) 由

于是

a*b=a*(0*b)=(a*0)*b=b*b=b2=0，

故當a≠0,b≠0時，a是非零零因子,b是a的右伴隨非零零因子；

(2)a=a*b*a=a*b*(a*b*a)=b2*a3=0*a3=a3；

(3) 顯然成立.

定義5[15]設S是一個半群. 稱元素a為S的反正則元, 如果存在元素x∈S, 使得axa=x,xax=a成立.如果半群的每個元都是反正則元，則該半群是反正則半群.

定義6在N(2,2,0)代數(shù)(S,*，0)中，若a∈S，存在x∈S，使得a*x*a=x,x*a*x=a，則稱a是N(2，2，0)代數(shù)(S,*，Δ，0)的半群(S,*,0)的一個反正則元，x稱為a的伴隨元.

記S(a)={x∈S|a*x*a=x,x*a*x=a}，稱S(a)為a的伴隨元集．從定義容易看出a,x是互為伴隨元的.由定義1的(F3)，易知0∈S(0).

例1設S={0,a,b,c}，定義S上的*,Δ運算如表1，2所示.

表1 例1(S,*)運算表

表2 例1(S,Δ)運算表

可以證明(S,*,Δ,0)是一個N(2,2,0)代數(shù).由于

0*0*0=0,a*a*a=a,b*b*b=b,c*c*c=c，

則半群(S,*,0)是一個反正則半群，也是一個正則半群和可逆半群，有

V(0)={0}，V(a)={a}，V(b)=,V(c)={c}，

S(0)=S(c)={0,c}，S(a)=S(b)={a,b}.

例2設S={0,a,b,c}，定義S上的*,Δ運算如表3，4所示.

表3 例2(S,*)運算表

表4 例2(S,Δ)運算表

則(S,*,Δ,0)是一個N(2,2,0)代數(shù). 由于

0*0*0=0,b*b*b=b,c*c*c=c,

因此0,b,c是正則元和反正則元，也是可逆元.由于

0*c*0=0,c*0*c=c，

可知0,c也是互為逆元的，但元素a既不是正則元也不是反正則元，有

V(0)=V(c)={0,c}，V(a)=?，V(b)=，

S(0)={0}，S(a)=?，S(b)=，S(c)={c}，

故半群(S,*,0)不是一個反正則半群，不是一個正則半群，從而也不是可逆半群.

定理3若N(2,2,0)代數(shù)(S,*,Δ,0)的半群(S,*,0)是反正則半群，即a∈S,存在b∈S，使得a*b*a=b,b*a*b=a,則

a*b=b*a,a2=b2,a5=a3=a,b5=b3=b.

證明(1) 由a*b*a=b,b*a*b=a，可得

(b*a*b)*b=a*b，

(b*a*b)*b=b*(b*a*b)=b*a，

即b*a=a*b成立.

(2)a*b*a=b,b*a*b=a?a2=a*a=a*(b*a*b)=(a*b*a)*b=b*b=b2，即a2=b2成立.

(3)b*a3*b=a3?a3*b2=a3?a3*a2=a3?a5=a3.

另一方面,由

a*b*a=b,

b*a*b=a?(a*b*a)*a*(a*b*a)=a?a*(b*a*b)*a*a*a=a?a5=a，

同時,有

(a*b*a)*a*(a*b*a)=a?a*a*(a*b*a)*b*a=

a?a*a*b*b*a=a?a*(b*a*b)*a=a?a3=a，

于是a5=a3=a.類似可得b5=b3=b.

定理4若N(2,2,0)代數(shù)(S,*,Δ,0)的半群(S,*,0)是反正則半群,a,b∈S,則有下列結論成立:

(1) 若x∈S(a),a是冪零元,則必有x是冪零的;

(2)x∈S(a)∩S(b)?x∈S(a*b).

證明(1) 由x∈S(a),a是冪零元,則由a*x*a=x,得

x*a2=x?x*0=x，

又由

x*a*x=a?x*a*x*a=a2?x*(x*a2)=a2?x*(x*0)=0，

得x*x=0，即x是冪零的.

(2) 由x∈S(a)∩S(b)?x∈S(a*b)，有

a*x*a=x,b*x*b=x,

a*b*x*a*b=a*x*a*b*b=x*b*b=b*x*b=x,

x*a*b*x=a*x*b*x=a*b，

故x∈S(a*b).因此,x∈S(a)∩S(b)?x∈S(a*b).

定理5在N(2,2,0)代數(shù)(S,*,Δ,0)的半群(S,*，0)上定義關系

aρb?a*b*a=b,b*a*b=a，

則ρ是S上的同余關系.

證明自反性、對稱性顯然成立，這里只驗證傳遞性.由

c*b*b=b*c*b=c,

同理可得

c*a*c=c*b*a*b*c=b*a*c*b*c=b*a*b=a，

于是傳遞性成立.故ρ是S上的等價關系.

假定aρb,cρd, 則有

(a*c)*(b*d)*(a*c)=a*c*a*b*d*c=

c*b*d*c=b*c*d*c=b*d,

類似地,有

(b*d)*(a*c)*(b*d)=b*a*b*d*c*d=a*c，

因此,ρ是S上的同余關系.

[x]*[y]=[x*y],[x]Δ[y]=[xΔy],

則有定理6.

證明

[x]*([y]Δ[z])=[x]*([yΔz])=[x]*([z*y])=[x]*([z]*[y])=[z]*([x]*[y])，

([x]Δ[y])*[z]=([y]*[x])*[z]=[y]*([x]*[z])，

[0]*[x]=[0*x]=[x]，