時滯優(yōu)化對復雜追蹤算法精度的影響

季家威，王國杰，常 軍

（蘇州科技大學 土木工程學院，江蘇 蘇州215011）

盲源分離（BSS）是目前信號處理中熱門的新興技術之一。盲源分離是指從被測的混合信號中分離得到其獨立的組成分量（源信號）。盲源分離算法在土木健康監(jiān)測中起步較晚，靜行等基于獨立分量分析結構的模態(tài)參數[1-2]；2007年，Kerschen等對ICA理論進行研究[3]；孫戰(zhàn)里等研究了時盲源分離算法中時滯的影響[4]；McNeill等將改進的SOBI算法運用到框架結構的模態(tài)識別上[5]；W Zhou等人將Amuse算法應用到了結構的模態(tài)參數識別[6]。國內的一些學者也有對盲分離算法的研究，鐘洛等建立了基于PCA的ICA算法并運用到結構損傷識別中[7]，劉文波等利用了ICA算法進行結構模態(tài)參數及損傷識別[8-9]。尤傳雨等研究了復雜追蹤算法的改進[10-11]，在這些研究中，對于模態(tài)參數的識別都是直接應用盲源分離技術從結構的響應中分離得到振型矩陣和各階的模態(tài)響應，再應用時域或頻域的單模態(tài)識別方法從各階模態(tài)響應中識別模態(tài)參數。

復雜追蹤（CP）[12]是近期發(fā)展起來的一種BSS技術，該方法結合了信號的統計特性和時序結構，通過尋找合適的投影方向，使該方向投影信號的復雜度最小，從而實現對混合信號的分離。與傳統的盲源分離算法相比，傳統的盲源分離算法往往只以信號的統計特性作為分離依據，而忽略了信號的時序特性。CP算法最主要的目的就是對目標函數進行不斷的尋優(yōu)，直到計算出最適合的分離矩陣。目標函數中最關鍵的就是要計算一個或多個時間延遲的協方差矩陣。在現有對復雜追蹤的算法的研究中，罕有對時滯進行的討論，只是通常情況下都默認時滯為1，但在實際的信號中，時滯的個數往往是不確定的，時滯的選擇在一定程度上影響識別的精度和穩(wěn)健性。特別在被測數據被噪聲污染的情況下，這種影響顯得更為突出。

本文從時滯的角度出發(fā)，分析不同時滯對CP算法的影響，以及利用信號的統計特征，分析自相關函數和偏自相關函數來確定CP算法中的時滯個數，從而確定目標函數的形式，對結構進行有效的分析。

1 盲源分離的理論基礎

1.1 盲源分離的基本模型

對于線性盲源分離，觀察矢量X（t）=[x1，x2，…xn]T被假設為未知源信號，S（t）=[s1，s2…sn]T根據下面的模型形成線性混合物

式中，源信號Sj（t）（j=1，2…n）被假設為相互獨立。由于源信號是時間信號，因此上式中t是時間指標；A為混合矩陣，混合矩陣一般被視為方形矩陣；源信號的個數和混合信號的個數相等。若存在不相等的情況，可利用PCA多信號進行降維，最大貢獻下保留信號所有信息特征。

復雜追蹤作為時盲源分離的一種，目標是在僅知觀測信號的情況下，尋找一個解混矩陣W，使得分解得到的輸出信號Y（t）各分量的復雜度盡可能的小。分離過程可表示為

式中，Y（t）作為輸出信號，近似源信號S（t）。

1.2 基本假定

由于源信號與混合矩陣未知，只有觀測信號的信息已知，若無任何前提假設，盲源分離問題就會存在不唯一解，所以必須要有一定的假定或者約束條件：

（1）混合矩陣為列滿秩矩陣；

（2）源信號各分量相互獨立；

（3）源信號至多有一條高斯分布信號。

1.3 復雜追蹤算法

復雜追蹤是一種基于信號時間結構的盲分離算法，下面給出其基本原理。

復雜追蹤的基本思路是對混合數據進行白化處理，然后對目標函數進行迭代，得到分離矩陣。

（1）為了減小計算的復雜度，白化操作可以通過以下矩陣變換實現

式中，V為白化矩陣。白化矩陣通過對隨機變量的協方差作特征值分解，所以白化矩陣為

（2）在對混合數據進行預處理后，就可以計算時間延遲協方差矩陣。對于一個給定的時間延遲，信號向量X（t）在不同時間點的協方差可以表示為

式中，E{●}為數學期望。

（3）在判斷時滯的個數時，利用信號的統計特征，根據自相關函數圖像和偏自相關函數圖像來進行判定。自相關函數

式中，σx2是度量隨機過程取值對其均值的離散程度。

偏自相關函數是在給定了yi-1，yi-2…yt-τ+1的條件下，yt與滯后τ期時間序列之間的條件相關。定義如下

（4）目標函數。假設信號是零均值和單位方差的，信號y（t）在t時刻的值由t時刻以前的值預測

其冗余項

為了最小化信號的復雜度，就需要確定信號的時間結構及公式中f，繼而計算得到冗余項的復雜度，采用自回歸模型對信號進行預測

式中，τ為時間延遲個數，ατ為τ階回歸系數。從目標函數的形式可以看出，時滯的個數對結果會有一定的影響，Hyva¨rinen[12]采用的是自回歸模型的特例τ=1時的目標函數形式，而本文則是為了驗證時滯對結果的影響，對復雜追蹤算法進行優(yōu)化，其主要利用信號的統計特性來判斷時滯個數從而確定目標函數的最終形式。

2 結構模態(tài)參數識別

2.1 理論基礎

由動力學知識可知，線性振動系統的自由響應為

式中，qj為模態(tài)坐標，φi為固有振型向量，n為系統的模態(tài)數。

模態(tài)坐標可表示為

式中，ωdi為有阻尼頻率，θi為相位角（對于自由響應），ai（t）為指數衰減函數exp（-ξiωnit），ξi、ωni分別為阻尼比與固有頻率。

2.2 基本步驟

基本步驟為：（1）對觀測信號進化進行預處理，即白化和中心化；（2）根據信號的統計特征得到信號的自相關函數圖像與偏自相關函數圖像；（3）根據圖像判斷時滯個數，并確定目標函數的形式；（4）通過目標函數得到分離矩陣及分離信號；（5）通過分離信號得到結構的模態(tài)參數。

3 數值分析

3.1 自由響應模型

圖1 三層框架模型

3.2 分析結果

對觀測到的自由響應信號進行預處理，并且得到得出信號的統計特征。見圖2與圖3。從圖2和圖3可以看出，自相關函數有拖尾現象，即自相關性在不斷地衰減，偏相關函數在2處達到最大，即相關性最大（在0處相關性為1，代表信號在t時刻與t時刻相關性為1），所以時滯個數確定為2。這樣便可以確定目標函數。

圖2 自相關函數圖像

圖3 偏自相關函數圖像

通過復雜追蹤算法對觀測信號進行處理，圖4為觀測信號。為了便于比較時滯對識別精度的影響，計算了時滯為1和時滯為2的分離結果，見圖5至圖8。光是從圖像上不能看出兩者差異，所以從數值上分析兩者差異，如表1與表2所列。

圖4 觀測信號

圖5 分離信號（時滯為1）

圖6 分離信號（時滯為2）

圖7 頻域圖像（時滯為1）

圖8 頻域圖像（時滯為2）

表1 三層框架固有頻率識別結構

表2 三層框架阻尼比識別結果

采用模態(tài)置信準則MAC（Modal Assurance Criterion）來度量振型識別的準確性（如表3所列）。模態(tài)置信系數

表3 三層框架振型MAC識別結果

其中，φi、φi分別為振型的理論值與識別值，0≤MAC≤1，其值越大（接近1），說明識別振型的準確性越高。

從表1至表3可以看出時滯不同對結構的模態(tài)識別結構也不相同。當確定了正確的時滯個數后，結構的模態(tài)參數精度更高，更加接近理論值。圖9所示為理論振型與時滯為2時的對比圖。

圖9 三層框架前3階振型對比圖

4 結論

介紹了盲源分離算法的基本理論，以及利用復雜追蹤算法識別模態(tài)參數的相關過程。討論了通過何種思路來確定復雜追蹤算法中的時滯個數，最后通過對既有三層框架模型的數值分析，計算在不同時滯個數下的結構的固有頻率和阻尼比，同時利用MAC識別結果對不同時滯個數下的分離精度進行比較，從而得到如下結論：

（1）時滯個數對盲源分離的精度有著一定的影響；

（2）復雜追蹤算法能有效地識別結構的模態(tài)參數；

（3）適合的時滯個數得到的模態(tài)參數識別結果更接近理論值。