深耕數(shù)學(xué)活動，孕育核心素養(yǎng)
——對基于深度學(xué)習(xí)的小學(xué)課堂數(shù)學(xué)活動的認識與思考

◇任占杰

在平時聽課和質(zhì)量監(jiān)測中我發(fā)現(xiàn)，當(dāng)前課堂教學(xué)中仍然存在“重結(jié)果、輕過程”的問題?！拜p過程”，會讓學(xué)生缺失經(jīng)歷知識建構(gòu)的過程，缺失獨立思考的機會，缺失對問題解決方法、策略的體驗……而這些恰恰是學(xué)生深度學(xué)習(xí)、數(shù)學(xué)素養(yǎng)生根發(fā)芽的沃土。

一 如何認識數(shù)學(xué)活動

對數(shù)學(xué)活動的認識容易窄化為課堂上學(xué)生個體的動手操作或小組合作活動，甚至有的教師片面地認為數(shù)學(xué)活動專指數(shù)學(xué)活動課、 實踐課。 依據(jù)2011年版數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的基本理念，數(shù)學(xué)活動指從事數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的活動，即將數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)孕育于活動之中，活動中有數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)、數(shù)學(xué)的思考、數(shù)學(xué)的表達。鑒于此，數(shù)學(xué)活動應(yīng)具備以下特質(zhì)：

1.承載知識本質(zhì)。

深度學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)是理解。 只有理解知識的本質(zhì)內(nèi)涵，才能舉一反三、遷移應(yīng)用。因此，基于深度學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)活動首先要承載知識本質(zhì)。

張奠宙教授對數(shù)學(xué)本質(zhì)做了如下界定：數(shù)學(xué)知識的內(nèi)在聯(lián)系，數(shù)學(xué)規(guī)律的形成過程，數(shù)學(xué)思想方法的提煉，數(shù)學(xué)理性精神的體驗。除此之外，我們認為，數(shù)學(xué)的求真、求簡之美，也是其本質(zhì)內(nèi)涵之一。

以三年級“面積單位間的進率”一課為例。如圖1，人教版教材中呈現(xiàn)邊長為1 分米（10 厘米）的正方形及兩個學(xué)生的對話，體現(xiàn)其本質(zhì)內(nèi)涵是借助正方形面積的計算方法，由長度單位的進率推演面積單位的進率的過程。 這個過程既體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識的內(nèi)在聯(lián)系，又體現(xiàn)了數(shù)學(xué)推理在探究面積單位間的進率過程中的作用。

圖1

怎樣的數(shù)學(xué)活動才能承載這一知識本質(zhì)作用呢？ 請感受如下不同的數(shù)學(xué)活動對學(xué)生感悟知識本質(zhì)的作用：

【活動1】

核心問題：猜想1 平方分米等于多少平方厘米。

學(xué)習(xí)材料：1 平方分米的正方形和1 平方厘米的正方形。

活動指令：利用擺一擺、畫一畫、算一算的方法，對自己的猜想進行驗證。

【活動2】

核心問題：1 平方米=100 平方分米，為什么像這樣兩個相鄰面積單位間的進率是100 呢？

學(xué)習(xí)材料：學(xué)習(xí)單、信封（里面裝有兩張大小不同的正方形紙）。

活動指令：在學(xué)習(xí)單上，通過寫一寫、畫一畫說明道理。如果有困難，可以借助信封里一大一小兩張正方形紙，啟發(fā)思考。

比較兩個活動，最大的區(qū)別是提供的學(xué)習(xí)材料和活動指令的不同。

活動1 利用材料進行驗證。該活動更多指向通過用小面積單位（正方形）鋪大面積單位（正方形）發(fā)現(xiàn)相鄰面積單位間的進率關(guān)系。盡管數(shù)學(xué)推理也有體現(xiàn)，但教師的硬性指令（算一算）削弱了學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)、推理、思考的程度。

活動2 通過提供學(xué)習(xí)單幫助學(xué)生明理。該活動不僅給學(xué)生提供了思考的起點，而且關(guān)注全體，使不同層次的學(xué)生從事不同層次水平的數(shù)學(xué)活動。（1）推理能力較強的學(xué)生，可以直接寫一寫說明道理，這一過程就是數(shù)學(xué)推理。沒有任何暗示，讓學(xué)生從自己思考的起點入手，這是聚焦知識本質(zhì)的思維活動。（2）對于直接明理有困難的學(xué)生，教師提供點子圖幫助其理解。點子圖的設(shè)計給學(xué)生提供測量、 連線以達到直觀理解的機會，為促進學(xué)生由長度單位間的進率推演面積單位間的進率提供扶手。（3）對于還有困難的學(xué)生，給其提供動手操作的機會，引導(dǎo)他們對信封中的一大一小兩個正方形進行拼擺，觀察、發(fā)現(xiàn)進率關(guān)系。無論哪種情況，都為學(xué)生提供了數(shù)學(xué)思考的機會。其中，“寫一寫”環(huán)節(jié)尤為重要，它引導(dǎo)學(xué)生將發(fā)現(xiàn)、思考進行梳理、表達，這就是數(shù)學(xué)推理。所以，這樣的活動就是聚焦知識本質(zhì)、發(fā)展數(shù)學(xué)推理能力的數(shù)學(xué)活動。

2.凸顯數(shù)學(xué)思考。

數(shù)學(xué)活動的本質(zhì)是數(shù)學(xué)思考。如果數(shù)學(xué)活動只停留在動手操作的外在形式上，也就失去了數(shù)學(xué)活動促進學(xué)生深度學(xué)習(xí)和發(fā)展數(shù)學(xué)素養(yǎng)的價值。如上述兩個活動，活動2 比活動1 更具思考性，因為其設(shè)計的指向性范圍小，所以更能促進學(xué)生從源頭思考。

以五年級“真分數(shù)與假分數(shù)”一課為例。教師在課始設(shè)計了如下活動：

活動指令：它是分數(shù)，讀作四分之五。請你試著在紙上畫圖表示出這個分數(shù)。

此活動思考性很強，因為它為學(xué)生提供了認知加工的機會，讓學(xué)生調(diào)動已有的知識經(jīng)驗、研究問題的經(jīng)驗，以個體的認知方式嘗試建構(gòu)假分數(shù)的意義，盡管結(jié)果不一定完善，但學(xué)生經(jīng)歷了認知自主加工的思考過程。

3.符合真實學(xué)情。

數(shù)學(xué)活動的價值在于讓學(xué)生基于已有的經(jīng)驗，親身經(jīng)歷知識形成的探究過程，產(chǎn)生深刻體驗和獨立思考。所以，課堂上教師為學(xué)生設(shè)計的活動應(yīng)以符合學(xué)生的認知基礎(chǔ)為原則，這才是切合學(xué)生實際的有效數(shù)學(xué)活動。

“三角形三邊關(guān)系”一課作為命題教學(xué)，旨在發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)推理能力。 讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、發(fā)現(xiàn)、猜想、推理、驗證的過程，無可厚非。但是當(dāng)面對下面的課前調(diào)研結(jié)果（如圖2）時，就需要重新思考：是否有必要將學(xué)生對“三角形三邊關(guān)系”的認知置于零起點的位置來設(shè)計數(shù)學(xué)活動呢？ 我們認為，課堂不應(yīng)是學(xué)生配合教師完成教學(xué)流程，而是教師要為學(xué)生的“學(xué)”服務(wù)。

圖2

4.選擇恰當(dāng)?shù)膶W(xué)習(xí)方式。

隨著課程改革的深入，大家越來越關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)方式的變革，非常認可探究性、體驗式學(xué)習(xí)?！翱撕颓Э恕弊鳛橐还?jié)建立量感的課，讓學(xué)生經(jīng)歷體驗活動必不可少。例如，掂一掂一本字典、一袋糖，拎一拎一袋大米，背一背同學(xué)等感受質(zhì)量的活動，充分體現(xiàn)了體驗式學(xué)習(xí)對于二年級學(xué)生建立量感的重要性。

但在知識領(lǐng)域中，并非所有的學(xué)習(xí)都適宜采用探究性、體驗式的學(xué)習(xí)方式。像一些陳述性知識，接受式學(xué)習(xí)不可回避。以二年級的“除法豎式”為例。除法豎式的書寫規(guī)則，對學(xué)生來說是陳述性知識，無須自主探究，接受式教學(xué)完全可以解決。 但由于除法豎式不僅僅表示分物的結(jié)果，而且表示分物的過程，而二年級學(xué)生恰恰有豐富的分物經(jīng)驗，如果將學(xué)生的直接經(jīng)驗與人為規(guī)定的抽象豎式有效對接（如圖3），使學(xué)生知其然還知其所以然，則屬于有意義接受，即學(xué)生在接受式的學(xué)習(xí)過程中，主動介入個人的經(jīng)驗，經(jīng)歷自主建構(gòu)的過程。所以，我們認為選擇恰當(dāng)?shù)膶W(xué)習(xí)方式是提高數(shù)學(xué)活動質(zhì)量的關(guān)鍵一環(huán)。

圖3

二 如何設(shè)計有效的數(shù)學(xué)活動

1.關(guān)注兩個維度。

一個是知識維度，即知識本質(zhì)；另一個是認知維度，即認知過程。

關(guān)于知識本質(zhì)，既需要教師對數(shù)學(xué)知識的認識與理解，還需要教師對教材的整體把握和深度解讀。為什么學(xué)生對平方米與公頃間的關(guān)系往往停留在記憶性的掌握，而無絲毫的推理意識？這需要反思課堂，學(xué)生在建構(gòu)認識時是否經(jīng)歷了推理過程？調(diào)研中，有些教師提出教材中并沒有明確的提示，僅是簡單的一句話，即“測量土地的面積，可以用‘公頃’作單位。邊長是100 米的正方形面積是1 公頃?！逼鋵?，三年級教材中“面積單位間的進率”一課非常具體地呈現(xiàn)了這樣的過程（如圖1），四年級教材中的簡單處理并不意味著在教學(xué)時可以簡化這一過程，反而應(yīng)借此進一步鞏固推理過程，提升學(xué)生的推理能力。因此，抓知識本質(zhì)，需要整體把握教材，理解教材所呈現(xiàn)的本質(zhì)內(nèi)涵。

關(guān)于認知維度，要把握學(xué)生建構(gòu)概念的三個階段：動作表征、表象表征、符號表征。這就要求我們在設(shè)計數(shù)學(xué)活動時，要為學(xué)生提供動手實踐的機會，提供借助直觀模型建立表象的機會，還要提供用符號進行表達以建立模型的機會。

例如，五年級“分數(shù)的基本性質(zhì)”一課的數(shù)學(xué)活動很好地體現(xiàn)了上述三個階段。

（1）動作表征階段。兩次找相等分數(shù)，經(jīng)歷了數(shù)與形兩個維度的驗證過程： 數(shù)——類比推理；形——突出從兩幅圖到一幅圖的驗證過程。這樣做，不僅能使學(xué)生深入理解知識本質(zhì)，而且為建立表象表征做了充分準(zhǔn)備。

核心問題2：像這樣相等的分數(shù)還有嗎？請你再找一組，并用自己喜歡的方法驗證。

學(xué)生驗證：①運用商不變的性質(zhì)驗證（略）；②畫圖驗證（如圖4）。

圖4

（2）表象表征階段。伴隨學(xué)生的快速解答，學(xué)生頭腦中不斷閃現(xiàn)直觀圖中一份分幾份、幾份合一份的圖像。這是依賴動作表征的表象表征。

（3）符號表征階段。用符號或語言表達思考的過程。

核心問題：你是怎么找到的？

學(xué)生回答如下：

②分數(shù)的分子、分母同時乘或除以相同的數(shù)（0 除外），分數(shù)的大小不變。

2.關(guān)注目標(biāo)定位。

任何數(shù)學(xué)活動都以達成目標(biāo)為目的，因此，教學(xué)目標(biāo)的設(shè)定在一定程度上決定了數(shù)學(xué)活動設(shè)計的內(nèi)容、方式和活動的價值取向。

以五年級“分數(shù)的大小比較”一課為例。如果將教學(xué)目標(biāo)僅僅定位在比較分數(shù)大小的方法、規(guī)律的總結(jié)與歸納上，這節(jié)課的重點會停留在對多組分數(shù)的大小進行觀察、比較、總結(jié)、歸納上，而忽視讓學(xué)生經(jīng)歷豐富的借助幾何直觀，感悟、理解分數(shù)大小比較的本質(zhì)意義。本節(jié)課的目標(biāo)還可以定位在：（1）以豐富的生活經(jīng)驗、直觀表象為支撐,經(jīng)歷多角度的明理過程，提高數(shù)學(xué)抽象、歸納、概括能力；（2）圍繞知識本質(zhì)，突出從分數(shù)單位的角度明理，感悟單位思想，形成推理能力。這樣一來，學(xué)生將在豐富的數(shù)學(xué)活動中建構(gòu)認知。因此，本節(jié)課的設(shè)計可以分兩個層次：

第一個層次，同分母分數(shù)大小比較——多角度明理，強化聯(lián)系，積累經(jīng)驗。

第二個層次，同分子分數(shù)大小比較——突出知識本質(zhì)，滲透單位思想。

3.關(guān)注核心問題。

核心問題指在每節(jié)數(shù)學(xué)課中，對知識的學(xué)習(xí)、方法的探究、問題解決策略的形成，起到方向性引領(lǐng)作用的話題。它可以是一個大問題，亦可以是包含2 至3 個小問題的問題串，是課堂中數(shù)學(xué)活動的索引，而非一問一答式的細碎問題。因此，核心問題要具有寬度、深度和效度。

所謂寬度，指核心問題的問域要寬，給學(xué)生留有充足的研究、思考問題的空間，避免直指結(jié)論。如“面積單位間的進率”一課，“像這樣常用的相鄰兩個面積單位間的進率為什么是100 呢？能不能證明一下”給學(xué)生提供了充足的思考、研究問題的空間。

所謂深度，指核心問題的思維深度。如“除法豎式”一課，“能不能將擺小棒的過程更簡單地表示出來”促使學(xué)生將分的過程與豎式表達建立聯(lián)系，促進學(xué)生對算理的理解，感受豎式表達的簡潔之美。

所謂效度，指核心問題的有效性。有效度的問題具有一定的引領(lǐng)性，引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷知識的建構(gòu)過程。如“圖形的旋轉(zhuǎn)”一課，“能不能用更加簡潔、 準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語言描述鐘面上表針是怎樣運動的”這一看似平常的提問，實際上是統(tǒng)領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷觀察、對比、表達、交流的活動，引領(lǐng)學(xué)生聚焦旋轉(zhuǎn)的三要素，并進行對比提煉及簡明扼要的表達，這樣的過程就是建構(gòu)概念的過程。

4.關(guān)注材料提供。

這里的材料指從事數(shù)學(xué)活動的學(xué)習(xí)材料，它決定了數(shù)學(xué)活動的有效性。

以五年級“異分母分數(shù)加減法”一課為例。有如下兩個案例：

圖5

案例2：只為學(xué)生提供圖形紙片。學(xué)生研究分數(shù)加減法時，圍繞“如何一眼看出的結(jié)果是” 這一問題，利用圖形紙片自主進行折、畫的操作活動。這樣找出的新的分數(shù)單位，不是讓學(xué)生看出來的，而是伴隨著推理得到的。

從上述案例我們發(fā)現(xiàn)：不是學(xué)習(xí)材料準(zhǔn)備得越精細，就越有利于促進學(xué)生的數(shù)學(xué)思考。提供的活動材料既要能輔助學(xué)生進行操作活動，還要有利于學(xué)生進行數(shù)學(xué)思維活動，促進學(xué)生在活動中思考，在思考中發(fā)現(xiàn)，實現(xiàn)主動、獨立、自主建構(gòu)性學(xué)習(xí)。因此，活動材料的提供要以能促進學(xué)生進行開放性的操作、獨立性的思考為準(zhǔn)則。