引導(dǎo)學(xué)生探究培養(yǎng)問題意識(shí)提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)

1 教學(xué)現(xiàn)狀

眾所周知，圓錐曲線是中學(xué)數(shù)學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，在高考中始終占據(jù)著重要地位.從學(xué)生學(xué)習(xí)的情況來看，圓錐曲線始終是學(xué)生比較‘-怕”的內(nèi)容;很多高三教師對(duì)此也頗感困惑，尤其是到了二輪復(fù)習(xí)，不斷地“炒冷飯”，課堂效益低下，學(xué)習(xí)興趣不高，學(xué)生參與程度低.總之，學(xué)生學(xué)的辛苦，教師教的痛苦.

2 應(yīng)對(duì)策略

在教學(xué)過程中，通過對(duì)典型例題的類比、聯(lián)想、引申進(jìn)行深入研究，順藤摸瓜，把局部的、零散的知識(shí)點(diǎn)串成線條，形成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，融會(huì)貫通，在夯實(shí)基礎(chǔ)的前提下，引導(dǎo)學(xué)生探究問題，培養(yǎng)學(xué)生的問題意識(shí)，激發(fā)學(xué)生的思維靈感和創(chuàng)新意識(shí)，使知識(shí)縱橫交錯(cuò)、點(diǎn)面呼應(yīng)，落實(shí)“數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)”的培養(yǎng).

3 教學(xué)案例

引導(dǎo)學(xué)生以“問題串”的形式進(jìn)行復(fù)習(xí)，可以促進(jìn)學(xué)生的深度學(xué)習(xí)，從而有利于學(xué)生獲得清晰的數(shù)學(xué)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)、系統(tǒng)的數(shù)學(xué)研究方法，加深對(duì)數(shù)學(xué)的理解，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).筆者以二輪復(fù)習(xí)課為例加以說明，與同行探討、切磋、交流.

3.1 復(fù)習(xí)知識(shí)奠定基礎(chǔ)

已知○Ol：X2+y2=r2，

○O2：（x-a）2+（y-b）2=r2，

○O3：X2+y2+Dx+Ey+F=O.

提問學(xué)生：

（l）若點(diǎn)M（xo，Yo）在圓上，過點(diǎn)M的切線方程分別為____？

學(xué)生l：xox+YoY=r2;

教師：回答正確.

（2）若點(diǎn)M（xo，Yo）在圓外，過點(diǎn)M引圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為M1，M2，則切點(diǎn)弦（兩切點(diǎn)的連線段）所在直線的方程分別為____？

學(xué)生2：xox+YoY= r2;

教師：回答得很好.

3.2 類比探究掌握結(jié)論

已知橢圓C1：

拋物線C3：y2= 2px.

教師引導(dǎo)學(xué)生類比圓的切線得出下列結(jié)論（只要求類比，不需證明，因?yàn)樽C明需用到隱函數(shù)求導(dǎo)）：

（l）若點(diǎn)M（xo，Yo）分別在曲線Cl，C2，C3上，過點(diǎn)M的切線方程分別為____？

學(xué)生3：

.

YoY= p（xo +x）.

（2）若點(diǎn)M（xo，Yo）分別在曲線Cl，C2，C3外，過點(diǎn)M引曲線Cl，C2，C3的兩條切線，切點(diǎn)分別為M1，M2，則切點(diǎn)弦（兩切點(diǎn)的連線段）所在直線的方程分別為____？

學(xué)生4：

.

YoY=p（xo+x）.

教師：以上兩位同學(xué)回答準(zhǔn)確，類比推理掌握得很好. 然后教師引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)一般規(guī)律：求在點(diǎn)M（xo，Yo）處的切線方程，只需將曲線方程中的x，y，x2，y2一點(diǎn)M（xo，Yo）分別作曲線的兩條切線MM1，MM2，切點(diǎn)分別為M1，M2.類似地，只需將曲線方程中的求切點(diǎn)弦M1M2所在的直線方程.掌握這個(gè)一般結(jié)論，可以快速準(zhǔn)確地解決有關(guān)切點(diǎn)弦的問題.

3.3 應(yīng)用結(jié)論實(shí)踐檢驗(yàn)

相交，過直線l上的點(diǎn)P作橢圓C的切線PM，PN，切點(diǎn)分別為M，N，連接MN.

（l）當(dāng)點(diǎn)P在直線l上運(yùn)動(dòng)時(shí)，證明直線MN恒過定點(diǎn)Q;

（2）當(dāng)MNlll時(shí)，定點(diǎn)Q平分線段MN.

解題分析讓學(xué)生思考十分鐘后，提問學(xué)生，教師適時(shí)點(diǎn)拔.

學(xué)生5：證明 （l）設(shè)P（xo，Yo），

M（x1，Yi），N（X2， y2），

則橢圓過點(diǎn)M，N的切線方程分別為：

因?yàn)榍芯€經(jīng)過點(diǎn)P（xo，Yo），

所以

切點(diǎn)弦MN所在的直線方程為：

根據(jù)點(diǎn)P∈l，可得Yo= xo+b，

代入（3）可得

該式對(duì)Vxo∈R恒成立.

（2）當(dāng)MN///時(shí)，

直線MN的斜率為：

.

合.故可得定點(diǎn)Q平分線段MN.

此題是2017年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽廣東賽區(qū)選拔賽的第9題.實(shí)際上這道題學(xué)生只要會(huì)類比圓的切線方程得到橢圓的切線方程就不難了.

實(shí)際上2013年廣東高考理科第20題第（Ⅱ）問就曾考查類似問題.題目如下：

例2已知拋物線C的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，其焦點(diǎn)F（O，直線/上的點(diǎn)，過點(diǎn)P作拋物線C的兩條切線PA，PB，其中A，B為切點(diǎn).

（I）求拋物線C的方程;

（Ⅱ）當(dāng)點(diǎn)P（xo，Yo）為直線/上的定點(diǎn)時(shí)，求直線AB的方程;

（Ⅲ）當(dāng)點(diǎn)P在直線，上移動(dòng)時(shí)，求|AF|·|BF|的最小值.（略）

解題分析易得拋物線c的方程為X2=4y后，學(xué)生很快就用剛才的方法求出了直線AB的方程為xox-2y-2Yo=o.此時(shí)教師提出還有沒有別的方法？

學(xué)生6：采用參數(shù)法（斜率K為參數(shù)），設(shè)過點(diǎn)P作拋物線C的切線方程為y-yo=k（x-xo），聯(lián)立拋物線C的方程，但是運(yùn)算量太大，幾乎算不出.

教師：解題思路雖清晰簡(jiǎn)單，但運(yùn)算量大，且不易消元.

此時(shí)學(xué)生7：設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)A（xi，y1），B（X2，y2），x≠X2，用卻X2為參數(shù)，切線PA的方程為：

即

因?yàn)榍芯€PA，PB經(jīng)過點(diǎn)P（xo，y。），

故直線AB的方程為xox-2y-2y。=o.

教師：回答得非常棒！解題的關(guān)鍵在于引入?yún)?shù)x1和x2，采用設(shè)而不求，整體消元，得到直線AB的方程，大大簡(jiǎn)化了運(yùn)算.

教師：當(dāng)點(diǎn)P（x。，y。）為直線|上的動(dòng)點(diǎn)時(shí)，直線AB是否恒過定點(diǎn)？

學(xué)生8：只要將Yo= xo-2代入直線AB的方程xox-2y-2Yo=o，得xo（x-2）-2（y-2）=o對(duì)Vxo∈R恒成立，則x-2-0且y-2=0，即x=2，y=2，故直線AB恒過定點(diǎn)（2，2）.

教師：早在2005年高考，江西理科壓軸題也曾考查過類似問題（請(qǐng)同學(xué)們課后完成）.題目如下：

例3設(shè)拋物線C：y=X2的焦點(diǎn)為F，動(dòng)點(diǎn)P在直線|：x-y-2=0上運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)P作拋物線C的兩條切線PA，PB，且與拋物線C分別相切于A，B兩點(diǎn).

（l）求△APB的重心G的軌跡方程;

（2）求證：∠PFA= ∠PFB.

3.4 變式拓展深入探究

教師：請(qǐng)看2014年高考廣東卷文理第20題：

（l）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

（2）若動(dòng)點(diǎn)P（xo，Yo）為橢圓外一點(diǎn)，且點(diǎn)P到橢圓C的兩條切線相互垂直，求點(diǎn)P的軌跡方程.

解題分析學(xué)生思考十分鐘后提問（當(dāng)學(xué)生卡住時(shí)，教師適時(shí)點(diǎn)拔）.（過程略）.

（2）設(shè)切點(diǎn)分別為A，B，

①當(dāng)兩條切線中有一條斜率不存在時(shí)，則兩切線分別垂直x軸和y軸，兩切點(diǎn)分別為橢圓長軸與短軸的端點(diǎn)，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（+3，±2）.

②當(dāng)兩條切線的斜率都存在時(shí)，

設(shè)過點(diǎn)P的橢圓切線方程為y-Yo= k（x-xo）.

化簡(jiǎn)得（9k2+4）X2+18k（Yo-kxo）xxc+9[（Yo-kxo）2-4]=0，

依題意得△= [18k（yo-kxo）]2-36（9k2+4）[（y。-kxo）2-4]=0，

化簡(jiǎn)得（X02-9）k2-2xoY。k+Y02-4=o，

設(shè)切線PA，PB的的率分別為k1，k2，

且PA，PB相互垂直，

，

化簡(jiǎn)得X02+Y02=13（xo≠+3）.

又因?yàn)镻（+3，±2）滿足方程X02+y。2 =13，

故點(diǎn)P的軌跡方程為X2+y2=13.

此時(shí)教師應(yīng)該趁熱打鐵地引導(dǎo)學(xué)生觀察得到的點(diǎn)P的軌跡方程有何特征？

學(xué)生10：由9+4=13，知點(diǎn)P的軌跡是以橢圓P（xo，yo）為橢圓外一點(diǎn)，且點(diǎn)P到橢圓C的兩條切線相互垂直，則點(diǎn)P軌跡方程為X2 +y2= a2 +b2，其

教師：這位同學(xué)的觀察能力很厲害！這時(shí)學(xué)生11站起來說：可類比推廣到雙曲線和拋物線中.

Yo）為雙曲線外一點(diǎn)，且點(diǎn)P到雙曲線C的兩條切線相互垂直，則點(diǎn)P軌跡方程為X2 +y2= a2 +b2，其軌

②設(shè)拋物線C： y2=2px（p>o），若點(diǎn)P（xo，Yo）

為拋物線外一點(diǎn)，且點(diǎn)P到拋物線C的兩條切線相互垂直，則點(diǎn)P的軌跡是以拋物線的頂點(diǎn)為圓心，

學(xué)生Il話未落音，學(xué)生12指出①的錯(cuò)誤之處.答案應(yīng)該是：當(dāng)a2-b2 >0時(shí)，點(diǎn)P的軌跡方程為X2+y2為半徑的圓;當(dāng)a2-b2=0時(shí)，點(diǎn)P的軌跡是一個(gè)點(diǎn)（o，o）;當(dāng)a2-b2<0時(shí)，點(diǎn)P的軌跡不存在.

教師：類比推理的結(jié)論不一定正確，需要進(jìn)行推理論證.此時(shí)學(xué)生13也發(fā)現(xiàn)了②的錯(cuò)誤.點(diǎn)P的

教師：兩位同學(xué)的回答很精準(zhǔn).詳細(xì)的推理過程留給同學(xué)們課后作為作業(yè)完成.同學(xué)們，剛才探究的問題實(shí)際上是蒙日?qǐng)A問題，即在橢圓中，任意兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)都在同一個(gè)圓上，它的圓心是橢圓中心，半徑等于長半軸與短半軸平方和的算術(shù)平方根，這個(gè)圓叫蒙日?qǐng)A.有興趣的同學(xué)可以在課后上網(wǎng)查資料了解有關(guān)蒙日?qǐng)A問題.

4 反思感悟

4.1 關(guān)注知識(shí)方法，豐富聯(lián)系有收獲

教師系統(tǒng)地把握教材，理解學(xué)生，注重聯(lián)系，在教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)關(guān)注知識(shí)和方法，對(duì)知識(shí)和方法進(jìn)行再建構(gòu)、再完善，選擇一些切口小、角度新、針對(duì)性強(qiáng)的問題，引導(dǎo)學(xué)生開展一系列的探究活動(dòng)，區(qū)別于高三一輪復(fù)習(xí)，豐富知識(shí)和方法間的聯(lián)系.這樣不但教學(xué)內(nèi)容新穎有趣，而且對(duì)于學(xué)生開拓視野、培養(yǎng)問題意識(shí)、提高數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，都具有提綱挈領(lǐng)的重要作用.

4.2 關(guān)注不同層次學(xué)生，深度學(xué)習(xí)成效高

傳統(tǒng)的高三二輪復(fù)習(xí)模式課型設(shè)計(jì)簡(jiǎn)單，教師講得辛苦，學(xué)生聽得疲勞，忽視了學(xué)生的主動(dòng)性和積極性，課堂效益不高，效果又不好.二輪專題復(fù)習(xí)課一定要善“變”，不斷吸引學(xué)生的眼球，換個(gè)角度，變個(gè)形式，讓不同層次的學(xué)生都有收獲，對(duì)數(shù)學(xué)課有期待.只有學(xué)生喜歡數(shù)學(xué)課才有可能深度參與、深度思考、深度學(xué)習(xí)，課堂才更有生機(jī)和活力.

總之，高三二輪專題復(fù)習(xí)課的設(shè)計(jì)和教學(xué)實(shí)施，既要講究課堂教學(xué)的效率，又要兼顧學(xué)生的思維發(fā)展.需要設(shè)計(jì)豐富新穎的教學(xué)活動(dòng)，通過學(xué)生經(jīng)歷的探究活動(dòng)過程獲得感受、體驗(yàn)、領(lǐng)悟并由此獲得數(shù)學(xué)知識(shí)、方法和情感態(tài)度與價(jià)值觀.教師合理設(shè)定專題，恰當(dāng)選擇學(xué)習(xí)策略，充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用，為學(xué)生營造獨(dú)立思考、自主探究、勇于創(chuàng)新的良好環(huán)境，提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題的能力，從而達(dá)到提高高三復(fù)習(xí)效率，提升學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的目的.

參考文獻(xiàn)

[1]江中偉.巧用變式教學(xué)提高教學(xué)效率[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2011（1—2下）：86-87

[2]江中偉，創(chuàng)設(shè)系列問題優(yōu)化思維品質(zhì)[J].師道：教研，2011（7）：135

（本文為廣東省梅州市教育教學(xué)研究重點(diǎn)課題《高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中學(xué)生問題意識(shí)培養(yǎng)的研究》（課題編號(hào)M20901-DBX201）成果之一）