一道三角最值題的破解與拓展探究

傅小燕

三角函數(shù)的最值或取值范圍等綜合問題，一直是高考中三角函數(shù)知識(shí)模塊的重點(diǎn)與難點(diǎn)之一，可以很好融合三角函數(shù)的基本概念、基本公式、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)等，以及函數(shù)與方程、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、不等式及其應(yīng)用等相關(guān)知識(shí)，思維視角多樣，方法技巧多變，是全面考查數(shù)學(xué)“四基”與數(shù)學(xué)能力、展示知識(shí)交匯與體現(xiàn)方法多樣性的一個(gè)重要場(chǎng)所，倍受各方關(guān)注.

1問題呈現(xiàn)

問題（湖北省武漢市武昌區(qū)2023屆高三年級(jí)5月質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷·14）已知函數(shù)f（x）=1+sinx2cosx+sinx，x∈0，π2，則函數(shù)f（x）的最小值為＿＿＿＿.

根據(jù)題設(shè)條件中三角函數(shù)解析式的結(jié)構(gòu)特征，往往可以從三角函數(shù)思維、解析幾何思維以及函數(shù)與導(dǎo)數(shù)思維等切入，結(jié)合不同的數(shù)學(xué)思維與技巧策略，以及三角函數(shù)的基本知識(shí)與基本方法等的分析與應(yīng)用，呈現(xiàn)精彩紛呈、靈活多變的技巧方法.

在此題設(shè)條件下，巧妙變式拓展，達(dá)到“一題多思”與“一題多變”，實(shí)現(xiàn)“一題多得”的目的.

2問題破解

2.1三角函數(shù)思維

方法1：二倍角公式法.

解析：依題意，結(jié)合三角函數(shù)中的二倍角公式有

f（x）=1+sinx2cosx+sinx

=sin2x2+2sinx2cosx2+cos2x22cos2x2－2sin2x2+2sinx2cosx2

=tan2x2+2tanx2+12－2tan2x2+2tanx2.

令tanx2=t∈[0，1]，

則有

y=g（t）=－12×t2+2t+1t2－t－1=－12×（t+1）2t2－（t+1）=－12×11t+12－3t+1+1=－12×11t+1－322－54.

當(dāng)t=0時(shí)，g（t）有最小值12，所以函數(shù)f（x）的最小值為12.故填答案：12.

方法2：萬(wàn)能公式法.

解析：依題意，結(jié)合三角函數(shù)中的萬(wàn)能公式有

f（x）=1+sinx2cosx+sinx

=1+2tanx21+tan2x22×1－tan2x21+tan2x2+2tanx21+tan2x2

=tan2x2+2tanx2+12－2tan2x2+2tanx2.

接下來(lái)部分同方法1.

解后反思：回歸三角函數(shù)本質(zhì)，利用三角函數(shù)思維，借助三角恒等變換中的二倍角公式或萬(wàn)能公式轉(zhuǎn)化對(duì)應(yīng)的關(guān)系式，進(jìn)而利用二次函數(shù)確定相應(yīng)的最值問題.三角函數(shù)思維是最本能的一種思維方式，借助三角函數(shù)思維來(lái)分析與處理，公式變形與數(shù)學(xué)運(yùn)算比較繁雜，確有一定的難度.

2.2解析幾何思維

方法3：數(shù)形結(jié)合法.

解析：依題意，得f（x）=11+2×cosx－12sinx+1.

圖1

而代數(shù)式cosx－12sinx+1表示的是平面直角坐標(biāo)系mOn中定點(diǎn)A－1，12與動(dòng)點(diǎn)P（sinx，cosx）的連線的斜率，動(dòng)點(diǎn)P在單位圓m2+n2=1上運(yùn)動(dòng)，且滿足m，n∈[0，1]，如圖1所示.

數(shù)形結(jié)合可知，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，1）時(shí)，直線PA的斜率取得最大值，此時(shí)代數(shù)式cosx－12sinx+1的最大值為1－120+1=12，從而f（x）取得最小值12.

故填答案：12.

解后反思：結(jié)合分式型函數(shù)的最值情境，合理聯(lián)想到直線的斜率模型，利用解析幾何思維加以數(shù)形結(jié)合，直觀分析，是解決此類問題中比較常用的一種方法.在數(shù)形結(jié)合直觀處理此類問題時(shí)，要注意對(duì)分式型函數(shù)進(jìn)行必要的變形與轉(zhuǎn)化，并確定變量的取值范圍，這樣“數(shù)”與“形”之間才能實(shí)現(xiàn)無(wú)縫鏈接.

2.3導(dǎo)數(shù)思維

方法4：導(dǎo)數(shù)法.

解析：依題意，得f′（x）=2sinx－cosx+2（2cosx+sinx）2.

由x∈，可得f′（x）>0.

所以，函數(shù)f（x）在區(qū)間0，π2上單調(diào)遞增，則有f（x）min=f（0）=1+sin02cos0+sin0=12.

所以函數(shù)f（x）的最小值為12.故填答案：12.

解后反思：回歸本源，三角函數(shù)作為函數(shù)中的一種特殊類型，涉及最值問題的求解往往都可以利用導(dǎo)數(shù)思維.借助函數(shù)求導(dǎo)處理來(lái)確定函數(shù)的單調(diào)性，是破解此類問題中的一種“巧技妙法”.利用導(dǎo)數(shù)思維解決最值問題時(shí)，思維比較常規(guī)，步驟比較熟悉，問題的解決更加簡(jiǎn)單快捷.

3變式拓展

3.1同階變形

保留題設(shè)條件中自變量的范圍，改變?cè)O(shè)問方式來(lái)合理變式.

變式1已知函數(shù)f（x）=1+sinx2cosx+sinx，x∈0，π2，則函數(shù)f（x）的最大值為＿＿＿＿.

變式2已知函數(shù)f（x）=1+sinx2cosx+sinx，x∈0，π2，則函數(shù)f（x）的取值范圍為＿＿＿＿.

3.2高階變形

保留題設(shè)條件中的函數(shù)解析式，取消對(duì)自變量范圍的限制，實(shí)現(xiàn)問題的綜合變式.

變式3已知函數(shù)f（x）=1+sinx2cosx+sinx，則函數(shù)f（x）的取值范圍為＿＿＿＿.

解析：待定系數(shù)法.

令1+sinx2cosx+sinx=t，整理可得

（t－1）sinx+2tcosx=1.

根據(jù)輔助角公式，可得

1=（t－1）sinx+2tcosx=（t－1）2+（2t）25sin（x+φ）≤（t－1）2+（2t）2=5t2－2t+1，

即5t2－2t+1≥1，解得t≤0，或t≥25.

所以函數(shù)f（x）的取值范圍為（－∞，0]∪25，+∞.

故填答案：（－∞，0]∪25，+∞.

4教學(xué)啟示

4.1不同思維切入，技巧方法對(duì)比

在解決此類涉及給定區(qū)間的三角函數(shù)關(guān)系式的取值范圍（或最值）問題時(shí)，回歸三角函數(shù)思維是破解問題中最為常用的技巧方法，利用三角恒等變換公式加以轉(zhuǎn)化與應(yīng)用，合理變形成一個(gè)可以判斷范圍的三角關(guān)系式來(lái)求解；借助三角函數(shù)關(guān)系式的結(jié)構(gòu)特征，合理構(gòu)建與之相吻合的模型——直線的斜率公式，是利用解析幾何思維解決問題的關(guān)鍵；而回歸函數(shù)的本質(zhì)，利用導(dǎo)數(shù)思維來(lái)解決對(duì)應(yīng)函數(shù)的取值范圍（或最值），是解決此類函數(shù)問題中最為基本的一種方法，有時(shí)只是運(yùn)算量比較大而已.不同的思維視角與技巧方法，各有各的特點(diǎn)，可以結(jié)合自身的理解與掌握情況來(lái)合理選擇與巧妙應(yīng)用.

4.2倡導(dǎo)“一題多解”，開拓“一題多變”

涉及三角函數(shù)的最值或取值范圍等綜合應(yīng)用問題，體現(xiàn)了多知識(shí)模塊之間的交匯與融合.通過多知識(shí)交匯應(yīng)用，結(jié)合多思維視角切入，實(shí)現(xiàn)多技巧方法破解，并加以深入分析、挖掘、探究，達(dá)到“一題多思”“一題多解”的目的.在此基礎(chǔ)上加以不斷提升，實(shí)現(xiàn)“一題多變”“一題多拓”“一題多得”等，充分復(fù)習(xí)、鞏固、總結(jié)數(shù)學(xué)相關(guān)知識(shí)和數(shù)學(xué)思想方法等，全面考查學(xué)生的數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)能力，為學(xué)生養(yǎng)成良好的思維習(xí)慣、優(yōu)良的數(shù)學(xué)品質(zhì)以及數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)等方面都做了有益的嘗試.