初中數(shù)學(xué)函數(shù)圖象中數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用

【摘要】隨著教育改革的深入，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和解題能力成為初中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要目標(biāo).本文以一道二次函數(shù)動(dòng)點(diǎn)問題為例，探討在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想的重要性.通過分析二次函數(shù)的圖象和代數(shù)表達(dá)式之間的關(guān)系，學(xué)生能夠更深入地理解二次函數(shù)的性質(zhì)，并提高解決實(shí)際問題的能力.

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué)；數(shù)形結(jié)合；二次函數(shù)

1引言

二次函數(shù)作為初中數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容，其圖象的幾何性質(zhì)與代數(shù)表達(dá)式的內(nèi)在聯(lián)系，為學(xué)生提供了一個(gè)直觀理解，抽象數(shù)學(xué)概念的平臺(tái).本文以一道二次函數(shù)動(dòng)點(diǎn)問題為例，探討如何在教學(xué)中融入數(shù)形結(jié)合思想，幫助學(xué)生通過觀察圖象、分析性質(zhì)、解決具體問題，從而深化對二次函數(shù)知識(shí)的理解.

2試題呈現(xiàn)

已知二次函數(shù)y=ax2+bx－3.

（1）若函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)1，－4，－1，0，求拋物線的解析式；

（2）若2a－b=1，對于任意不為零的實(shí)數(shù)a，是否存在一條直線y=kx+tk≠0，始終與函數(shù)圖象交于A，B兩個(gè)定點(diǎn)，若存在，求出該直線的表達(dá)式；若不存在，請說明理由；

（3）如圖1，在（2）的條件下，若a>0，M、A兩點(diǎn)關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，點(diǎn)P為A，B之間的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接MP交AB于點(diǎn)Q，且PQMQ的最大值為13，求拋物線的函數(shù)解析式.

3思路分析

第一問為函數(shù)基礎(chǔ)題，通過把定點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)，構(gòu)建等式求解未知量，即可求出函數(shù)表達(dá)式.

第二問難度略有提高，但依然為常規(guī)函數(shù)題，關(guān)于“定”值，顧名思義，即不隨著未知量變化而變化，因此只需將含有未知量的系數(shù)設(shè)為0，構(gòu)建等式或者方程組進(jìn)行求解，若有解即為存在，無解即為不存在.

第三問需要運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，根據(jù)對稱性求出點(diǎn)M的坐標(biāo)為1a，－1，設(shè)P（x，ax2+2ax－x－3），過點(diǎn)P作PH∥y軸交直線AB于點(diǎn)H，過點(diǎn)M作MN∥y軸交直線AB于點(diǎn)N，則Hx，－x－3，N1a，－1a－3，求出PH、MN，再證△PQH∽△MQN，推出PQMQ=PHMN，根據(jù)PQMQ=13列出方程，由于點(diǎn)P為A，B之間的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，所以滿足方程的x值只有一個(gè)，所以Δ=0，由此求出a的值.

4解題探究

（1）把1，－4，－1，0代入y=ax2+bx－3中，

得a+b－3=－4a－b－3=0，

解得a=1b=－2，

所以拋物線的解析式為y=x2－2x－3中.

（2）因?yàn)?a-b=1，

所以b=2a－1，

把b=2a－1代入y=ax2+bx－3，

得y=ax2+2a－1x－3=x2+2xa－x－3，

令x2+2x=0，則x1=0，x2=－2，

所以當(dāng)x1=0時(shí)，

y=0－0－3=－3，

當(dāng)x2=－2時(shí)，y=0－－2－3=－1，

所以對于任意不為零的實(shí)數(shù)a，二次函數(shù)y=ax2+bx－3的圖象都經(jīng)過兩個(gè)定點(diǎn)（－2，－1）和（0，－3）.

把－2，－1和0，－3代入y=kx+t中，

得－2k+t=－1t=－3，

解得k=－1t=－3，

所以該直線的表達(dá)式為y=－x－3.

（3）由（2）得y=ax2+2ax－x－3，

所以拋物線的對稱軸為直線x=－2a－12a=－1+12a，

因?yàn)镸、A兩點(diǎn)關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，

由2得A－2，－1，B0，－3，

所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為1a，－1.

設(shè)Px，ax2+2ax－x－3，過點(diǎn)P作PH∥y軸交直線AB于點(diǎn)H，過點(diǎn)M作MN∥y軸交直線AB于點(diǎn)N，如圖2所示，

則Hx，－x－3，N1a，－1a－3，

所以PH=－x－3－（ax2+2ax－x－3）=－ax2－2ax，MN=－1+1a+3=1a+2.

因?yàn)镻H∥y軸，MN∥y軸，

所以PH∥MN，

所以△PQH∽△MQN，

所以PQMQ=PHMN，

所以當(dāng)PQMQ=13時(shí)，有－ax2－2ax1a+2=13.

整理得，3a2x2+6a2x+2a+1=0，

因?yàn)辄c(diǎn)P為A，B之間的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，

所以滿足方程3a2x2+6a2x+2a+1=0的x值只有一個(gè)，

即方程3a2x2+6a2x+2a+1=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，

所以Δ=6a22－4×3a2×2a+1=0，

解得a=0（舍去）或a=1或a=－13（舍去），

所以b=1，

所以拋物線的解析式為y=x2+x－3.

5結(jié)語

本題是一次函數(shù)與二次函數(shù)的綜合題，主要考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，二次函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)，用待定系數(shù)法求二次函數(shù)和一次函數(shù)的解析式，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí).第三問中添加輔助線構(gòu)造相似三角形，靈活運(yùn)用相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.通過在初中數(shù)學(xué)函數(shù)圖象中應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想，特別是針對二次函數(shù)動(dòng)點(diǎn)問題的教學(xué)實(shí)踐，可以看到這種方法在提高學(xué)生數(shù)學(xué)理解能力、培養(yǎng)邏輯思維和解題技巧方面的重要作用.通過觀察和分析二次函數(shù)圖象，學(xué)生能夠更加直觀地理解二次函數(shù)的性質(zhì)，并將其與代數(shù)表達(dá)式聯(lián)系起來，從而在實(shí)際問題中靈活運(yùn)用.