例析數(shù)列不等式高考題的證明破解策略

廣東省佛山市第一中學(528000) 吳統(tǒng)勝

2017年是全國新高考改革的元年，而數(shù)列不等式放縮是2017年浙江新高考的壓軸題和每年名校自主招生必考題，究其原因在于其不僅能很好地考查學生邏輯推理能力和創(chuàng)新能力，而且級數(shù)不等式的處理也是高等數(shù)學特別重要的一部分，它是初等數(shù)學向高等數(shù)學跨越的基礎，也體現(xiàn)了中學數(shù)學與高等數(shù)學間的聯(lián)系與銜接.高考數(shù)學全國卷常將數(shù)列作為中檔題考查，涉及數(shù)列求通項、求和及數(shù)列型不等式的證明， 好些省份還將數(shù)列型不等式的證明作為壓軸題來考查.因此研究數(shù)列不等式的放縮問題顯得很有必要.數(shù)列不等式放縮的核心是數(shù)列的極限思想.筆者在貴刊2018年第2 期(下半月)刊出的《數(shù)列的求通項與求和》一文中，非常詳細、系統(tǒng)地舉例說明了遞推數(shù)列中求通項、求和的幾種常用基本方法，對數(shù)列求和中涉及的常見放縮方法也進行了較詳細的探究、歸類和總結，并得到了一些易于操作的一般性的放縮策略和方法.本文筆者將結合數(shù)列不等式高考題更進一步系統(tǒng)地舉例說明數(shù)列不等式的一般性的證明破解策略，以期對廣大師生在解決此類問題時帶來一定的幫助.

策略一裂項相消或放縮為裂項相消化簡求和證明

例1(2013年廣東理科第19 題)設數(shù)列{an}的前n 項和為Sn.已知

(I) 求a2的值;

(II) 求數(shù)列{an}的通項公式;

解析(I) a2= 4(過程略); (II) an= n2，n ∈??(過程略);

(III) 由(II)知，an=n2，n ∈??.

例2(2013年江西理科第17 題)正項數(shù)列{an}的前n項和Sn滿足：-(n2+n-1)sn-(n2+n)=0.

(1) 求數(shù)列{an}的通項公式an;

解析(1) an= 2n (過程略); (2) 證明： 由于則

點評例1 第(III)問是先放縮再利用裂項相消法化簡求和得證原不等式.例2 第(2)問直接利用裂項相消法化簡求和證明.

策略二放縮為等比數(shù)列化簡求和證明

例3(2012年廣東理科第21 題) 設數(shù)列{an} 的前n 項和為Sn， 滿足2Sn= an+1- 2n+1+ 1(n ∈??)， 且a1,a2+5,a3成等差數(shù)列.

(1) 求a1的值;

(2) 求數(shù)列{an}的通項公式;

解析(1) a1=1(過程略);(2) an=3n-2n(過程略);

(3)證法一當n = 1 時，當n ≥2時，所以3n＞2 × 2n， 所以an=3n-2n＞2n，所以所以

證法二因為所以

所以

點評放縮的目的是為化簡求和，本例中證法一是先放縮為等比數(shù)列，再求和化簡證明.證法二則是分離出非負數(shù)項進行放縮，放縮為等比數(shù)列求和化簡得證原不等式，此放縮方法可操作性強，可實現(xiàn)精準放縮，是通性通法!一般地，形如可放縮為

可快速轉化為等比數(shù)列化簡求和.2013年江西第17 題也是此類題型.

該題稍作改編后便是2014年全國II 卷理科第17 題：

例4(2014年全國II 卷理科第17 題)已知數(shù)列{an}滿足a1=1, an+1=3an+1.(1) 證明是等比數(shù)列， 并求{an}的通項公式;

解析(1)(過程略);

(2)證法一由(1)知所以因為當n ≥1 時，3n-1 ≥2×3n-1，所以所以

證法二因為3n-1-1 ≥31-1-1=0，所以

以下過程同證法一.

點評直接放縮為等比數(shù)列求和化簡即可迅速得證! 但若考生沒有掌握基本的放縮方法和技巧，是不可能在考試中快速解決此類數(shù)列不等式題型的，故在高考復習備考中要注意覆蓋好數(shù)列不等式中基本的放縮方法和技巧.

例5(2007年四川文科第22 題)已知函數(shù)f(x)=x2-4，設曲線y = f(x)在點(xn,f(xn))處的切線與x 軸的交點為(xn+1,0)(n ∈??)，其中x1為正實數(shù).

(I) 用xn表示xn+1;

(II) 若x1= 4，記證明數(shù)列{an}成等比數(shù)列，并求數(shù)列{xn}的通項公式;

(III) 若x1=4,bn= xn-2，Tn是數(shù)列{bn}的前n 項和，證明Tn＜3.

解析(I) 由題可得f′(x)=2x.所以曲線y =f(x)在點(xn,f(xn))處的切線方程是： y-f(xn)=f′(xn)(x-xn).即令y =0，得2xn(xn+1-xn).即+4 = 2xnxn+1.顯然xn0，所以

當n=1 時，顯然T1=b1=2 ＜3.當n ＞1 時，所以

綜上，Tn＜3(n ∈??).

點評(方法提煉)本例題采用的是放縮為等比數(shù)列求和化簡證明，此放縮法可操作性強，是通性通法，應引導學生理解和熟練掌握該放縮證明的方法.但如何把握放縮的“度”，即如何找尋其中的“公比”q，從而實現(xiàn)精準放縮呢? 下面我們以本例題第(III)問舉例說明其具體操作過程，關鍵在于找尋使

成立的“公比”q(0 ＜q ＜1).原不等式即證

(因為0 ＜q ＜1，所以0 ＜1-qn＜1).令即得由此便可實現(xiàn)快速精準的放縮，得到該類數(shù)列不等式的程序化、套路化的證明方法.當然，具體證明過程中也要注意是從第1 項還是從第2 項或第3 項開始放縮等細節(jié)問題.讀者可以嘗試利用該方法快速找尋例3 第(3)問及例4第(2)問中的“公比”.

策略三放縮后利用累乘法化簡證明

例6(2009年廣東理科第21 題改編) 已知曲線Cn: x2-2nx+y2= 0(n = 1,2,...).從點P(-1,0)向曲線Cn引斜率為kn(kn＞0)的切線ln，切點為Pn(xn,yn).

(1) 求數(shù)列{xn}的通項公式;

解析(1) 設直線ln: y = kn(x + 1)， 聯(lián)立x2-2nx+y2= 0 得則所以舍去)，所以即

(2) 證明： 因為

又因為

策略四構造函數(shù)型不等式放縮，再求和化簡證明

例7(2015年廣東理科第21 題) 數(shù)列{an} 滿足a1+2a2+···+nan=4-

(1) 求a3的值;

(2) 求數(shù)列{an}前n 項和Tn;

解析(1)(過程略);(2)(過程略);

點評如何構造函數(shù)放縮為函數(shù)型不等式， 進而通過賦值轉化為數(shù)列不等式化簡求和證明原不等式? 我們可以通過分析法， 借助數(shù)學歸納法找尋解題時需構造的函數(shù)型不等式， 其具體操作過程如下： 原不等式即

當n=k+1 時，即證

例8求證：

解析因為ln x ≤x-1(x ＞0)，所以ln n2≤n2-1，所以

令n=2,3,...,n 各式相加得： 所以

類似題型還有2010年湖北理科第21 題：

(I) 用a 表示b,c;

(II)若f(x)≥ln x 在[1,+∞)上恒成立，求a 的取值范圍;

例9已知函數(shù)f(x)=ex-x(e 為自然對數(shù)的底數(shù)).

(1) 求函數(shù)f(x)的最小值;

(2) 若n ∈ ??， 證明：

解析(1) f(x)有最小值1.

(2) 由(1) 知， 對任意實數(shù)x 均有ex- x ≥ 1， 即1 + x ≤ex.令則所以

因為

變式拓展題

求證：

例10求證：

證法一利用伯努利不等式(1 + x)n≥ 1 +nx(n ∈??,x ＞-1)放縮證明(可用構造函數(shù)法或數(shù)學歸納法證明該不等式)

由伯努利不等式(1+x)n≥1+nx(n ∈??,x ＞-1)，

故原不等式得證!

證法二利用不等式性質放縮證明

變式拓展題(2006年重慶理科第21 題改編)求證：

點評常用于放縮的函數(shù)型不等式主要有以下三種類型：

類型1ex≥x + 1 或ln(x + 1) ≤x,(x ＞-1) 或((見人教版教材《選修2-2》P32 習題1.3B 組第1 題);

類型2

類型3x ≤1).

策略五利用數(shù)學歸納法證明

例11(2009年山東理科第20 題)等比數(shù)列{an}的前n 項和Sn為已知.對任意的n ∈??， 點(n,Sn) 均在函數(shù)y =bx+r(b ＞0 且b1，b,r 均為常數(shù))的圖象上.

(I) 求 r 的值; (II) 當 b = 2 時， 記 bn=2(log2an+1)(n ∈??)， 證明： 對任意的n ∈??不等式成立.

解析(1)an=(b-1)bn-1(過程略);

(2)當b=2 時，an=(b-1)bn-1=2n-1，

bn=2(log2an+1)=2(log22n-1+1)=2n,

證法一下面用數(shù)學歸納法證明不等式

成立.

②假設當n=k 時不等式成立，即

成立.則當n=k+1 時，

所以當n=k+1 時，不等式也成立.

由①、②可得不等式恒成立.

證法二利用策略三，放縮后利用累乘法化簡證明

因為

證法三利用基本不等式0)放縮證明

策略六利用并項放縮求和化簡證明

例12已知數(shù)列{an} 滿足a1= 1,an+1= 2an+(-1)n+1.

(1)求數(shù)列{an}的通項公式;

解析(過程略);

(2) 因為

當n=2m-1(m ≥1)時，有

當n=2m(m ≥1)時，有