五類模特四大名模 秒殺抽象函數(shù)難題

湖北省陽新縣高級中學(435200) 陳燁 鄒生書

在高考和模擬考中，有這樣一類抽象函數(shù)難題頻頻亮相，成為高中數(shù)學的熱點和難點問題.題目已知某抽象函數(shù)及其導函數(shù)滿足若干個不等式或等式，要求比較相關式子的大小或求解有關的不等式.這類問題多以客觀題的形式出現(xiàn)，命題意圖主要考查運用導函數(shù)的運算法則構造新的抽象函數(shù)，然后運用函數(shù)單調(diào)性求解.構造新的抽象函數(shù)是解決這類問題的通性通法，解法嚴謹、厚重踏實，但對考生的運算求解、推理論證、構建模型等綜合能力的要求較高.若能找到符合題設條件的一個具體函數(shù)， 我們稱之類“模特兒函數(shù)”簡稱“特函數(shù)”，于是可用這個“模特兒函數(shù)”來代言抽象函數(shù)，這樣化抽象為具體可以大大降低試題難度，使問題得到快速解決有時甚至是“秒殺”.下面我們以一定數(shù)量的典型試題為例，著重推介五類“模特”四大“名?！痹诳焖俳鉀Q這類抽象函數(shù)問題中的神奇作用，供復習備考的高三師生參考.

1.模特函數(shù)之常值函數(shù)

1.1 名模f(x)=1

例1已知函數(shù)f(x)是定義在? 上的可導函數(shù)，且對任意x ∈?，均有f(x)＞f′(x)，則下列結論正確的是( )

A.e2014f(-2014)＜f(0),f(2014)＞e2014f(0)

B.e2014f(-2014)＜f(0),f(2014)＜e2014f(0)

C.e2014f(-2014)＞f(0),f(2014)＞e2014f(0)

D.e2014f(-2014)＞f(0),f(2014)＜e2014f(0)

解選名模f(x)=1，顯然滿足條件f(x)＞f′(x)，易知A，B，C 錯誤，故選D.

例2已知定義在? 上的可導函數(shù)y = f(x) 的導函數(shù)為f′(x)， 滿足f′(x) ＜f(x)， 且y = f(x+1)為偶函數(shù)，f(2)=1，則不等式f(x)＜ex的解集為____.

解易知名模f(x) = 1 滿足條件， f(x) ＜ex即為ex＞1，故解集為(0,+∞).

例3設f(x) 定義在? 上的可導函數(shù)， 滿足f(x) +xf′(x) ＞0，則不等式的解集為____.

解選名模f(x) = 1， 顯然滿足所有條件， 則不等式即為解得1 ≤x ＜2，故所求不等式的解集為[1,2).

例4已知f(x)是定義在(0,+∞)上的可導函數(shù)，且滿足f(x)＞xf′(x)恒成立，則不等式的解集為____.

解易知名模f(x) = 1 滿足條件，不等式f(x)＞0 即為x2-1 ＞0，又因為x ＞0，所以x ＞1，故所求不等式的解集為(1,+∞).

例5已知定義在上的函數(shù)f(x) 的導函數(shù)為f′(x)， 且對任意都有f′(x)sin x ＜f(x)cos x，則不等式sin x 的解集為____.

解易知名模f(x) = 1 滿足條件， 則不等式f(x) ＜即為又因為所以故所求不等式的解集為

1.2 名模f(x)=-1

例6函數(shù)f(x)的導函數(shù)為f′(x)，若2f′(x)＞f(x)，對x ∈? 均成立，則( )

A.3f(2 ln 2)＞2f(2 ln 3)

B.3f(2 ln 2)＜2f(2 ln 3)

C.3f(2 ln 2)=2f(2 ln 3)

D.3f(2 ln 2)與2f(2 ln 3)大小不確定

解選名模f(x) = -1， 顯然對任意x ∈? 滿足條件2f′(x)＞f(x)，而3f(2 ln 2)=-3，2f(2 ln 3)=-2，故選B.

例7(四川省成都外國語學校2015 屆高三月考) 定義在上的函數(shù)f(x)， f′(x) 是它的導函數(shù)， 且恒有f (x)＜f′(x)tan x 成立，則( )

解顯然名模f(x) = -1 是滿足題設條件的一個特殊函數(shù).則即故A 錯誤.即f(1) ＞故B 錯誤.即故C 錯誤.綜上可知選項A，B，C 均不正確，故選D.

2.模特函數(shù)之一次函數(shù)

2.1 名模f(x)=x

例8(2016年宜賓適應性考試) 已知y = f(x) 為?上的可導函數(shù)， 當x0 時，則函數(shù)的零點個數(shù)為( )

A.1 B.2 C.0 D.0 或2

解選名模f(x) = x， 則f′(x) = 1， 當x /0 時，滿足題設條件.而即函數(shù)無零點，故選C.

例9(皖南八校2015 屆高三第一次聯(lián)考)已知定義在?上的奇函數(shù)f(x)的導函數(shù)為f′(x)，當x ＜0 時，f(x)滿足2f(x)+xf′(x)＜xf(x)，則f(x)在? 上的零點個數(shù)為( )

A.1 B.3 C.5 D.1 或3

解選名模f(x) = x， 顯然f(x) 是在? 上的奇函數(shù)，2f(x)+xf′(x) = 3x，xf(x) = x2，當x ＜0 時，3x ＜x2成立，即2f(x)+xf′(x)＜xf(x)成立.而f(x)=x 在? 上只有一個零點0，故選A.

2.2 名模f(x)=-x

例10 (2017年10月金太陽湖北高三重點中學聯(lián)考理科第12 題)定義在上的可導函數(shù)f(x)的導函數(shù)為f′(x)，且f′(x)cos x+f(x)sin x ＜0，f(0) = 0，則下列判斷中一定正確的是( )

解易知名模f(x) = -x 滿足所有條件， 且故選A.

3.模特函數(shù)之二次函數(shù)

例11設函數(shù)f(x) 是定義在(-∞,0) 上的可導函數(shù)，其導函數(shù)為f′(x)， 且有2f(x) + xf′(x) ＞x2， 則不等式(x+2015)2f(x+2015)-4f(-2)＞0 的解集為____.

解特函數(shù)f(x) = x2滿足所有條件， 不等式(x +2015)2f(x+2015)-4f(-2)＞0 即為(x+2015)4-16 ＞0，所以(x+2015)2＞4，又x ＜0，解得x ＜-2017，故不等式的解集為(-∞,-2017).

例12 設函數(shù)f(x) 在? 上的導函數(shù)為f′(x)， 且2f(x)+xf′(x)＞x2，則下列不等式在? 上恒成立的是( )

A.f(x)＞0 B.f(x)＜0 C.f(x)＞x D.f(x)＜x

解特函數(shù)滿足條件，顯然f(x)＞0，從而否定B.又由否定C，D.綜上選A.

例13已知偶函數(shù)f(x)(x0)的導函數(shù)為f′(x)，且滿足f(1) = 0，當x ＞0 時，xf′(x) ＜2f(x)，則使得f(x) ＞0成立的x 的取值范圍是( )

A.(-∞,1)∪(0,1) B.(-∞,-1)∪(1,+∞)

C.(-1,0)∪(1,+∞) D.(-1,0)∪(0,1)

解特函數(shù)f(x) = 1 - x2(x0) 滿足題設條件，f(x)＞0 即為1-x2＞0，解得-1 ＜x ＜1，又x0，故選A.

4.模特函數(shù)之三次函數(shù)

例14已知函數(shù)f(x) 在? 上的奇函數(shù)， 且f(1) = 0，對?x ＞0，有xf′(x) ＞f(x)，則不等式x2f(x) ＞0 的解集為____.

解特函數(shù)f(x) = x(x2-1)滿足題設條件，則不等式x2f(x)＞0 即為x(x2-1)＞0，解得-1 ＜x ＜0 或x ＞1，故所求不等式的解集為(-1,0)∪(1,+∞).

例15(2015年高考新課標II 第12 題)設函數(shù)f′(x)是奇函數(shù)f(x) (x ∈?) 的導函數(shù)， f(-1) = 0， 當x ＞0 時，xf′(x)-f(x)＜0，則使得f(x)＞0 的x 的取值范圍是( )

A.(-∞,-1)∪(0,1) B.(-1,0)∪(1,+∞)

C.(-∞,-1)∪(-1,0) D.(0,1)∪(1,+∞)

解特殊函數(shù)f(x) = x-x3滿足所有條件.事實上，f(x)在? 上是奇函數(shù)，f(-1)=0，f′(x)=1-3x2，當x ＞0時，xf′(x)-f(x)=-2x3＜0.于是，不等式f(x)＞0 即為x-x3＞0，解得x ＜-1 或0 ＜x ＜1，故選A.

5.模特函數(shù)之f(x)=ex

例16 設函數(shù)f(x)的定義域為?，且對任意的x ∈?，f′(x)+f(x)＞0，則對任意正數(shù)a，必有( )

解顯然特函數(shù)f(x) = ex滿足條件，易知選項A，B，C錯誤，故選D.

評注選模因題而異， 除四大名模外， 有時選模需要尋尋覓覓，根據(jù)題設條件模特函數(shù)并不十分清楚，往往只有一個大概的輪廓，需要慢慢的雕塑打磨和培訓，構建的常用方法是待定系數(shù)法， 有興趣的讀者你可查閱筆者的研究文章[1][2][3].打造模特的過程有時很艱辛，具有挑戰(zhàn)性和創(chuàng)造性，但能使人獲得成功感和精神上的滿足.

上面我們介紹了五類模特函數(shù)在快速解決一類抽象函數(shù)難題的神奇作用，其中“四大名?！眆(x) = 1，f(x) = -1，f(x) = x，f(x) = -x 清純可愛，雖為名模但不漫天要價，出場費超低誰都請得起，應謹記在心，當你在遇到這類抽象函數(shù)的考題時請在第一時間邀請四大名模來幫忙，或許有救啊.

名模亮相，驚艷全場，秒殺難題，五分進囊.