關(guān)于Orlicz空間中p一致凸性的刻畫

許立濱，鄂明川，于繼杰

(1.哈爾濱理工大學(xué)應(yīng)用科學(xué)學(xué)院哈爾濱150080;2.哈爾濱電力職業(yè)技術(shù)學(xué)校哈爾濱150030)

1 引言

自1932年著名波蘭數(shù)學(xué)家W·Orlicz引入Orlicz空間以來，Orlicz空間理論因其重要的理論性質(zhì)和應(yīng)用價(jià)值得到了長足的發(fā)展.關(guān)于賦Orlicz范數(shù)和Luxemburg范數(shù)的Orlicz空間的幾何性質(zhì)研究的已近乎完善，而賦p－Amemiya范數(shù)Orlicz空間幾何性質(zhì)的研究剛剛開始.p一致凸性是Banach空間重要的幾何性質(zhì)，本文將分別對(duì)賦 p－Amemiya范數(shù)、Luxemburg范數(shù)及Orlicz范數(shù)的Orlicz空間的p一致凸性做系統(tǒng)的的研究.

下面先給出一些基本概念:

設(shè)X是實(shí)Banach空間，B(X)和S(X)分別表示空間的單位球和單位球面.

映射Φ:R→[0，∞]被稱為Orlicz函數(shù)是指Φ是偶，凸，在R+上連續(xù)，僅在零點(diǎn)等于零的函數(shù)，并令p(u)是Φ(u)的右導(dǎo)數(shù).對(duì)每個(gè)Orlicz函數(shù)Φ，定義它的余函數(shù) Φ:R→[0，∞]，

Ψ(v)=sup{u|v|－Φ(u)∶u≥0}易知余函數(shù)Ψ也是Orlicz函數(shù).

設(shè)(G，∑，μ)是 δ－有限的測度空間，μ 是非原子且完備的測度，Lo(μ)表示所有定義在集合G上的可測函數(shù)的全體，對(duì)一給定的Orlicz函數(shù)Φ，在Lo(μ)上定義凸泛函

IΦ(x)= ∫GΦ(x(t))dμ

由Orlicz函數(shù)Φ所生成的Orlicz空間LΦ:

LΦ={x∈Lo(μ)∶IΦ(cx) ＜ ∞，存在某個(gè)c ＞0}及Orlicz空間LΦ的子空間:

EΦ={x∈Lo(μ)∶IΦ(cx) ＜ ∞，對(duì)任意c＞ 0}

且滿足

或等價(jià)的Orlicz范數(shù):

在 Orlicz空間中，Orlicz范數(shù)與如下的Amemiya范數(shù)是等價(jià)的[1]

LΦ通常賦以如下的Luxemburg范數(shù):

為簡化記號(hào)，令

k ∈ K(x)[1]，對(duì) t ＞ 0，令

p－(t)=sup{p(s)∶0≤s＜ t}，且p－(0)=0.

稱Orlicz函數(shù)Φ滿足Δ2－條件(簡記為Φ∈Δ2)是指若存在正整數(shù)K和u0＞0，使得對(duì)于|u|≥ u0，有 Φ(2u) ≤KΦ(u).

稱Orlicz函數(shù)滿足 ▽2－條件(簡記為 Φ ∈▽2)是指它的余函數(shù)Ψ滿足Δ2－條件.

記SΦ為Φ的所有嚴(yán)格凸點(diǎn)構(gòu)成的集合，即若u，v∈ R，α ∈ (0，1)，且

αu+(1 － α)v∈ SΦ，則

Φ(αu+(1－α)v) ＜ αΦ(u)+(1－α)Φ(v).

在LΦ中引入如下泛函:

2 主要結(jié)果

引理 2.1[2]?x ∈ LΦ，‖x‖L= ‖x‖Φ，∞≤ ‖x‖Φ，p≤ ‖x‖Φ，1=‖x‖Φ.

引理2.2[1]對(duì)一切 x∈ LΦ有

‖x‖L≤ ‖x‖Φ≤ 2‖x‖L.

引理2.3[1]若 Φ(u) ∈ Δ2，則 ?ε1＞ 0，

?δ1＞ 0，使得

‖u‖L≥ ε1?ρΦ(u) ≥ δ1

定理 2.1 對(duì)一切 x∈ LΦ有 ‖x‖L≤‖x‖Φ，p≤ 2‖x‖L.

證明 利用引理2.1和引理2.2可以推出此結(jié)論.

定理2.2 若Φ(u)∈Δ2，則?ε ＞0，?δ＞0，使得

‖u‖Φ≥ε?ρΦ(u)≥δ

證明 若對(duì)?ε＞0，有‖u‖Φ≥ε，利用引理2.2可以推出

因此，利用引理2.3可以推出:

?δ＞ 0 s.t.ρΦ(u) ≥ δ

定理2.3 若Φ(u)∈Δ2，則?ε ＞0，?δ＞0，使得

‖u‖Φ，p≥ ε?ρΦ(u) ≥ δ

證明 若對(duì)?ε＞0，有‖u‖Φ，p≥ε，利用定理2.1可以推出:

因此，利用引理2.3得出:?δ＞ 0，使得ρΦ(u)≥δ.

定理2.4 設(shè) Φ 是 N 函數(shù)，Φ(u)∈ Δ2，令M(u)=Φp(u)，(p≥2).若Φ(u)是一致凸的，則賦Luxemburg范數(shù)的 Orlicz空間(LM，‖·‖L)是p一致凸的.

證明 由于Φ是N函數(shù)，所以由N函數(shù)的定義可知:M也是 N函數(shù).賦 Luxemburg范數(shù)的Orlicz空間(LM，‖·‖L)是p一致凸的當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任意的u，v∈S(LM)，存在c＞0，使得對(duì)給定0≤ h≤1，有

由于Φ(u)∈Δ2，即?K ＞2和u0≥0使得Φ(2u)≤KΦ(u)，(u≥u0).則M(2u)= Φp(2u)≤ KpΦp(u)=KpM(u)，即 M(u) ∈ Δ2.因此利用引理2.3可知:要證本定理，只須證

對(duì)于上述h，選取u0＞0，使得M(u0)mesG ＜(h－h(huán)p)/2，并令

ε'=((h－h(huán)p)/2)1/p.由于Φ(u)是一致凸的，即對(duì)上述的 u0，ε'，?δ＞ 0，當(dāng)

|u － v|≥ ε'max(|u|，|v|)≥ ε'u0時(shí)，有

因此

又由于p≥2，

即M(u)也是一致凸的.

因ε'＜1，由G2的定義及

α，β∈ R，有

于是

由于M在G1，G2上是凸函數(shù)，在G3上是嚴(yán)格凸函數(shù)，因此有

令 δ=c2p，即

定理2.5 設(shè)Φ是N函數(shù)，Φ(u)∈Δ2，令M(u)=Φp(u)，(p≥2).若Φ(u)是一致凸的，則賦Orlicz范數(shù)的Orlicz空間(MM，‖·‖M)是p一致凸的.

證明 由于Φ是N函數(shù)，所以由函數(shù)的定義可知:M(u)也是N函數(shù).賦Orlicz范數(shù)的Orlicz空間(LM，‖·‖M)是p一致凸的當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任意的u，v∈S(LM)存在c＞0，使得對(duì)給定0≤h≤1，有

由于Φ(u)∈Δ2，即?K ＞2和u0≥0使得Φ(2u) ≤ KΦ(u)，u(≥ u0).則

M(2u)= Φp(2u)≤KpΦp(u)=KpM(u)，即M(u)∈Δ2.因此利用定理2.2可知:要證本定理，只須證

證明過程與定理2.4的證明過程類似.

定理2.6 設(shè) Φ 是 N 函數(shù)，Φ(u)∈ Δ2，令M(u)= Φp(u)，(p≥2).若Φ(u)是一致凸的，則賦p－Amemiya范數(shù)的Orlicz空間(LM，‖·‖M，p)是p一致凸的.

證明 由于Φ是N函數(shù)，所以N由函數(shù)的定義可知:M(u)也是N函數(shù).賦p－Amemiya范數(shù)的Orlicz空間(LM，‖·‖M，p)是p一致凸的當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任意的u，v∈S(LM)，存在c＞0，使得對(duì)給定0≤ h≤1，有

由于Φ(u)∈Δ2，即?K ＞2和u0≥0使得Φ(2u)≤KΦ(u)，(u≥u0).則M(2u)= Φp(2u)≤ KpΦp(u)=KpM(u)，即 M(u) ∈ Δ2.因此利用定理2.3可知:要證本定理，只須證

證明過程與定理2.4的證明過程類似.

本文分別給出了賦 p－Amemiya范數(shù)、Luxemburg范數(shù)及Orlicz范數(shù)的Orlicz空間具有p一致凸性的充分條件，但對(duì)于必要條件還需更深入地研究.

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