關(guān)于素環(huán)的導(dǎo)子

杜君花，王 立

(1.齊齊哈爾大學(xué)理學(xué)院，黑龍江齊齊哈爾161006;2.哈爾濱理工大學(xué)應(yīng)用科學(xué)學(xué)院，哈爾濱150080)

1 引言及引理

自Posner在文獻(xiàn)[1]中討論了素環(huán)和半素環(huán)上導(dǎo)子的幾個(gè)問題后，許多人在這方面進(jìn)行了研究.1957年P(guān)osner首先證明具有中心化的非零導(dǎo)子的素環(huán)一定是可換環(huán)，1984年Mayne在文獻(xiàn)[2]中推廣了Posner定理，討論了對(duì)任意x∈I均有[x，d(x2)]∈Z的情況.1994年在文獻(xiàn)[3]中又討論了任意的x∈I均有[x，d(x2)]∈Z的情況，但沒有討論的[x，d(x2)]∈Z 情況和x2?d(x)∈Z 且Z∩I≠{0}的情況.本文針對(duì)這兩種情況進(jìn)行討論，得到了環(huán)R交換的一些新的條件.

假定R是結(jié)合環(huán)，d是環(huán)R到自身的一個(gè)映射.如果對(duì)任意的x，y∈R，有 d(x+y)=d(x)+d(y)且d(xy)=xd(y)+d(x)y，則稱 d是 R的導(dǎo)子.xy－yx稱為換位子，記作[x，y]，xy+yx稱為反換位子，記作x?y.

本文中的環(huán)均為結(jié)合環(huán)，用Z表示環(huán)R的中心.

引理1[3]設(shè)R是特征不為2的素環(huán)，I是R的非零理想，若存在非零導(dǎo)子d，滿足對(duì)任意的x∈I均有[x，d(x2)]∈Z，則 R 環(huán)為交換環(huán).

引理2[4]若 Z為環(huán)R的中心，d為 R的導(dǎo)子，則d(Z)?Z.

2 主要結(jié)論及證明

定理1 設(shè)R是6－扭自由的素環(huán)，I是R的非零理想，Z是環(huán)R的中心，若存在非零導(dǎo)子d滿足對(duì)任意的x∈I均有[x，d(x2)]∈Z，則環(huán)R為交換環(huán).

證明 若存在0≠c∈Z∩I，則對(duì)任意的x∈I，用 c+x代[x，d(x2)]∈Z 中的x，有

又c∈Z可知d(c2)∈Z，即有

又[x，d(x2)]∈Z，R 是6－扭自由的素環(huán)，故有

由引理可知環(huán)R交換.

若Z∩I={0}即有

對(duì)任意的 x∈I、y∈I，用 x+y 代替式(2)中的 x，可得

整理有

用x－y代替式(2)中的x有

整理有

式(3)+式(4)可得

2([x，d(y2)]+[y，d(xy)]+[y，d(yx)])=0.又R是6－扭自由的素環(huán)，故得

展開可得

進(jìn)而可得

即

用x代替上式中的y有

又R是6－扭自由的素環(huán)，可得

由引理可知環(huán)R為交換環(huán).

定理2 設(shè)R是6－扭自由的素環(huán)，I是R的非零理想，Z是環(huán)R的中心，若存在非零導(dǎo)子d滿足對(duì)任意的x∈I均有x2?d(x)∈Z且Z∩I≠{0}，則環(huán)R為交換環(huán).

證明 用x+y代替x2?d(x)∈Z中的x有

即

用x－y代替x2?d(x)∈Z中的x，可得

即

式(5)+式(6)，得

又R是6－扭自由的，故有

由Z∩I≠{0}可知存在0≠c∈Z∩I，用c代替式(7)中的 x，可得

由已知可得

于是?y∈I均有

即

又 c∈Z，故有

由定理1可知環(huán)R交換.

[1] POSNER E C.Derivations in prime rings[J].Proc.Amer Math Soc.，1957，8:1093 －1100.

[2] MAYNE J.Centralizing mappings of prime rings[J].Canad Math Bull.，1984，279:122 －126.

[3] HUANG Y B，ZHU L S.On derivation of prime rings[J].(PRC)of Math.，1994，4:579 －586.

[4] 王 宇，張秀英.素環(huán)上中心化廣義導(dǎo)子[J].東北師范大學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2001，33(2):116 －118.