Mann迭代算法求解非線性混合隱變分不等式

向國(guó)坤，馮世強(qiáng)，李 倫

(西華師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息學(xué)院，四川南充637002)

1 引言

在當(dāng)今數(shù)學(xué)的很多領(lǐng)域里，變分不等式理論是一個(gè)非常強(qiáng)大的工具[1－5].近年來(lái)，特別是，古典變分不等式問(wèn)題在力學(xué)、物理學(xué)、優(yōu)化與控制、非線性規(guī)劃、經(jīng)濟(jì)學(xué)和交通平衡和工程科學(xué)等學(xué)科領(lǐng)域里有著廣泛的發(fā)展和應(yīng)用[6－7].

眾所周知，研究變分不等式理論最重要和最困難的問(wèn)題之一就是發(fā)展一種高效的、可實(shí)現(xiàn)的迭代算法.這類(lèi)迭代算法可以用來(lái)解決各類(lèi)變分不等式和變分包含問(wèn)題.這類(lèi)迭代算法中用到的投影和收縮方法以及它的各種變形形式是求解各種類(lèi)型變分不等式和互補(bǔ)問(wèn)題近似解的重要工具.一般情況下，這類(lèi)迭代算法中用到的投影和收縮方法的收斂性分析通常需要映射必須是強(qiáng)單調(diào)或者滿射.像這樣嚴(yán)格的限制條件制約了我們用投影和收縮方法來(lái)解決很多應(yīng)用型問(wèn)題.因此，這個(gè)事實(shí)告訴我們有必要對(duì)投影和收縮方法做進(jìn)一步的優(yōu)化工作[7－8].

結(jié)合文獻(xiàn)[5]中所提到的一類(lèi)投影收縮算法及相關(guān)性質(zhì)來(lái)求解變形的變分不等式問(wèn)題和文獻(xiàn)[9]中求解一類(lèi)非線性混合隱變分不等式的迭代算法.本文用一種新的Mann迭代算法來(lái)求解一類(lèi)非線性混合隱變分不等式.在這個(gè)過(guò)程中，我們用到了預(yù)解算子和對(duì)Mann迭代算法所產(chǎn)生的迭代序列進(jìn)行了收斂性分析.本文的映射A既不是強(qiáng)單調(diào)映射，也不是滿射，有利于投影和收縮法在許多領(lǐng)域里的應(yīng)用和發(fā)展.

2 預(yù)備知識(shí)

假設(shè)一個(gè)單值映射A∶Rn→Rn，和一個(gè)適當(dāng)?shù)耐瓜掳脒B續(xù)映射φ∶Rn→Rn∪{+∞}.本文考慮以下的一個(gè)非線性混合隱變分不等式問(wèn)題.

令 a∈Rn，使得

如果φ=δk，其中δk表示一個(gè)非空閉凸集K的指示函數(shù).這樣，問(wèn)題(1)就等價(jià)于找到一個(gè)a∈Rn，使得 A(a)∈K，

我們把(2)中的不等式問(wèn)題叫做非線性隱變分不等式問(wèn)題.

為了求得非線性隱變分不等式問(wèn)題的解，首先，我們需要引入以下概念和引理.

定義2.1 如果A∶Rn→Rn的一個(gè)映射，并且存在一個(gè)常數(shù)ξ＞0，滿足以下條件‖A(a)－A(b)‖≤ξ‖a － b‖，?a，b∈Rn.

那么，映射A就稱(chēng)作Lipschitz連續(xù).

定義2.2 如果A∶Rn→Rn的一個(gè)映射，同時(shí)滿足以下條件〈A(a) －A(b)，a－b〉≥0，?a，b∈Rn

那么，映射A就稱(chēng)作單調(diào)映射.

定義2.3 如果 φ∶Rn→Rn∪{+∞}的一個(gè)凸下半連續(xù)泛函，?φ表示φ的一個(gè)次微分，常數(shù)ρ＞0，那么，定義一個(gè)預(yù)解算子(b)∶Rn→Rn.(b)=(I+ ρ?φ)－1(b)，?b∈Rn.

備注2.1[7]如果 δk表示一個(gè)非空閉凸集 K的指示函數(shù)，Pk表示一個(gè)投影映射，當(dāng)φ=δk時(shí)，我們可以得到:是非擴(kuò)張的，并且=Pk.

引理 2.1[8]給定一個(gè)點(diǎn) a∈Rn，當(dāng) a=(c)時(shí)，任意一個(gè)點(diǎn)c∈Rn滿足如下的不等式

引理2.2 如果 φ∶Rn→Rn∪{+∞}的一個(gè)凸下半連續(xù)泛函，并且是預(yù)解算子，那么，可以得到:I－是非擴(kuò)張的.

證明:對(duì)?x，y∈Rn，根據(jù)引理 2.1，可以得到

引理2.3 如果映射A∶Rn→Rn的單調(diào)映射且映射A是關(guān)于Lipschitz常數(shù)ξ＞0的Lipschitz連續(xù)映射，令 λk∈(0，1]，常數(shù) ρ＞0，當(dāng) λk=1 或者時(shí)，則可以得到 [2－(λk－1)2－

證明:當(dāng) λk∈(0，1]時(shí)，那么，我們可以得到

結(jié)論證畢.

3 迭代算法和收斂性分析

本節(jié)中，我們將用一種新的Mann迭代算法來(lái)求解問(wèn)題(1)和問(wèn)題(2).

如果映射A∶Rn→Rn的單值映射，映射φ∶Rn→Rn∪{+∞}的凸下半連續(xù)泛函，常數(shù)ρ＞0.

由引理 2.1和備注2.1可以知道，當(dāng) e(a，ρ)=0時(shí)，a∈Rn是問(wèn)題(1)的一個(gè)解;當(dāng)(a，ρ)=0時(shí)，a∈Rn是問(wèn)題(2)的一個(gè)解.

為求解問(wèn)題(1)的解，我們給出以下的Mann迭代算法[9].

算法3.1 對(duì)?a0∈Rn定義一個(gè)迭代序列{ak}如下如果滿足 φ=δk，那么，算法3.1可以得到如下變形.

算法3.2對(duì)?a0∈Rn，定義一個(gè)迭代序列{ak}如下

定理3.1 如果映射A∶Rn→Rn是一個(gè)單調(diào)映射，映射φ∶Rn→Rn∪{+∞}是一個(gè)凸下半連續(xù)泛函，那么，問(wèn)題(1)的任意解a*∈Rn，滿足以下不等式〈a － a*，d(a，ρ)〉≥〈e(a，p)，d(a，ρ)〉，

證明:設(shè)a*是問(wèn)題(1)的一個(gè)解，由(1)式可以得到

由引理2.1，我們可以得到

綜合式(8)、(9)，可以得到

又因?yàn)锳是一個(gè)單調(diào)映射，我們可以得到

結(jié)合式(10)、(11)，可以得到變形得

結(jié)論證畢.

定理3.2 如果映射A∶Rn→Rn的單調(diào)映射，并且映射A是關(guān)于Lipschitz常數(shù)ξ＞0的Lipschitz連續(xù)映射，序列{ak}是算法3.1中定義的迭代序列，那么，問(wèn)題(1)的任意解a*∈Rn滿足以下不等式

證明:設(shè)a*是問(wèn)題(1)的一個(gè)解，由式(5)可以得到又因?yàn)橛成銩是單調(diào)的，并且Lipschitz連續(xù).我們有由定理3.1可以得到

進(jìn)一步可以得到

結(jié)論證畢.

當(dāng)λk=1時(shí)，式(12)可以退化為文獻(xiàn)[9]中的結(jié)論.

推論3.1[9]如果映射的單調(diào)映射 A∶Rn→Rn，并且映射是關(guān)于Lipschitz常數(shù)ξ＞0的Lipschitz連續(xù)映射，序列{ak}是算法3.1中定義的迭代序列，那么，當(dāng)λk=1時(shí)，問(wèn)題(1)的任意解a*∈Rn滿足以下不等式

定理3.3 已知映射A∶Rn→Rn的單調(diào)映射，并且映射A是關(guān)于Lipschitz常數(shù)ξ＞0的Lipschitz連續(xù)映射，{ak}是算法3.1中定義的迭代序列，如果常數(shù)ρ＞(+1)ξ，那么，迭代序列{ak}收斂于問(wèn)題(1)的一個(gè)解a*∈Rn.

證明:設(shè)a*是問(wèn)題(1)的一個(gè)解，由定理3.2可以得到

由引理 2.3可知，當(dāng) λk=1或者 λk∈時(shí)， 容 易 得 到進(jìn)一步可得到:xk是單調(diào)遞減的，迭代序列{ak}是有界的和e(ak，ρ)→0(k→∞).因此，必存在迭代序列{ak}的一個(gè)收斂子列{akj}和一個(gè)點(diǎn)a*∈Rn，當(dāng)j→∞時(shí)，滿足akj→a*.又因?yàn)閧ak}是有界的，從而，當(dāng)k→∞時(shí)，ak→a*.

結(jié)論證畢.

當(dāng)φ=δk時(shí)，由定理3.3可得到以下結(jié)論.

推論3.2[9]已知映射 A∶Rn→Rn的單調(diào)映射，并且映射A是關(guān)于Lipschitz常數(shù)ξ＞0的Lipschitz連續(xù)映射，序列{ak}是算法3.2中定義的迭代序列，如果常數(shù)ρ＞(+1)ξ，那么，迭代序列{ak}收斂于問(wèn)題(2)的一個(gè)解a*∈Rn.

4 結(jié)語(yǔ)

本文針對(duì)文獻(xiàn)[9]中的非線性混合隱變分不等式問(wèn)題，主要用一種新的Mann迭代算法求解一類(lèi)非線性混合隱變分不等式的解，并證明其解的收斂性.更進(jìn)一步推廣了文獻(xiàn)[9]中的結(jié)論.

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