隨機(jī)利率情形下的梯式期權(quán)定價(jià)模型

馮增輝，薛 紅，王曉東

(西安工程大學(xué) 理學(xué)院，西安710048)

金融市場的快速發(fā)展，促進(jìn)了許多奇異期權(quán)的出現(xiàn)[1]，而梯式期權(quán)是一種較為復(fù)雜的奇異期權(quán)，這種期權(quán)除了設(shè)定行使價(jià)外，還同時(shí)設(shè)有多個(gè)“梯級價(jià)”，只要標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格觸及某一梯級價(jià)，就可鎖定一定水平的獲利[2－7].文獻(xiàn)[1]假設(shè)股票價(jià)格遵循布朗運(yùn)動(dòng)驅(qū)動(dòng)下的隨機(jī)微分方程，利用有限[0，T]區(qū)間上的具有漂移的布朗運(yùn)動(dòng)的最大值分布及其與終值的聯(lián)合分布，用鞅方法得到了利率為常數(shù)的梯式期權(quán)定價(jià)公式.文獻(xiàn)[2]用鞅方法討論了隨機(jī)利率情形下多維Black－Scholes定價(jià)模型，得到了隨機(jī)利率情形下的歐式期權(quán)以及交換期權(quán)定價(jià)公式.本文利用風(fēng)險(xiǎn)中性概率測度和在有限[0，T]區(qū)間上的具有漂移的布朗運(yùn)動(dòng)的最大值及其終值的聯(lián)合分布，得到了隨機(jī)利率情形下的梯式期權(quán)定價(jià)公式，將文獻(xiàn)[1]做了推廣.

1 金融市場數(shù)學(xué)模型

考慮如下模型:假設(shè)金融市場的兩種資產(chǎn)，一種是股票，其價(jià)格滿足

另一種是債券，其價(jià)格滿足

其中:r為無風(fēng)險(xiǎn)利率，ε為債券波動(dòng)率，μ為期望收益率，σ 為股票波動(dòng)率.{Wt，0≤t≤T}為概率空間(Ω，F(xiàn)，P)上的標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng).

考慮時(shí)間區(qū)間[0，T]，設(shè)α，β分別表示零時(shí)刻投資者擁有股票和債券數(shù)目，則財(cái)富過程滿足所以

利用Ito引理

記 μ－r+ε2－σε=(σ －ε)θ，定義的概率測度

即:

定理1[2]在金融市場中，歐式未定權(quán)益g(ST)在零時(shí)刻的無套利價(jià)格為

2 梯式期權(quán)定價(jià)公式

引理 2[1]設(shè) Yt= μt+σWt，(0≤T≤T)，其中:μ為常數(shù)，σ≠0，設(shè)則 YT與T的聯(lián)合分布密度f(x，y)為

定義3[1]梯式看漲期權(quán)是具有以下可能收益的奇異期權(quán)，

1)當(dāng)L＞K時(shí)，梯式看漲期權(quán)的收益為:

max[ST－K，L－K]如果 S在期權(quán)終止前達(dá)到L，

max[ST－K，0] 否則.

2)當(dāng)L≤K時(shí)，則梯式看漲期權(quán)的收益化為Black－Scholes看漲期權(quán)的收益.

定理4 梯式看漲期權(quán)在零時(shí)刻的無套利價(jià)格為

其中

同理可得

再由簡單的代數(shù)運(yùn)算就可得出結(jié)論.

[1] 王 鐵，王 威.布朗運(yùn)動(dòng)的最大值和階梯期權(quán)[J].經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)，2006，23(1):46 －51.

[2] 薛 紅.隨機(jī)利率情形下的多維Black－Schols模型[J].工程數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2005，22(4):645 －652.

[3] 程希駿.金融資產(chǎn)定價(jià)理論[M].合肥:中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社，2006:126－139.

[4] 薛 紅.在隨機(jī)利率情形下有紅利支付的股票未定權(quán)益定價(jià)[J].西北紡織工學(xué)院學(xué)報(bào)，2000，14(1):57 －61.

[5] 吳永紅，李 瓊，金 勇.隨機(jī)利率下的外匯歐式期權(quán)定價(jià)[J].武漢理工大學(xué)學(xué)報(bào)，2011，35(5):1020 －1023.

[6] 張凱凡.鞅方法在股指期權(quán)定價(jià)中的應(yīng)用[J].湖北工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)，2011，26(5):96－98.

[7] 藺 捷，薛 紅，王曉東.分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)環(huán)境下缺口期權(quán)定價(jià)模型[J].哈爾濱商業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2012，28(5):616－619.