從知識(shí)的“三度空間”提升數(shù)學(xué)教師的專業(yè)素養(yǎng)

梁清 彭剛

摘 要 數(shù)學(xué)教師的專業(yè)知識(shí)既是保證教學(xué)效果的前提，更是提升自身專業(yè)素養(yǎng)的基礎(chǔ)。然而，在教學(xué)實(shí)踐中，大部分中學(xué)數(shù)學(xué)教師的數(shù)學(xué)專業(yè)知識(shí)僅拘囿于教材知識(shí)，而忽略了數(shù)學(xué)知識(shí)的廣度、深度與高度，這是不利于師生的可持續(xù)發(fā)展的。為了更好地提升教師的專業(yè)知識(shí)水平，中學(xué)數(shù)學(xué)教師可著眼于數(shù)學(xué)知識(shí)的廣度、深度和高度，多維度增加知識(shí)容量，提升自身的專業(yè)素養(yǎng)。

關(guān)鍵詞 數(shù)學(xué)教師 三度空間 專業(yè)素養(yǎng)

中圖分類號(hào)：G451? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A? DOI：10.16400/j.cnki.kjdkx.2019.10.036

Abstract The professional knowledge of mathematics teachers is not only a prerequisite for ensuring the teaching effect， but also a basis for improving their professional quality. However， in the teaching practice， the mathematics professional knowledge of most middle school mathematics teachers is only limited to the knowledge of teaching materials， but ignores the breadth， depth and height of mathematics knowledge， which is not conducive to the sustainable development of teachers and students. In order to better improve the professional knowledge of teachers， middle school mathematics teachers can focus on the breadth， depth and height of mathematics knowledge， increase the knowledge capacity in multiple dimensions， and improve their professional quality.

Keywords mathematics teacher; three-dimensional space; professional literacy

0 前言

《國(guó)家中長(zhǎng)期教育改革和發(fā)展規(guī)劃綱要（2010-2020年）》中提出要“提高教師業(yè)務(wù)水平，包括專業(yè)水平及教學(xué)能力?！盵1]教師的“專業(yè)水平”指導(dǎo)著“教什么”，“教學(xué)能力”指導(dǎo)著“怎么教”，而“教什么”是“怎么教”的前提。換言之，教師的專業(yè)知識(shí)素養(yǎng)水平是舉足輕重的。中學(xué)數(shù)學(xué)教師若想提升自身專業(yè)素養(yǎng)，則應(yīng)擴(kuò)大知識(shí)領(lǐng)域，而非滿足于教材表層的知識(shí)。數(shù)學(xué)教師可嘗試從不同維度挖掘，拓展延伸數(shù)學(xué)知識(shí)的“廣度、深度和高度”，即可著眼于數(shù)學(xué)知識(shí)的立體三度空間（如圖1）來(lái)增加自身知識(shí)容量，進(jìn)而對(duì)數(shù)學(xué)科知識(shí)內(nèi)容有更通透的認(rèn)識(shí)和把握，更好地進(jìn)行教學(xué)。

1 廣度提升——把握結(jié)構(gòu)體系，統(tǒng)籌整體脈絡(luò)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017）》提出“教師應(yīng)不僅關(guān)注每一節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)，更要關(guān)注主題、單元的教學(xué)目標(biāo)，整體把握教學(xué)內(nèi)容?！盵2]即教師不僅要從微觀層面掌握每個(gè)知識(shí)點(diǎn)，也應(yīng)從中觀層面理清整個(gè)單元知識(shí)結(jié)構(gòu)，更應(yīng)要能夠宏觀地把握分支學(xué)科的結(jié)構(gòu)體系，統(tǒng)籌認(rèn)識(shí)其整體脈絡(luò)，拓展知識(shí)廣度。

案例1：高中數(shù)學(xué)的解析幾何的內(nèi)容結(jié)構(gòu)是何？

中學(xué)數(shù)學(xué)的解析幾何，主要是利用直角坐標(biāo)系以及極坐標(biāo)系來(lái)研究直線和圓錐曲線的方程及性質(zhì)。概括而言，高中解析幾何主要是利用坐標(biāo)法來(lái)解決兩種問(wèn)題：其一是通過(guò)給定條件點(diǎn)的軌跡，借助坐標(biāo)系求其方程;其二是通過(guò)方程研究該曲線的性質(zhì)。

高中數(shù)學(xué)的解析幾何整體知識(shí)結(jié)構(gòu)如圖2。

數(shù)學(xué)教師應(yīng)懂得透過(guò)零散的現(xiàn)象，能把零碎的知識(shí)關(guān)聯(lián)起來(lái)，把握知識(shí)的結(jié)構(gòu)框架與體系，進(jìn)而明晰教學(xué)思路，有層次地展開(kāi)教學(xué)。

2 深度提升——挖掘思想方法，滲透數(shù)學(xué)文化

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017）》中指出“數(shù)學(xué)文化包括數(shù)學(xué)的思想、精神、語(yǔ)言、方法、觀點(diǎn)等”，[2]強(qiáng)調(diào)把數(shù)學(xué)文化融入學(xué)習(xí)。在顯性數(shù)學(xué)知識(shí)后面，常常隱藏著數(shù)學(xué)文化的重要部分——數(shù)學(xué)思想方法。數(shù)學(xué)思想是對(duì)數(shù)學(xué)事實(shí)和理論知識(shí)抽象概括后產(chǎn)生的本質(zhì)認(rèn)識(shí)。[3]數(shù)學(xué)方法是指用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述事物的狀態(tài)、關(guān)系和過(guò)程，是為了解決數(shù)學(xué)問(wèn)題而采取的程序、途徑和行為方式。[4]在運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)方法解決問(wèn)題時(shí)，數(shù)學(xué)思想借助數(shù)學(xué)方法體現(xiàn)出來(lái)并起指導(dǎo)性作用。實(shí)踐中，明線的數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)，是師生從直觀的角度去學(xué)習(xí)具體的知識(shí);暗線的數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)，是初步掌握數(shù)學(xué)知識(shí)，然后借助習(xí)題等方式去掌握方法和技巧，最后進(jìn)一步領(lǐng)悟思想，滲透數(shù)學(xué)文化。只有培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思想方法，才能真正提升學(xué)生的素養(yǎng)水平和數(shù)學(xué)能力。

案例2：圓錐曲線教學(xué)中隱藏的數(shù)學(xué)思想方法有何？

圓錐曲線內(nèi)容隱含的數(shù)學(xué)思想方法主要有數(shù)形結(jié)合、類比、函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸和分類討論等。[5]“數(shù)形結(jié)合”是把圓錐曲線的幾何性質(zhì)與平面圖形的幾何性質(zhì)結(jié)合起來(lái)，數(shù)和形相輔相成，優(yōu)化解題技巧?！邦惐取敝饕w現(xiàn)在橢圓、雙曲線和拋物線的定義和簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)教學(xué)上，通過(guò)類比、區(qū)別和聯(lián)系進(jìn)行研究?！昂瘮?shù)與方程”主要是用于研究變量的最值問(wèn)題和取值范圍上，通過(guò)建立函數(shù)關(guān)系，轉(zhuǎn)化為值域等問(wèn)題。“轉(zhuǎn)化與化歸”是要將圓錐曲線相關(guān)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為其他等量（或不等）關(guān)系上，如與平面向量、基本不等式等知識(shí)聯(lián)合?！胺诸愑懻摗笔强疾榻忸}的嚴(yán)謹(jǐn)性，如對(duì)直線斜率是否存在、離心率的取值范圍等問(wèn)題的周全考慮。

圓錐曲線知識(shí)隱含的主要數(shù)學(xué)思想方法如圖3。

數(shù)學(xué)教師要挖掘知識(shí)的深度，透過(guò)表層數(shù)學(xué)知識(shí)掌握內(nèi)在數(shù)學(xué)思想方法，并滲透數(shù)學(xué)文化。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的根本目是讓學(xué)生掌握數(shù)學(xué)思想方法，在教學(xué)中，除了讓學(xué)生掌握知識(shí)結(jié)論之外，教師更要滲透數(shù)學(xué)思想方法，帶領(lǐng)學(xué)生站高望遠(yuǎn)。

3 高度提升——運(yùn)用高觀點(diǎn)導(dǎo)教，以延伸知識(shí)護(hù)航

高觀點(diǎn)是指用高等數(shù)學(xué)或現(xiàn)代數(shù)學(xué)的思想和觀點(diǎn)來(lái)看待中學(xué)初等數(shù)學(xué)問(wèn)題，指站在更高更寬的知識(shí)體系中去認(rèn)識(shí)和理解下位知識(shí)，并以此來(lái)指導(dǎo)教學(xué)。[6]中學(xué)數(shù)學(xué)教材中的不少概念是以描述性的形式呈現(xiàn)的，一般給出的是概念的外延，而對(duì)于概念的內(nèi)涵則很少講清楚。鑒于中學(xué)生的生理和心理發(fā)展不夠成熟的特征，這樣的概念描述雖可能不夠絕對(duì)嚴(yán)謹(jǐn)，但可認(rèn)為是合理的。然而作為中學(xué)數(shù)學(xué)教師，不應(yīng)只滿足于中學(xué)教材中的知識(shí)，應(yīng)提升知識(shí)高度，為教學(xué)保駕護(hù)航。如若局限于教材書本，那么對(duì)概念的理解亦是不夠徹底的。另外，如若教師長(zhǎng)期只是接觸教材中的知識(shí)內(nèi)容，沒(méi)有觸類旁通，則其思維容易固化生銹，思考問(wèn)題會(huì)不夠靈活或不夠全面，最終會(huì)影響對(duì)學(xué)生思維的培養(yǎng)。教師只有具備更高的觀點(diǎn)，才能更有效的指導(dǎo)教學(xué)。

案例3：頻率的極限就是概率嗎？

在高中數(shù)學(xué)人教A版必修3中概率的定義是：相同條件下重復(fù)次試驗(yàn)，如果隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，事件發(fā)生的頻率會(huì)穩(wěn)定在某個(gè)常數(shù)上，則稱為事件的概率。

此處的問(wèn)題是上述的“穩(wěn)定在某個(gè)常數(shù)上”該如何理解？能否說(shuō)頻率的極限即為概率？亦即在次重復(fù)試驗(yàn)中，是否有“對(duì)于使得當(dāng)時(shí)，有成立？即是否恒成立？”事實(shí)上并不能如此理解，如在試驗(yàn)中是有可能出現(xiàn)的情況的，即，此時(shí)當(dāng)時(shí)，即使足夠大，也不能使得當(dāng)時(shí)有成立，即是有可能發(fā)生的，只是說(shuō)當(dāng)足夠大時(shí)，其發(fā)生的可能性會(huì)非常小。當(dāng)重復(fù)試驗(yàn)次數(shù)足夠大時(shí)，用頻率估算概率產(chǎn)生的誤差就足夠小，即有。

做為教師，不應(yīng)該籠統(tǒng)地告訴學(xué)生“可以用頻率去估算概率”，而應(yīng)清楚它們的區(qū)別和聯(lián)系。要讓學(xué)生明白概率是一個(gè)具體確定的數(shù)，不因試驗(yàn)而改變;頻率在試驗(yàn)之前是不確定的，做一樣次數(shù)的同一個(gè)試驗(yàn)，事件A發(fā)生的頻率也可能是不同的，即頻率具備不確定性，但頻率是具有穩(wěn)定性的，即當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)慢慢增大，頻率就慢慢穩(wěn)定于概率。

教師只有站在更高的位置，持有更高的觀點(diǎn)，才能更充分地認(rèn)識(shí)知識(shí)的內(nèi)涵。特別是對(duì)于中學(xué)數(shù)學(xué)中涉及到大學(xué)高等數(shù)學(xué)的一些拓展性和衍生性知識(shí)的理解和把握，不僅能提升自身知識(shí)水平的高度，也能讓自己的教學(xué)目光更遠(yuǎn)大，進(jìn)而能更好地開(kāi)展教學(xué)。

4 結(jié)語(yǔ)

每一個(gè)數(shù)學(xué)教師都有自己需提升的方向，根據(jù)需求選擇合適的方法，不斷拓展自身的數(shù)學(xué)知識(shí)。教師在提升自身數(shù)學(xué)專業(yè)素養(yǎng)水平時(shí)，可以參考從數(shù)學(xué)知識(shí)的廣度結(jié)構(gòu)、深度思想方法和高度觀點(diǎn)來(lái)擴(kuò)充知識(shí)容量，平時(shí)可多研究現(xiàn)代數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)容，不斷提升專業(yè)素養(yǎng)水平，服務(wù)于教學(xué)。

（1）宜游目騁懷，防目光如豆。數(shù)學(xué)教師要拓展知識(shí)廣度，則應(yīng)弄清學(xué)科分支知識(shí)結(jié)構(gòu)，要能夠以點(diǎn)連線，以線成面，織造發(fā)散的知識(shí)網(wǎng)。應(yīng)縱目四望，打開(kāi)視野，防止緊盯單個(gè)知識(shí)點(diǎn)，零散教學(xué)。教育家布魯納特別指出學(xué)科結(jié)構(gòu)的重要性，那么作為數(shù)學(xué)教師，則首先要自己清楚知識(shí)的整體脈絡(luò)結(jié)構(gòu)，能以零串整，讓各知識(shí)點(diǎn)不再孤立、分散，從而對(duì)教學(xué)內(nèi)容有一個(gè)整體的規(guī)劃。

（2）應(yīng)鉤深索隱，忌蜻蜓點(diǎn)水。對(duì)于教材呈現(xiàn)出來(lái)的知識(shí)內(nèi)容，數(shù)學(xué)教師應(yīng)該要能透過(guò)現(xiàn)象看到本質(zhì)，不能只是停留在淺層面的理解上，應(yīng)深挖探索知識(shí)后面的隱性數(shù)學(xué)思想方法，帶領(lǐng)學(xué)生掌握數(shù)學(xué)的靈魂。作為教師，首先自己要清楚在顯性的知識(shí)內(nèi)容的后面有哪些深度隱性的數(shù)學(xué)思想方法，才能更好地提升學(xué)生的解題技巧和提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。

（3）宜登高望遠(yuǎn)，避坐井觀天。井蛙焉知天地之大哉。只有站得更高，才能領(lǐng)略更美的風(fēng)景。在教學(xué)中亦是如此，具備更高的觀點(diǎn)，看問(wèn)題就會(huì)更全面、更透徹。數(shù)學(xué)教師不應(yīng)只滿足于中學(xué)初等數(shù)學(xué)的知識(shí)，應(yīng)該多看看高等數(shù)學(xué)的內(nèi)容，并非說(shuō)要教中學(xué)生很難的高等數(shù)學(xué)，而是讓自己的知識(shí)立足點(diǎn)更高，能更有效地指導(dǎo)教學(xué)。

參考文獻(xiàn)

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