基于徑向基函數(shù)的壓電微動(dòng)平臺(tái)優(yōu)化設(shè)計(jì)

黃聲德， 劉靜， 代武川

（江西理工大學(xué)，a.機(jī)電工程學(xué)院；b.建筑與測(cè)繪工程學(xué)院，江西 贛州341000）

0 引 言

在微機(jī)電系統(tǒng)中，基于柔性鉸鏈的壓電微動(dòng)平臺(tái)因其無摩擦、無間隙、靈敏度高等優(yōu)點(diǎn)，廣泛應(yīng)用于光學(xué)精密儀器、微零件制造與裝配、生物科學(xué)等眾多領(lǐng)域[1-3].壓電微動(dòng)平臺(tái)以壓電陶瓷作為驅(qū)動(dòng)器，壓電陶瓷具有出力大、分辨率高等優(yōu)點(diǎn)[4-5]，但其行程普遍較小，因此需要放大機(jī)構(gòu)將其位移放大.橋式放大機(jī)構(gòu)具有機(jī)構(gòu)緊湊、固有頻率高、應(yīng)力分布均勻等優(yōu)勢(shì)[6-7],因此更適合應(yīng)用在受結(jié)構(gòu)限制的微動(dòng)平臺(tái).

宏微驅(qū)動(dòng)技術(shù)[8]是一種運(yùn)用宏微雙重驅(qū)動(dòng)概念實(shí)現(xiàn)平臺(tái)大行程高精度的一種新型定位平臺(tái)系統(tǒng)，文中基于橋式放大機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)了一種應(yīng)用于宏微驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)中的微動(dòng)平臺(tái).微動(dòng)平臺(tái)作為宏微驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的執(zhí)行機(jī)構(gòu)，其機(jī)械特性對(duì)整個(gè)系統(tǒng)的精準(zhǔn)、穩(wěn)定運(yùn)行具有至關(guān)重要的作用.微動(dòng)平臺(tái)的動(dòng)態(tài)特性包括固有頻率、響應(yīng)速度、放大倍數(shù)等，但通常它們之間是相互制約的，因此，為了提高微動(dòng)平臺(tái)的整體綜合性能，對(duì)微動(dòng)平臺(tái)的優(yōu)化是很有必要的.微動(dòng)平臺(tái)的動(dòng)態(tài)特性和其結(jié)構(gòu)幾何參數(shù)往往具有一定的相關(guān)性，因此尋求微動(dòng)平臺(tái)動(dòng)態(tài)特性與結(jié)構(gòu)參數(shù)之間的關(guān)聯(lián)模型，對(duì)建立微動(dòng)平臺(tái)的優(yōu)化模型具有重要意義.

文中對(duì)一種依托橋式原理進(jìn)行位移放大的微動(dòng)平臺(tái)展開研究，建立反映微動(dòng)平臺(tái)動(dòng)態(tài)特性的徑向基函數(shù)模型，采用多目標(biāo)優(yōu)化算法對(duì)微動(dòng)平臺(tái)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，進(jìn)而改善微動(dòng)平臺(tái)的整體動(dòng)態(tài)特性.

1 結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)

微動(dòng)平臺(tái)結(jié)構(gòu)如圖1所示.為方便設(shè)計(jì)與計(jì)算，微動(dòng)平臺(tái)中所有鉸鏈均采用幾何參數(shù)相同的直圓型柔性鉸鏈，表1是微進(jìn)給平臺(tái)的初始結(jié)構(gòu)參數(shù)及取值范圍.

圖1 微動(dòng)平臺(tái)結(jié)構(gòu)示意

表1 微平臺(tái)初始結(jié)構(gòu)參數(shù)及取值范圍/mm

表 1 中，d1、d2、d3為橋式放大機(jī)構(gòu)各桿件的長(zhǎng)度，d4為平臺(tái)導(dǎo)向機(jī)構(gòu)桿件長(zhǎng)度，z為各桿件的寬度，R、t、b分別為柔性鉸鏈的切割半徑、最小厚度和寬度.

2 確定優(yōu)化參數(shù)與性能指標(biāo)

微動(dòng)平臺(tái)的輸出位移行程反映了其有效運(yùn)動(dòng)范圍，因此放大倍數(shù)是表述放大機(jī)構(gòu)的重要性能指標(biāo)，放大倍數(shù)可用輸出位移與輸入位移的比值來表示，如式（1）.

式（1）中，u1為輸出位移，u2為輸入位移.利用ANYSY軟件的靜力學(xué)分析模塊，在輸入端施加u1=10 μm 的位移，得到輸出位移 u2，通過式（1）可計(jì)算得到機(jī)構(gòu)放大倍數(shù).

微動(dòng)平臺(tái)是通過柔性鉸鏈的變形來傳遞位移和力，若產(chǎn)生的應(yīng)力超過材料許用應(yīng)力，容易使機(jī)構(gòu)發(fā)生永久變形和斷裂，利用ANSYS分析可知，微平臺(tái)的最大應(yīng)力發(fā)生在如圖2所示的柔性鉸鏈最小厚度處，設(shè)該點(diǎn)為A點(diǎn).設(shè)微動(dòng)平臺(tái)采用標(biāo)稱位移為20 μm的壓電陶瓷，當(dāng)其在輸入端施加20 μm的輸入位移時(shí)，A點(diǎn)鉸鏈處將產(chǎn)生最大應(yīng)力σmax，以σmax作為評(píng)價(jià)微動(dòng)平臺(tái)的強(qiáng)度性能指標(biāo).

微動(dòng)平臺(tái)的固有頻率f是評(píng)價(jià)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的重要性能指標(biāo).文中以A、f、σmax作為微動(dòng)平臺(tái)的性能指標(biāo)，以結(jié)構(gòu)參數(shù) d1、d2、d3、d4、z、R、t、b 為設(shè)計(jì)變量，對(duì)微平臺(tái)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì).優(yōu)化流程如下：利用拉丁超立方抽樣方法[9]確定30組設(shè)計(jì)變量的樣本點(diǎn)，通過ANSYS軟件計(jì)算30組樣本點(diǎn)的放大倍數(shù)、固有頻率和最大應(yīng)力；采用徑向基函數(shù)建立上述樣本點(diǎn)的代理模型，最后運(yùn)用多目標(biāo)優(yōu)化方法尋求設(shè)計(jì)變量與性能指標(biāo)的最優(yōu)解.

圖2 微動(dòng)平臺(tái)應(yīng)力云圖

3 建立徑向基函數(shù)模型

3.1 徑向基函數(shù)模型的構(gòu)建方法

徑向基函數(shù)模型構(gòu)建的基本思想是：確定一組可靠的樣本點(diǎn) x=[x1，x2，…，xn]，以變量 x 與每一個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn) xi（i=1，2，…，n）的徑向距離 φ（ri）（i=1，2，…，n）函數(shù)作為基函數(shù),通過基函數(shù)φ（ri）的線性疊加來計(jì)算未知數(shù)據(jù)點(diǎn)處的值，通過徑向距離的引入，把原本復(fù)雜的高維問題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的低維問題解決，其基本形式的表達(dá)式如式（2）：

式（2）中，權(quán)系數(shù) β=[β1，β2，…，βn]T；徑向函數(shù) φ（ri）=[φ（r1），φ（r2），…，φ（rn）]T；歐氏距離函數(shù) ri=[φ（‖xx1‖），φ（‖x-x2‖），…，φ（‖x-xn‖）]T；‖x-xi‖表示未知點(diǎn)x到樣本點(diǎn)xi的歐式距離.

式（2）作為代理模型應(yīng)滿足以下條件：

式（3）中，F(xiàn)~（xi）和 F（xi）分別表示第 i組樣本點(diǎn)的預(yù)測(cè)值和實(shí)際值.將式（3）帶入式（2）可得：

通過式（4）可求解得到系數(shù)：

在徑向基函數(shù)模型的建立過程中，合理選用徑向函數(shù)和徑向函數(shù)的形參對(duì)模型的構(gòu)建精度具有較大的影響.高斯函數(shù)和MQ函數(shù)是應(yīng)用最為廣泛的徑向函數(shù)，基于很多學(xué)者的分析研究經(jīng)驗(yàn)，MQ函數(shù)具有計(jì)算效率高、模型擬合精度好和穩(wěn)定性優(yōu)良等優(yōu)點(diǎn)[10-12]，因此文中用MQ函數(shù)作為徑向函數(shù)，MQ函數(shù)的一般形式如式（6）：

對(duì)于式（6）中的形參數(shù)c，采用遍歷對(duì)比的思想選取形參數(shù)的最優(yōu)取值，形參數(shù)的確定流程下：

1）初步確定形參數(shù) c的取值區(qū)間 c∈[0.1，5]，在區(qū)間內(nèi)取 c∈[c1，c2，c3，…，cn]；

2）選取一系列樣本點(diǎn)，計(jì)算c=c1的均方根誤差（RSME），定義為 P1；

3）返回步驟2）計(jì)算其他形參數(shù)的均方根誤差Ps（s=2，3，…，n），逐次對(duì)比；

4）確定 Pj=min{P1，P2，…，Pn}對(duì)應(yīng)的形參數(shù) cj為最終確定的形參數(shù).

均方根誤差（RSME）的計(jì)算公式如下：

式（7）中：k 為樣本量；yi為實(shí)際值；y^i為預(yù)測(cè)值.

3.2 建立微動(dòng)平臺(tái)徑向基函數(shù)模型

利用拉丁超立方抽樣方法抽取設(shè)計(jì)變量區(qū)間內(nèi)的30個(gè)實(shí)驗(yàn)點(diǎn)，利用ANSYS Workbench計(jì)算每個(gè)實(shí)驗(yàn)點(diǎn)的性能指標(biāo)響應(yīng)值，樣本點(diǎn)及性能指標(biāo)值如表2所示.

根據(jù)式（2）、式（5），可得到機(jī)構(gòu)放大比 A、最大應(yīng)力σmax、固有頻率f對(duì)設(shè)計(jì)變量的徑向基函數(shù)模型解析式有如下形式：

式（8）中：[x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8]分別表示[b，d1、d2、d3、d4、R、t、z]；α=[α1，α2， …，α20]T為徑向基函數(shù)的系數(shù)；c為徑向函數(shù)的形參數(shù).

選取的一系列樣本點(diǎn)，利用遍歷對(duì)比的方法最終確定放大倍數(shù)模型形參數(shù)c1=0.74、最大應(yīng)力模型形參數(shù)c2=1、固有頻率模型形參數(shù)c3=2.5；根據(jù)式（7），求得模型的最小均方根誤差為：放大倍數(shù)的最小均方根誤差：PA=0.199，最大應(yīng)力的最小均方根誤差：Pσ=7.183，固有頻率的最小均方根誤差：Pf=10.797.

表2 拉丁超立方采樣點(diǎn)設(shè)計(jì)參數(shù)與性能指標(biāo)值

均方根誤差是用來評(píng)價(jià)預(yù)測(cè)值與實(shí)際值偏差程度的一種方法，均方根誤差越小表明預(yù)測(cè)值越接近于實(shí)際值，但均方根誤差值的大小與計(jì)算數(shù)據(jù)值的大小有直接關(guān)系：在同樣程度偏差下，計(jì)算數(shù)據(jù)的值越大，均方根誤差也越大，因此均方根誤差無法作為統(tǒng)一的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)衡量模型是否具有良好的擬合效果，故文中在此引入ρ值用來衡量模型的擬合程度，ρ的計(jì)算公式如下：

式（9）中：P為均方根誤差，yˉ為實(shí)際值的平均值.

ρ值越接近于0說明模型的擬合精度越好，利用式（6）算得放大倍數(shù)、最大應(yīng)力、固有頻率的ρ值分別為0.044、0.045、0.053，說明基于徑向基函數(shù)建立的模型擬合精度能夠準(zhǔn)確反映設(shè)計(jì)變量與性能指標(biāo)的關(guān)系.

4 多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)

多目標(biāo)遺傳算法（MOGA）[13]是一種模擬生物進(jìn)化的優(yōu)化算法，應(yīng)用多目標(biāo)遺傳算法（MOGA）可得到目標(biāo)函數(shù)在約束條件下的Pareto解集，Pareto解集即為當(dāng)前條件下最優(yōu)方案解的解集.采用多目標(biāo)遺傳算法（MOGA）對(duì)微平臺(tái)進(jìn)行優(yōu)化，以基于徑向基函數(shù)得到的放大倍數(shù)和固有頻率代理模型為目標(biāo)函數(shù)，以設(shè)計(jì)參數(shù)的取值范圍及最大應(yīng)力作為線性約束條件，建立微平臺(tái)的多目標(biāo)優(yōu)化模型如式（10）：

式（10）中：σs為材料的屈服強(qiáng)度 σs=393.7 MPa；xi表示設(shè)計(jì)變量，i=1,2,…,8；xmin、xmax分別表示設(shè)計(jì)變量的最小限制尺寸和最大限制尺寸.

利用Matlab工具箱中的gamultiobj函數(shù)，設(shè)置初始種群大小為500，最大迭代次數(shù)為100，獲得Pareto最優(yōu)解分布如圖3所示.

圖3 Pareto最優(yōu)解集

利用最小距離法則[14]，確定全局最優(yōu)解的放大倍數(shù)和固有頻率分別為6.106、364.9 Hz，且滿足σmax<σs，對(duì)應(yīng)的設(shè)計(jì)變量數(shù)值如表3所示，為方便加工，對(duì)設(shè)計(jì)變量進(jìn)行微小調(diào)整.

表3 優(yōu)化后的設(shè)計(jì)變量值及調(diào)整值/mm

利用ANSYS Workbench對(duì)優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)進(jìn)行仿真,仿真結(jié)果如圖4所示，優(yōu)化后的放大倍數(shù)約為6.00倍，固有頻率為344.75 Hz，對(duì)比優(yōu)化前的性能指標(biāo)值，放大倍數(shù)增大了約40.80%，固有頻率增大了約22.83%，因此優(yōu)化結(jié)果能更好的滿足微平臺(tái)的性能要求.

5 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

為了驗(yàn)證微動(dòng)平臺(tái)優(yōu)化結(jié)果的有效性，對(duì)優(yōu)化后的微動(dòng)平臺(tái)進(jìn)行電壓-位移實(shí)驗(yàn)，分析輸出位移與輸入位移的關(guān)系.搭建如圖5所示的實(shí)驗(yàn)平臺(tái)，壓電陶瓷采用芯明天公司生產(chǎn)型號(hào)為：Mtp150/10*10/36的壓電陶瓷，壓電驅(qū)動(dòng)器施加電壓0～60 V并內(nèi)置了位移傳感器，步長(zhǎng)2 V，利用外部電容位移傳感器收集輸出位移.最終測(cè)得30組輸入和輸出位移的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，利用ANSYS Workbench對(duì)30組輸入位移進(jìn)行分析，并與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行比較，如圖6所示.由圖6可知實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)與ANSYS Workbench仿真數(shù)據(jù)結(jié)果接近，說明本文所用的代理模型和優(yōu)化方法有效.

圖4 ANSYS仿真分析結(jié)果

圖5 實(shí)驗(yàn)裝置

圖6 輸入位移與輸出位移

6 結(jié) 論

1）針對(duì)一種利用橋式放大原理設(shè)計(jì)的微動(dòng)平臺(tái)，提出基于徑向基函數(shù)的優(yōu)化模型，并基于該模型對(duì)微動(dòng)平臺(tái)進(jìn)行了結(jié)構(gòu)參數(shù)優(yōu)化.

2）根據(jù)徑向基函數(shù)理論建立了反映微動(dòng)平臺(tái)性能指標(biāo)和結(jié)構(gòu)參數(shù)的非線性模型，并對(duì)模型的形參數(shù)進(jìn)行選擇，為微動(dòng)平臺(tái)的優(yōu)化提供了精確的理論模型.

3）采用多目標(biāo)遺傳算法，以微動(dòng)平臺(tái)的放大倍數(shù)、固有頻率為目標(biāo)函數(shù)，以最大應(yīng)力、結(jié)構(gòu)尺寸為約束條件，對(duì)微動(dòng)平臺(tái)進(jìn)行優(yōu)化，優(yōu)化結(jié)果表明：在滿足最大應(yīng)力小于材料許用應(yīng)力的前提下，微動(dòng)平臺(tái)放大倍數(shù)增加了約40.80%，固有頻率增加了約22.83%.故所采用的代理模型和優(yōu)化方法有效，并通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證表明了優(yōu)化結(jié)果的有效性.