基于微分平坦理論的直流電機控制系統(tǒng)設(shè)計

于仲安， 張峻銘， 王先敏

（江西理工大學(xué)電氣工程與自動化學(xué)院，江西 贛州 341000）

0 引 言

直流電機是傳統(tǒng)電機之一，出現(xiàn)19世紀(jì)后期.與其他電機如感應(yīng)電機[1-2]、無刷直流電機[3]相比，直流電機具有一些優(yōu)勢，如控制簡單、電磁轉(zhuǎn)矩大、具有調(diào)節(jié)速度的能力、應(yīng)用范圍廣[4].因此，直流電機通常用于工業(yè)領(lǐng)域，如軋鋼、運輸、采礦、國防、建筑[5-7].直流電機多采用傳統(tǒng)的PID控制，PID控制是最早發(fā)展起來的控制策略之一，由于其具有算法簡單、魯棒性好和可靠性高等優(yōu)點，被廣泛應(yīng)用于工業(yè)過程控制中.直流電機控制系統(tǒng)中存在很多非線性或時變的不確定因素，使PID控制的參數(shù)無法準(zhǔn)確整定，控制效果也因此而受影響，并且容易出現(xiàn)超調(diào)、震蕩等問題.控制非線性對象有幾種解決方案，如輸入、輸出線性化控制技術(shù)[8]，滑動控制技術(shù)[9]，反步控制技術(shù)[10]等.這些控制策略的控制效果不錯，但控制算法復(fù)雜.基于微分平坦控制的直流電機控制系統(tǒng)采用由前饋控制量和誤差反饋補償組成基于平坦控制策略能夠很好地解決這個問題.文中設(shè)計的直流電機控制系統(tǒng)提高直流電機的響應(yīng)速度和動態(tài)性能，也解決了傳統(tǒng)PID控制產(chǎn)生的超調(diào)問題.

微分平坦理論是由Fliess等在20世紀(jì)90年代針對非線性系統(tǒng)提出的一個概念.微分平坦理論指出了非線性系統(tǒng)動力學(xué)特性的一種結(jié)構(gòu)形式的存在性，也就是平坦輸出的存在性，意味著通過選擇合適的平坦輸出可以使非線性系統(tǒng)線性化[11].通過系統(tǒng)的微分平坦特性實現(xiàn)實時軌跡的跟蹤.如機器人的軌跡規(guī)劃[12]、自主泊車軌跡規(guī)劃等.微分平坦控制系統(tǒng)最重要的是確定平坦輸出變量z集合的存在性,通過z變量和z變量的微分,可以確定所有狀態(tài)變量和輸入變量.由于微分平坦系統(tǒng)的狀態(tài)量和輸入量可以由平坦輸出直接表示，那么根據(jù)期望的平坦輸出軌跡，就能直接得到期望的狀態(tài)變量和輸入變量不帶延時的軌跡[13].

1 直流電機的微分平坦控制理論的驗證

直流電動機的等效電路結(jié)構(gòu)如圖1所示，其中包括轉(zhuǎn)子中的電樞線圈和定子中的勵磁線圈.

圖1 直流電動機的等效電路結(jié)構(gòu)

圖1 中Ua為電機電樞端電壓，E為電機反電動勢，Ra為電樞電路電阻，La為電樞電路電感，ia為電機電樞電流，Rf為勵磁電路電阻，if為電機勵磁電流，Lf為勵磁電路電感，Te為電機轉(zhuǎn)矩，TL為電機負(fù)載轉(zhuǎn)矩，ω為電機的角速度，Uf為電機的勵磁電壓.

為了證明直流電機是微分平坦控制系統(tǒng)，首先必須確定直流電機的數(shù)學(xué)模型，以證明直流電動機滿足微分平坦控制系統(tǒng)的條件.根據(jù)基爾霍夫電壓定律(KVL)，可得直流電機的電樞的電壓公式：

式 （1）中：Ua為電機電樞端電壓；E為電機反電動勢；Ra為電樞電路電阻；La為電樞電路電感；ia為電機電樞電流.

而電機反電動勢可以表示為：

式（2）中：KE為反電動勢的電壓系數(shù)；ω為電機的角速度；Laf電樞電感與勵磁電路的互感；if為電機勵磁電流.

直流電機的運動方程表示為：

式（3）中：J為電動機軸上的轉(zhuǎn)動慣量，Bm為粘性摩擦系數(shù)，Tf為庫侖摩擦轉(zhuǎn)矩，Te為電機轉(zhuǎn)矩，TL為電機負(fù)載轉(zhuǎn)矩.

電機轉(zhuǎn)矩方程表示如下：

式（4）中：KT是轉(zhuǎn)矩系數(shù).

微分平坦控制理論用來控制非線性對象的控制方法，先假設(shè)一種非線性的狀態(tài)控制方程如下[11]：

式（5）中：u=（u1，u2，…，um）T是輸入變量，x=（x1，x2，…，x3）是狀態(tài)變量.

如果存在一組變量 z=（z1，z2，…，zm）滿足以下三個條件，變量z被稱為平坦輸出變量，則狀態(tài)控制方程為公式（5）的控制系統(tǒng)被稱為微分平坦控制系統(tǒng).

根據(jù)直流電機的方程式，令 x=（ia，ω），u=Ua，即電機電樞電流和電機的角速度為狀態(tài)度變量，電機電樞端電壓為輸入變量.由式（1）和式（3）聯(lián)立可得狀態(tài)方程：

條件a：存在一個函數(shù)h，滿足以下公式：

選擇平坦輸出的變量為z=ω，可以從公式（6）很容易得出存在函數(shù)h滿足公式（7）.

條件b：所有輸入變量和狀態(tài)變量都可以由變量z確定，存在著有函數(shù)A和函數(shù)B滿足以下公式：

通過變化公式（6）的第一個公式可以得到：

所以存在函數(shù)A使得x=（ia，ω）=A（z，）.

通過公式（1）、公式（2）、公式（3）和公式（4）的代入變化可以得到：

所以存在函數(shù)B使得u＝Ua＝B（z，，）.因此可以得出結(jié)論，滿足直流電機可以滿足第二個條件.

條件c：z的所有變量都是獨立的微分，不存在函數(shù)G滿足以下公式：

z=ω的所有變量都是獨立的微分，這是顯而易見的，因為只用一個變量z作為平坦輸出.根據(jù)以上的證明得出結(jié)論，直流電機是微分平坦控制系統(tǒng)，平坦輸出是z=ω.

所以該非線性系統(tǒng)稱為微分平坦系統(tǒng).對于微分平坦系統(tǒng)，狀態(tài)變量x和控制變量u與輸出量z存在一一對應(yīng)關(guān)系，且z和u的維數(shù)相同.z可以任意選取，可按照實際需要選取z來設(shè)計基于平坦控制，但有一些系統(tǒng)本身的輸出就能作為平坦輸出[14].

2 直流電機微分平坦控制系統(tǒng)的設(shè)計

根據(jù)上述可知，直流電機微分平坦控制系統(tǒng)由前饋控制量的產(chǎn)生和誤差反饋補償兩部分組成，根據(jù)式（6）生成前饋控制量，為了消除擾動所產(chǎn)生的誤差，在誤差反饋加入PI控制，最終使輸出的轉(zhuǎn)速完全跟隨期望的轉(zhuǎn)速的軌跡.

由式（6）可得期望前饋控制量：

其中，上標(biāo)*表示期望值.

令狀態(tài)誤差變量Δω=ω-ω*，可得誤差：

加入PI控制并由上式可得誤差反饋補償：

其中，kp，ki，kq，kj為 PI控制的參數(shù)， 為了使反饋誤差為0，令Δω*=0，則基于微分平坦的控制量：

設(shè)計直流電機微分平坦控制系統(tǒng)框圖如圖2所示.

圖2 直流電機微分平坦控制系統(tǒng)框

3 仿真分析

使用Matlab/Simulink搭建直流電機微分平坦控制控制系統(tǒng)和傳統(tǒng)PID控制系統(tǒng)，仿真所用直流電機的參數(shù)如表1所示.圖3為直流電機的微分平坦控制控制框圖，其中速度控制器和電流控制器為圖2設(shè)計的微分平坦控制系統(tǒng).而PID控制的參數(shù)通過參考文獻(xiàn) [15]的公式計算Kp=12.8，KI=0.084，KD=0.0028.

速度控制器和電流控制器中的PI控制的參數(shù)通過工程整定得到.

以初始設(shè)定角速度ω=120 rad/s進(jìn)行直流電機微分平坦控制系統(tǒng)仿真，然后在時間t=1.5 s時速度的設(shè)定為ω=150 rad/s，在t=3 s時速度的設(shè)定為ω=180 rad/s.初始負(fù)載扭矩TL=50 N·m，然后在時間 t=4.5s和t=5.5s， 將TL增加到200N·m和400N·m進(jìn)行仿真，仿真結(jié)果如圖4所示.圖4（a）是直流電機微分平坦控制角速度的波形，圖4（b）是直流電機PID控制角速度波形，可以看出微分平坦的超調(diào)量更小，有較強的魯棒性.圖4（c）是直流電機角速度波形比較，虛線表示設(shè)定的角速度，實線表示實際的角速度.可以看出實際角速度波形和規(guī)劃的角速度很好的重合，那就達(dá)到對直流電機角速度規(guī)劃軌跡的精確跟蹤.如圖4（d）是電機負(fù)載轉(zhuǎn)矩與角速度的波形，可以當(dāng)負(fù)載轉(zhuǎn)矩在4.5 s和5.5 s變化時，電機的角速度經(jīng)過很短的調(diào)整又回到原來的值，說明了整個直流電機系統(tǒng)動態(tài)特性較好.

表1 直流電機的參數(shù)

圖3 直流電機控制系統(tǒng)

圖4 直流電機微分平坦控制系統(tǒng)仿真波形

4 結(jié) 論

文中簡單介紹了微分平坦控制理論的原理及平坦控制的框架，直流電機的數(shù)學(xué)模型及對其微分平坦系統(tǒng)的驗證.設(shè)計了直流電機微分平坦控制系統(tǒng)，包括控制量的生成和誤差反饋的補償，進(jìn)行仿真比較分析.結(jié)果表明，本文提出直流電機微分平坦控制系統(tǒng)可以很好對角速度的軌跡進(jìn)行預(yù)測.當(dāng)負(fù)載轉(zhuǎn)矩變化時，控制系統(tǒng)能快速調(diào)整，整個直流電機控制系統(tǒng)有較好動態(tài)性能.