高中文科生如何突破三角函數(shù)之瓶頸

訚 剛

三角函數(shù)這部分內(nèi)容是高中數(shù)學(xué)的傳統(tǒng)內(nèi)容，是高考的重點(diǎn)，也是高考的熱點(diǎn)。三角函數(shù)的問題一般都為基礎(chǔ)題，對(duì)于文科生來說三角函數(shù)這部分內(nèi)容在高考中是得分點(diǎn)。因此控制教學(xué)難度、深度和廣度，做好教學(xué)策略，對(duì)文科生數(shù)學(xué)高考成績(jī)提高有著至關(guān)重要的作用?？v觀全國(guó)卷近五年高考數(shù)學(xué)（文科）試卷中三角函數(shù)試題分析，三角函數(shù)的試題是一個(gè)小題和一個(gè)解答題或者直接是兩三道小題。小題屬常規(guī)題型，解答題都在解答題第一題的位置，分值共20分左右。三角函數(shù)的問題屬中等或容易，試題難度不大，易出現(xiàn)課本中的題型。在高考中，三角函數(shù)問題相對(duì)文科生來講是得分的知識(shí)點(diǎn)。本文著重分析文科生在三角函數(shù)知識(shí)的學(xué)習(xí)上存在的障礙，并結(jié)合實(shí)踐提出的教學(xué)對(duì)策。

一、降低教學(xué)難度，控制教學(xué)廣度

根據(jù)新課程標(biāo)準(zhǔn)和高考大綱的要求，做好教學(xué)策略。高考考試大綱的說明：1、了解任意角的概念、弧度制；2、了解弧度制的概念，能進(jìn)行弧度與角度的互化；3、理解任意角三角函數(shù)的定義；4、能利用單位圓中的三角函數(shù)線推導(dǎo)出的正弦、余弦、正切的誘導(dǎo)公式，能畫出y=sinx,y=cosx,y=tanx 的圖像，了解三角函數(shù)的周期性；5、理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在區(qū)間[0,2π]上的性質(zhì)（如單調(diào)性、最大值和最小值以及與x 軸的交點(diǎn)等）。理解正切函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性；6、理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：sin2x+cos2x==tanx;7、了解函數(shù)y=A sin(ωx+φ)的物理意義；能畫出y=A sin(ωx+φ)的圖像，了解參數(shù)A,ω,φ對(duì)函數(shù)圖像變化的影響；8、了解三角函數(shù)是描述周期變化現(xiàn)象的重要函數(shù)模型，會(huì)用三角函數(shù)解決一些簡(jiǎn)單實(shí)際問題。在新課標(biāo)的要求中三角函數(shù)很多知識(shí)做了刪減，難度也降低了。教學(xué)內(nèi)容的變化：1、六個(gè)三角函數(shù)名，只保留正弦、余弦和正切三個(gè)；2、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式只限于兩個(gè)，少了一個(gè)tan α ?cot α=1;3、原教材中已知三角函數(shù)值求角在新教材中已消失；4、刪除了角的反三角函數(shù)表示；5、增設(shè)了三角函數(shù)模型的簡(jiǎn)單應(yīng)用；6、在例題和習(xí)題中削弱了復(fù)雜的三角恒等變換。

在這種背景下，教師降低教學(xué)難度，對(duì)于文科生更是要抓好基礎(chǔ)題目。因?yàn)楦呖既窃囶}的生長(zhǎng)點(diǎn)多出現(xiàn)在課本上，因而教師一定要高度重視課本，并且善于挖掘課本。充分發(fā)揮教材中典型例題和習(xí)題的作用，從教材中挑選出比較典型的例題、習(xí)題，并能讓學(xué)生以課外作業(yè)的形式把它們做一遍的話，那一定會(huì)受益匪淺。

同時(shí)教師也要控制好教學(xué)廣度，不要隨意拓寬知識(shí)點(diǎn)，使學(xué)生學(xué)習(xí)的難度加大。例如教材對(duì)函數(shù)y=A sin(ωx+φ)的要求是A>0,包括例題和練習(xí)題中都是A>0。因此教師沒必要拓寬到A<0 的情況，講解有關(guān)A<0 的練習(xí)題。

二、做好概念教學(xué)

要建立任意角三角函數(shù)概念，角的概念先擴(kuò)大，角的表示（過程的）：正角、零角、負(fù)角，象限角，與角α 終邊相同的角，{β=α+k ?360°,k ∈Z} 到{β=α+2kπ,k ∈Z} 學(xué)生對(duì)角的概念的重新組織，整理成角度換成弧度的形式才更適宜后面內(nèi)容的學(xué)習(xí)。

對(duì)文科生來講任意角三角函數(shù)的概念是抽象度很高的概念。任意角三角函數(shù)概念的教學(xué)設(shè)計(jì)，可以在學(xué)生組織起銳角三角函數(shù)的概念，例如計(jì)算方法、定義域、值域、符號(hào)表示、有關(guān)結(jié)論（與點(diǎn)的位置的選取無關(guān)）后，首先提供“坐標(biāo)系”作為腳手架，并引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突—“在坐標(biāo)系下，如何研究一個(gè)任意角的三角函數(shù)？”并以坐標(biāo)系為平臺(tái)，有層次的研究隨角的變化，即第一象限下的銳角（認(rèn)識(shí)研究方法的變化，以及符號(hào)表示的變化）到0-2π 范圍內(nèi)的角（認(rèn)識(shí)該范圍內(nèi)角的三角函數(shù)的表示方法，特別是值域的變化），不同象限下終邊相同的角（逐漸形成計(jì)算一個(gè)任意角的三角函數(shù)的操作過程）。

三、強(qiáng)化公式的記憶

在學(xué)三角函數(shù)這部分內(nèi)容時(shí)，很多學(xué)生反應(yīng)公式記不住。即便是老師把公式推導(dǎo)過程講的很詳細(xì)很細(xì)致，文科生也很難通過理解的方法記住公式，甚至很多文科生連0°-90°范圍內(nèi)特殊角三角函數(shù)值都沒記住。公式、特殊角三角函數(shù)值都沒記住的話，無論考試出什么樣的題目，文科生都做不了，就好比一個(gè)工人手上沒有工具，他怎么去工作。所以記住公式是解三角函數(shù)問題的前提。

針對(duì)文科生基礎(chǔ)知識(shí)薄弱的情況，老師大可不必要求他們從理解的角度去記憶公式，可以要求他們直接記。當(dāng)然在記的過程中可以找特點(diǎn)，找規(guī)律。例如：六個(gè)誘導(dǎo)公式，我們可以總結(jié)成簡(jiǎn)單的一句話“奇變偶不變，符號(hào)看象限”?！捌孀兣疾蛔儭北硎镜氖强慈呛瘮?shù)中的角度是的奇數(shù)倍還是偶數(shù)倍，如果是奇數(shù)倍，三角的名稱就變，正弦變余弦，余弦變正弦；如果是偶數(shù)倍，則三角名稱不變，之后有個(gè)符號(hào)看象限，看看所要求的三角值在哪個(gè)象限，遵循“一全正，二正弦，三正切，四余弦”，判斷三角函數(shù)的符號(hào)，理解性的記憶誘導(dǎo)公式，而不是死記硬背。

【例1】化簡(jiǎn)

分析：對(duì)于誘導(dǎo)公式的化簡(jiǎn)，我們只需要遵循奇變偶不變，符號(hào)看象限的原則逐個(gè)分析即可。sin(4π-α)我們先看前面的角度4π 是的8倍，那么8是個(gè)偶數(shù)，所以之前的三角名稱不變，還是sin，又因?yàn)?π-α 在第四象限，而第四象限的正弦為負(fù)數(shù)，所以前面添負(fù)號(hào)，這樣就能完成一個(gè)誘導(dǎo)公式的化簡(jiǎn)

四、講練結(jié)合式教學(xué)

數(shù)學(xué)《新課程標(biāo)準(zhǔn)》中指出：教師應(yīng)激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，向?qū)W生提供充分從事數(shù)學(xué)活動(dòng)的機(jī)會(huì)，幫助他們?cè)谧灾魈剿骱秃献鹘涣鞯倪^程中真正理解和掌握基本的數(shù)學(xué)知識(shí)與技能、數(shù)學(xué)思想和方法，獲得廣泛的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

因此對(duì)于三角函數(shù)這一章的教學(xué)，老師應(yīng)該注重講練結(jié)合式數(shù)學(xué)教學(xué)，老師在講解要詳略得當(dāng)，所給練習(xí)要緊扣新課標(biāo)的要求，講和練要密切配合，重視調(diào)動(dòng)學(xué)生動(dòng)腦、動(dòng)口、動(dòng)手，使學(xué)生切身體會(huì)三角函數(shù)中公式的應(yīng)用以及三角函數(shù)值的計(jì)算等問題，激發(fā)學(xué)生的興趣，使學(xué)生的求知欲、表現(xiàn)欲等特點(diǎn)得以釋放。同時(shí)在講練結(jié)合式教學(xué)中，通過學(xué)生的練可以強(qiáng)化對(duì)公式的記憶。

五、培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維

華羅庚先生曾指出：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微；數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事非?！睌?shù)形結(jié)合是中學(xué)數(shù)學(xué)中四種基本思想方法之一，是數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征。在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，將抽象的數(shù)學(xué)語言同直觀的圖形相結(jié)合，實(shí)現(xiàn)抽象的概念與具體形象的聯(lián)系和轉(zhuǎn)化，是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的一條重要的數(shù)學(xué)原則。而轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法則是將一些題目自身去進(jìn)行改造，使它變?yōu)榕c我們熟悉的題目，而且我們還可以通過轉(zhuǎn)化后形成一定的套路，按照一樣的方法去做就可以完成，這也是學(xué)生容易接受的一種思想方法。在三角函數(shù)中存在很多問題都可以將化歸思想和數(shù)形結(jié)合思想聯(lián)系在一起的。

(1)求ω 的值及函數(shù)f(x)的值域;

(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間.

分析：此三角圖形題，結(jié)論要求ω 的值以及函數(shù)的值域，首先必須通過化歸的思想方法將三角函數(shù)華為只含有一個(gè)三角的形式，然后通過圖像求解析式得出其中的ω,充分體現(xiàn)了化歸與數(shù)形結(jié)合的思想方法。這也是高考考查的重點(diǎn)和難點(diǎn)所在。

又由于正三角形ABC 的高為2 3,則BC=4

這例子就反應(yīng)出數(shù)形結(jié)合思想和化歸思想方法在三角函數(shù)這章的學(xué)習(xí)有著很重要的意義。而文科生在數(shù)形結(jié)合和化歸這個(gè)思想方法這方面很欠缺的。因此老師有必要耐心幫助文科生培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合和化歸的數(shù)學(xué)思想。首先老師要教會(huì)學(xué)生畫圖，教會(huì)“五點(diǎn)畫圖法”。可能剛開始他們連描點(diǎn)都不會(huì)，但作為老師不能急，一點(diǎn)一點(diǎn)來，反復(fù)教反復(fù)練，直到會(huì)用“五點(diǎn)畫圖法”畫出三角函數(shù)在某一區(qū)間上的簡(jiǎn)圖。這樣就會(huì)為三角函數(shù)后面的學(xué)習(xí)開個(gè)好頭。其次要求學(xué)生多看圖、觀察圖。提出問題讓學(xué)生從圖像中找答案，可能第一次不行，那老師要鼓勵(lì)加提示多來幾次，慢慢的他們就會(huì)提高看圖的能力了。幫助文科生建立起數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，不僅對(duì)于三角函數(shù)的學(xué)習(xí)有好處，而且對(duì)于學(xué)好高中數(shù)學(xué)都有著很大的幫助。

六、注重三角函數(shù)與其他知識(shí)的相互融合

三角函數(shù)可以與其他知識(shí)形成密切的融合，可以將三角函數(shù)與我們的物理知識(shí)很好的融合起來，實(shí)現(xiàn)物理與數(shù)學(xué)的結(jié)合。在高中數(shù)學(xué)中，三角函數(shù)可以與向量，數(shù)列，不等式等知識(shí)點(diǎn)聯(lián)合起來，運(yùn)用三角函數(shù)以外的知識(shí)點(diǎn)來解決三角的實(shí)際問題。例如三角函數(shù)與平面的向量的綜合主要體現(xiàn)為交匯型，交匯性主要體現(xiàn)在：三角函數(shù)恒等變換公式、性質(zhì)與圖象與平面的向量的數(shù)量積及平面向量的平行、垂直、夾角及模之間都有著不同程度的交匯，在高考中也是一個(gè)熱點(diǎn).

【例3】已知向量m=(cosx,sinx),n(2 2 +sinx,2 2 -cosx),函數(shù)f(x)=m?n,x ∈R

（1）求函數(shù)f(x)的最大值

分析：此題的關(guān)鍵是要先求出函數(shù)的解析式，只有求出了解析式，才能運(yùn)用化歸思想轉(zhuǎn)化成只含有一個(gè)三角名稱的解析式，繼而求出最大值。而第2 問中就要進(jìn)行轉(zhuǎn)化，將轉(zhuǎn)化為前面有的角度去求

所以f(x)的最大值為4

總之，三角函數(shù)的學(xué)習(xí)，特別是對(duì)文科生來說至關(guān)重要。文科生掌握了三角函數(shù)的學(xué)習(xí)和練習(xí)，相信在高考中得到三角函數(shù)的分?jǐn)?shù)應(yīng)該不成問題，我們相信經(jīng)過廣大老師和文科生的共同努力，三角函數(shù)必將成為文科生打通高考成績(jī)制勝之路的法寶。