高層次數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)路徑

許禮光 沈 瓊

(江蘇科學(xué)技術(shù)出版社基礎(chǔ)教育出版中心 210009)

近年來，發(fā)展和加強學(xué)生的高層次數(shù)學(xué)思維已經(jīng)成為一個重要的教育目標(biāo)，西方研究者認為，數(shù)學(xué)教學(xué)的目的就是要培養(yǎng)學(xué)生通過學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識發(fā)展高層次數(shù)學(xué)思維[1].教學(xué)中我們也常說“數(shù)學(xué)要把學(xué)生教聰明”，所謂“教聰明”就是要讓學(xué)生具有更高層次的思維.但是在部分教學(xué)活動中，?；蛞驗檫^于強調(diào)培養(yǎng)知識技能，或為了應(yīng)試，導(dǎo)致思維的淺層次、表面化，不恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)反而將學(xué)生思維本性中蘊含的靈活變僵化、發(fā)散變封閉、獨創(chuàng)變同化.上海市2015年中小學(xué)生綠色指標(biāo)測試評價的測試結(jié)果表明，全市初中生具備高層次數(shù)學(xué)思維的所占比例僅有56%，與前幾年相比，學(xué)生的高層次數(shù)學(xué)思維指數(shù)有所下降[2]. 可見培養(yǎng)高層次數(shù)學(xué)思維的路徑值得探索.

1 高層次數(shù)學(xué)思維及其特征

何謂“高層次思維”？目前還沒有簡單明確、廣受接納的定義.高層次思維研究起源于布魯姆和加涅的認知水平分類:識記、理解、應(yīng)用為低層次思維，分析、評價、創(chuàng)造為高層次思維[3].但是很多學(xué)者對這一簡單的分層方法提出質(zhì)疑.美國數(shù)學(xué)教育家瑞斯尼克概括了高層次思維具有以下特征:非算法的、復(fù)雜的、多種解法的、細致的、多種標(biāo)準(zhǔn)的、不確定的、自我調(diào)節(jié)、從無序中找出結(jié)果、需要持續(xù)努力的[1].國內(nèi)也有學(xué)者從林崇德提出的思維品質(zhì)方面著手，概括出高層次數(shù)學(xué)思維的具體表現(xiàn)為：深刻性、靈活性、獨創(chuàng)性、批判性、敏捷性[4].

筆者認為高層次數(shù)學(xué)思維是一種綜合性思維過程，常發(fā)生在元認知、問題解決、應(yīng)用與創(chuàng)造性活動中，學(xué)生的思維經(jīng)歷聯(lián)系與轉(zhuǎn)化、抽象與擴展、批判與監(jiān)控的過程.換言之，高層次數(shù)學(xué)思維體現(xiàn)出三個基本特征:

聯(lián)系與轉(zhuǎn)化特征.能夠根據(jù)實際問題，挖掘已有經(jīng)驗，廣泛建立聯(lián)系，迅速選擇合適的方法或?qū)σ延薪?jīng)驗進行改造，解決新問題.

抽象與擴展特征.能夠透過現(xiàn)象看本質(zhì)，探究并概括出一般規(guī)律或模型，并能自主遷移、推廣、應(yīng)用到其他情境中.

批判與監(jiān)控特征.能夠?qū)ψ约旱乃季S過程進行自我調(diào)節(jié)，評價自己及他人的認知，同時善于總結(jié)并評價數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)結(jié)論、數(shù)學(xué)思想.

2 高層次數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)路徑

已有研究提出高認知水平的學(xué)習(xí)任務(wù)、基于問題的學(xué)習(xí)模型(PBL)等是發(fā)展高層次數(shù)學(xué)思維的有效方式[1]，那么日常教學(xué)中如何把高層次數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)滲透在各個環(huán)節(jié)呢，筆者認為可從以下幾方面探尋.

2.1 構(gòu)筑“聯(lián)系”的通道，為實現(xiàn)高層次思維的“轉(zhuǎn)化”引航

我們常感到數(shù)學(xué)能力強的學(xué)生在解題中會“隨機應(yīng)變”.高層次思維的靈活性要求學(xué)生在思維過程中能根據(jù)變化及時轉(zhuǎn)換思路、擅于轉(zhuǎn)化新問題.這里建立聯(lián)系是完成轉(zhuǎn)化的橋梁，高層次思維的深刻性、獨創(chuàng)性也都要求學(xué)生能夠發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)對象之間的內(nèi)外聯(lián)系與特殊聯(lián)系，建立的聯(lián)系越豐富、越精細、越深刻、層次越清晰，在分析、解決問題時思維轉(zhuǎn)換越靈活.事實上，突出“聯(lián)系”要素也是國際上數(shù)學(xué)教育發(fā)展的普遍趨勢[5].

(1)整體構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò).數(shù)學(xué)知識具有系統(tǒng)性、結(jié)構(gòu)性、邏輯性，教學(xué)中應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生認識知識系統(tǒng)的整體結(jié)構(gòu)，形成知識網(wǎng)絡(luò).首先教師自己要理解數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)，知道新授知識在數(shù)學(xué)系統(tǒng)中的“來龍”與“去脈”；其次分析學(xué)生已有的認知經(jīng)驗，準(zhǔn)確激發(fā)知識的“生長點”，讓其體會新舊知識的聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生從整體性角度進行認知，形成合理的邏輯結(jié)構(gòu).如所學(xué)模塊在知識鏈條中的位置、作用、對知識鏈條的影響等. 另外，在學(xué)習(xí)了新的知識后，要特別注意幫助學(xué)生整理、更新已有的知識網(wǎng)絡(luò)，這種更新不是簡單的知識網(wǎng)絡(luò)端點的增加，而是對知識網(wǎng)絡(luò)的重組、改造、整理與升華.一句話，以“聯(lián)系”為主體的整體知識網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建，是所有“轉(zhuǎn)化”的引航工程.

案例一元二次方程(蘇科版《數(shù)學(xué)》九年級上冊)

問題1： 某學(xué)校準(zhǔn)備修建一個周長為50 m的矩形花圃，它的長比寬多10 m.怎樣描述其中數(shù)量之間的相等關(guān)系？

問題2： 某學(xué)校準(zhǔn)備修建一個面積為200 m2的矩形花圃，它的長比寬多10 m.此時應(yīng)怎樣描述數(shù)量之間的相等關(guān)系？該矩形花圃的長、寬為多少？

在學(xué)習(xí)一元二次方程之前，學(xué)生已經(jīng)具有了一元一次方程、二元一次方程的經(jīng)驗，問題1激發(fā)學(xué)生關(guān)于一元一次方程的知識生長點，問題2制造認知沖突.接下來，教師再用大量與一元二次方程有關(guān)的現(xiàn)實情境，幫助學(xué)生建立并感悟一元二次方程這個表示現(xiàn)實世界數(shù)量關(guān)系的模型.然后，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注一元二次方程與一元一次方程、二元一次方程組的聯(lián)系與異同，感悟一元二次方程是以前學(xué)過的方程知識的延續(xù)和深化.最后，讓學(xué)生總結(jié)“現(xiàn)在你學(xué)過哪些方程了?”這樣的類比與聯(lián)系，一方面讓學(xué)生關(guān)注不同類型方程形式上的差異，在后續(xù)學(xué)習(xí)，比如解方程中能夠靈活將各種復(fù)雜的方程轉(zhuǎn)化為熟悉的方程形式求解；另一方面有利于將學(xué)生對各方程單一的理解上升到統(tǒng)一的、整體的模型思維層次，即使以后面對更為復(fù)雜的問題情境，也可以通過剝離現(xiàn)象，提煉本質(zhì)，有效地調(diào)用模型思想解決問題，使數(shù)學(xué)思維向高層次發(fā)展.

(2) 增加知識聯(lián)結(jié)的精度與強度.引導(dǎo)學(xué)生建立知識聯(lián)系時要避免做空洞的“詞匯游戲”，而要做內(nèi)化于學(xué)生認知系統(tǒng)的“思維之舉”[7]，使知識網(wǎng)絡(luò)逐漸強化和精致化.

首先，要構(gòu)建數(shù)學(xué)對象本質(zhì)之間的聯(lián)系.如：在三角形的三條邊、三個角這6個元素中，“已知哪幾個元素可以用尺規(guī)作圖作出該三角形”“已知哪幾個元素可以解該三角形”“已知哪幾個元素相等的兩個三角形全等”，這3個問題表面上的聯(lián)系是同為三角形中6個元素的相關(guān)問題，但本質(zhì)上都是解決“如何確定一個三角形”的問題，滲透的“在哪些元素確定的情況下，就可以確定所有元素”的思想可以廣泛應(yīng)用于各類問題的解決中.

其次，要引導(dǎo)學(xué)生將知識之間的聯(lián)系具體化、精致化.如平行四邊形、矩形、正方形、菱形，本質(zhì)上這4個概念同屬中心對稱圖形，且相互之間具有特殊與一般的關(guān)系，出示如下問題將這種抽象的聯(lián)系過渡到具體性質(zhì)：平行四邊形、矩形、菱形、正方形的對稱中心、對稱軸分別什么？回顧中心對稱圖形的性質(zhì)，你認為平行四邊形具有哪些性質(zhì)？正方形有什么特殊性質(zhì)是矩形沒有的？判定一個圖形是正方形、矩形、菱形，哪個需要的條件最多？已知一個圖形是矩形，再滿足什么條件就可以判定它是正方形了？

另外，求同中之異，在異中求同.對數(shù)學(xué)對象展開對比分析，研究相同點與不同點，并分析產(chǎn)生異同的原因，提高思維的深刻性.比如，學(xué)習(xí)了一元一次不等式的解法與一元一次方程的解法之后，教師出示問題：

問題1：解一元一次不等式與解一元一次方程的步驟、每一步的根據(jù)有什么相同點與不同點？

問題2：為什么解一元一次不等式時，要考慮兩邊同乘(或除以)的數(shù)的符號，而解一元一次方程時不需要考慮？

以上2個問題引導(dǎo)學(xué)生理解兩者都是步步有據(jù)的轉(zhuǎn)化過程，解法上的不同源于不等式的性質(zhì)與等式性質(zhì)的區(qū)別.

2.2 確立“抽象”的頻道，為實現(xiàn)高層次思維的“擴展”領(lǐng)航

注重培養(yǎng)抽象思維已經(jīng)成為數(shù)學(xué)教學(xué)的共識，而培養(yǎng)學(xué)生將經(jīng)過抽象得到的數(shù)學(xué)對象廣泛應(yīng)用于更多情境同樣重要.PISA測試將數(shù)學(xué)思維和概括能力作為數(shù)學(xué)素養(yǎng)的最高能力等級，這不僅要求學(xué)生將現(xiàn)實問題數(shù)學(xué)化，辨別并提取包含在情境中的數(shù)學(xué)因素，還要求運用其分析、解釋他人的數(shù)學(xué)模式[8]，瑞斯尼克把“將新的理論應(yīng)用到一系列的事實和問題上”作為高層次思維的主要特征之一[1].其實某種程度上，擴展也可看成是一種抽象，它是將抽象得到一般對象化到了更高的抽象層次.抽象思維與擴展能力相輔相承，共同為高層次數(shù)學(xué)思維領(lǐng)航.

(1)經(jīng)歷模型推廣的過程.通過設(shè)計不同現(xiàn)實背景，引導(dǎo)學(xué)生將抽象得到的數(shù)學(xué)模型推廣到更豐富、一般的情形，提升思維的廣闊性和深刻性，在后續(xù)解決具體問題的過程中，其思維的觸發(fā)點將更廣泛，同時也更能主動自覺地尋找具有普遍意義的方法、模式.

案例“軸對稱圖形”小結(jié)思考(蘇科版《數(shù)學(xué)》八年級上冊)

在“探索研究”階段，教師出示以下問題：

問題1：一位將軍要從河流一側(cè)的軍營出發(fā)前往位于河流同側(cè)的家中，途中需要牽馬到河邊喝水，他怎么走才能更快到家？

教師引導(dǎo)學(xué)生分析情境，畫出圖形，抽象出數(shù)學(xué)問題，建立模型；然后運用軸對稱和“兩點之間線段最短”解決問題.接下來，將模型進一步擴展到以下問題情境：

問題2：光的反射傳播路徑滿足入射角等于反射角.如圖，光線從點A出發(fā)，經(jīng)過平面鏡l反射從點B射出，請你畫出光線所走的路徑.你畫的路徑是光線從點A到點B的所有路徑中最短的嗎？

將問題1中的模型應(yīng)用于物理現(xiàn)象中，在解答后向?qū)W生介紹這是光學(xué)中著名的費馬原理，讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)與物理的聯(lián)系，感受數(shù)學(xué)模型應(yīng)用的廣泛性.最后，出示以下拓展問題：

問題3：在如圖的矩形臺球桌上，如何擊中白球，使它能夠依次碰撞球桌邊OM、ON之后撞擊到黑球？

問題3具有與問題1、2完全不同的生活背景，同時也對前面建立的模型進行了改造與拓展，學(xué)生體會到數(shù)學(xué)模型經(jīng)過變化可以應(yīng)用到更多領(lǐng)域，開拓建模思路.

(2) 多角度分析解決問題.教學(xué)中應(yīng)幫助學(xué)生打破思維定勢，引導(dǎo)其通過多種途徑思考和解決問題，同時在不同角度或方法之間靈活轉(zhuǎn)化，用一種思考問題的角度去支撐或幫助另一種角度的思考，辯證地看待不同方法之間的優(yōu)劣.

案例“線段、角的軸對稱性”(蘇科版《數(shù)學(xué)》八年級上冊)

已知：如圖，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E、F.求證：AD垂直平分EF.[6]

證法1 ：

因為AD是△ABC的角平分線；

所以∠1=∠2；

在△AED和△AFD中，

所以△AED?△AFD.

所以AE=AF.

在△AEO和△AFO中，

由△AEO?△AFO.

有∠AOE=∠AOF,EO=FO;

所以AD垂直平分EF.

證法2:

因為DE⊥AB,DF⊥AC,∠1=∠2；

所以∠3=∠4；

所以DE=DF,AE=AF.

所以D、A在EF的垂直平分上.

所以AD垂直平分EF.

本題是學(xué)生學(xué)習(xí)過“線段、角的軸對稱性”之后的例題，在這之前學(xué)生剛學(xué)習(xí)過全等三角形，經(jīng)歷了大量利用三角形全等證明幾何結(jié)論的訓(xùn)練，形成了從三角形全等的角度思考幾何問題的思維定勢，在本道例題實際教學(xué)中，很多學(xué)生仍會用證法1.教材引導(dǎo)學(xué)生從線段、角的軸對稱性的角度分析問題，利用“角平分線上的點到角兩邊的距離相等”“到線段兩端距離相等的點在線段的垂直平分線上”證明(證法2)，打破其“看到三角形中的證明問題就想全等”的定勢，學(xué)會通過多種途徑思考和解決問題.

2.3 開辟“批判”的跑道，為實現(xiàn)高層次思維的“監(jiān)控”護航

關(guān)于高層次思維的研究無一例外都強調(diào)了評價或思維批判性的重要性，這包含兩層含義，一是監(jiān)控，包括對思維過程的自我監(jiān)控及有意識地自我調(diào)節(jié)和修正；二是判斷，包括以批判性的眼光根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)做評估、比較、選擇等.

(1)通過問題引領(lǐng)激發(fā)學(xué)生主動反思

在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生自覺、主動地反思，可以促進其對數(shù)學(xué)思維活動實現(xiàn)自我察覺、自我評價、自我探究、自我監(jiān)控、自我調(diào)節(jié).教師要為學(xué)生創(chuàng)設(shè)反思的機會，如可以通過示錯糾錯的方式，引導(dǎo)學(xué)生分析質(zhì)疑，培養(yǎng)反思的意識，學(xué)會反思的方法.另外要給學(xué)生充分表達自己思考過程的機會，充分暴露其思維過程，不斷對學(xué)生的回答進行追問，實現(xiàn)“思維對話”,讓其經(jīng)歷重新梳理思維路徑的過程，以主動體悟自己的思維障礙.另外通過元認知提問引導(dǎo)學(xué)生進行反思，教師的提問應(yīng)“問過程”，而非“問結(jié)果”，要“問思考”，而非“問知識”.

案例等可能條件下的概率(一)(蘇科版《數(shù)學(xué)》九年級上冊)

在學(xué)習(xí)了計算等可能條件下的概率之后，教師出示下列例題：

問題：拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣2次，2次都是正面朝上的概率是多少？

在本例中，很多學(xué)生計算結(jié)果為1/3.教師啟發(fā)學(xué)生反思：

師：請談?wù)勀闶侨绾嗡伎嫉模?/p>

生：有3種可能出現(xiàn)的結(jié)果，2次正面朝上，2次反面朝上，1次正面朝上1次反面朝上，2次正面朝上是其中的一種，所以概率是1/3.

師：你說的“1次正面朝上1次反面朝上”中的1次是指哪一次呢？

生：可以第1次也可以是第2次.(引導(dǎo)生意識到枚舉未全，所以3種結(jié)果不是等可能的)

師：你為什么會發(fā)生這種錯誤？

生：我把第1次和第2次算成同一次了.

師：想想看用什么方法避免這種錯誤，使得列舉的結(jié)果不重不漏呢？(引導(dǎo)學(xué)生體會列表、畫樹狀圖在條理性方面的優(yōu)點)

(2)適時創(chuàng)設(shè)機會引導(dǎo)學(xué)生有根據(jù)地批判

大部分數(shù)學(xué)知識和問題答案在向?qū)W生呈現(xiàn)時都是確定且唯一的，這在一定程度上導(dǎo)致學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中批判意識的欠缺.教學(xué)中教師要適時創(chuàng)設(shè)機會讓學(xué)生在學(xué)習(xí)時進行有效思辨，讓其自主探索、合作交流，在思辨中探求“真理”，潛移默化地提升思維的批判性.這里的“辨”，不是“亂辨”，而是在教師的指導(dǎo)下，找到辨證的根據(jù)與原則，結(jié)合與自己的經(jīng)驗、當(dāng)下的情境，獨立提出觀點.

案例蘇科版《數(shù)學(xué)》教材九年級下冊“8.1 中學(xué)生的視力情況調(diào)查”[6]

教材提供了5種對本地區(qū)中學(xué)生視力情況調(diào)查的不同方式并給出相應(yīng)的調(diào)查結(jié)果：在眼鏡店調(diào)查50名中學(xué)生的視力，在鄰居中調(diào)查20名學(xué)生,在所在學(xué)校每個年級調(diào)查10名學(xué)生,查閱本地區(qū)每個中學(xué)醫(yī)務(wù)室資料,抽查本地區(qū)10%的學(xué)生.

教師讓學(xué)生合作交流，對5種調(diào)查方式進行評價，并通過如下問題引導(dǎo)學(xué)生確立評價的根據(jù)：這5種調(diào)查方式的結(jié)果為什么相差這么大？它們在數(shù)據(jù)來源上有什么不同？它們對數(shù)據(jù)的處理方式是怎樣的？對這5種調(diào)查方式你有什么看法？如果讓你調(diào)查本地區(qū)中學(xué)生的視力情況，你應(yīng)該如何收集數(shù)據(jù)？

通過讓學(xué)生自由的討論、發(fā)表看法、對他人的回答做出評價，學(xué)生在感受到抽樣調(diào)查的原則、加深對數(shù)據(jù)的認識應(yīng)用的同時，經(jīng)歷思辨的過程，提升批判意識.

正如前文所說，高層次數(shù)學(xué)思維到目前為止，還沒有一個被廣為接受的一套定義.從數(shù)學(xué)學(xué)科來說，高層次數(shù)學(xué)思維在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中也不是完全獨立的，它可以被認為是多種能力的疊合，高層次數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)應(yīng)貫穿人才培養(yǎng)的全過程、滲透在數(shù)學(xué)教學(xué)的各個環(huán)節(jié).但無論怎樣,探尋與培養(yǎng)學(xué)生的“聯(lián)系與轉(zhuǎn)化”“抽象與擴展”以及“監(jiān)控與批判”能力應(yīng)是高層次數(shù)學(xué)思維能力提升的必然路徑.