創(chuàng)新量綱分析重導(dǎo)玻爾模型能級(jí)公式

鄧崇林

(獨(dú)立研究員)

1 背景

目前量綱分析的通行手法為白金漢Π定理(簡(jiǎn)稱Π定理)[1]與瑞利法[2]，或兩者混用。由于許多重要物理常數(shù)本身是無(wú)量綱的量，因此在找尋無(wú)量綱量時(shí)，通常會(huì)用Π定理先行估算[3]，然而它是一種單向思考的手法，并沒(méi)有考量到反過(guò)來(lái)的情況，這樣就自我設(shè)限不夠全面。物理學(xué)中有負(fù)電子也有正電子，數(shù)學(xué)中有函數(shù)，也要有反函數(shù)，為何量綱分析中不能有反向操作手法？于是有了填補(bǔ)空間，也就是在主要思惟邏輯上，以無(wú)量綱量為基礎(chǔ)，逆向思考它是怎么得來(lái)的，這也就成了本研究自創(chuàng)手法的骨干精髓。本研究是針對(duì)氫原子物理進(jìn)行案例探討，因此會(huì)受限于此，但方法并不受限。

本文將介紹一套自創(chuàng)手法：隱因還原比例法，這是無(wú)量綱分析的逆向思考創(chuàng)新手法。接著是兩個(gè)補(bǔ)充概念，一是先求得一個(gè)無(wú)量綱量，再轉(zhuǎn)成我們要的特征組合物理量，以作后續(xù)進(jìn)一步分析之用；二是由物理特性與物理圖像來(lái)主導(dǎo)整個(gè)量綱分析，而非遷就于量綱分析的方法論。為此，就得搭配三項(xiàng)物理特性。第一項(xiàng)物理特性：原子激發(fā)不連續(xù)光譜線只與原子的內(nèi)蘊(yùn)物理量有關(guān)，無(wú)論原子體量大小、距離遠(yuǎn)近、吸收放射等種種差異因素，內(nèi)蘊(yùn)物理量皆不受其影響，因其根源是來(lái)自系統(tǒng)內(nèi)部；第二項(xiàng)物理特性：原子不連續(xù)光譜線波長(zhǎng)就是此一內(nèi)蘊(yùn)物理量的特定表征，因?yàn)閷?duì)物理系統(tǒng)的光譜波長(zhǎng)描述畢竟只能來(lái)自系統(tǒng)內(nèi)部；第三項(xiàng)物理特性：光量子化。

另考察量綱分析應(yīng)用于原子物理中的情況，普遍是針對(duì)片面問(wèn)題進(jìn)行估算，難見(jiàn)將一體系問(wèn)題經(jīng)不同量綱分析過(guò)關(guān)斬將，最終撥云見(jiàn)日解決疑難，這也是本文要展現(xiàn)的企圖，希望能夠做到。

2 創(chuàng)新隱因還原比例法介紹

當(dāng)手上只有實(shí)驗(yàn)測(cè)得的光譜線波長(zhǎng)數(shù)據(jù)，如想據(jù)此建立光譜波長(zhǎng)經(jīng)驗(yàn)方程，若按現(xiàn)在的Π定理來(lái)看，只觀測(cè)到波長(zhǎng)且不清楚系統(tǒng)還會(huì)涉及到哪些物理量，而光譜線波長(zhǎng)就只有一個(gè)基本量(L)，Π定理無(wú)從建立無(wú)量綱的量，遑論建立光譜線波長(zhǎng)之間的關(guān)系式。本研究就是為了解決這類問(wèn)題，特創(chuàng)建新的量綱分析手法，能在實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)受限之下，找出物理系統(tǒng)的內(nèi)蘊(yùn)物理量，至于何謂內(nèi)蘊(yùn)物理量，這里要先給出定義。對(duì)于一特定物理系統(tǒng)而言，內(nèi)蘊(yùn)物理量是由一些與系統(tǒng)相關(guān)的物理基本常數(shù)所組成，且構(gòu)成該系統(tǒng)獨(dú)一無(wú)二的特性。內(nèi)蘊(yùn)物理量幾乎不受系統(tǒng)外在因素影響，因其根源是來(lái)自系統(tǒng)內(nèi)部，而此一內(nèi)蘊(yùn)物理量當(dāng)會(huì)反映到此系統(tǒng)的特定表征，因?yàn)閷?duì)物理系統(tǒng)的描述畢竟只能來(lái)自系統(tǒng)內(nèi)部。例如，無(wú)量綱常數(shù)往往會(huì)是個(gè)內(nèi)蘊(yùn)物理量，精細(xì)結(jié)構(gòu)常數(shù)就是典型例子，它是由電子電荷、真空介電常數(shù)、普朗克常數(shù)、真空中的光速等物理基本常數(shù)所組成。但這不表示所有無(wú)量綱量在“物理上是有意義”的，譬如本研究所找出的無(wú)量綱的量，在物理上都沒(méi)有意義，卻能當(dāng)成跳板，可借其轉(zhuǎn)到想要解決的問(wèn)題上，也就是前面提到的補(bǔ)充概念之一：先求得一個(gè)無(wú)量綱量，再轉(zhuǎn)成我們要的特征組合物理量。

無(wú)量綱(dimensionless)的觀念在量綱分析中是非常重要的，量綱平衡背后的思維邏輯也是基于無(wú)量綱，正是所謂無(wú)量綱化(nondimensionalization) 之根據(jù)。由于光譜線波長(zhǎng)就只有一個(gè)長(zhǎng)度基本量，按Π定理就無(wú)從建立無(wú)量綱的量，遑論建立光譜線波長(zhǎng)之間的關(guān)系式。其實(shí)要制造出無(wú)量綱的量非常簡(jiǎn)單，只要將不同波長(zhǎng)相除就是了，但也沒(méi)見(jiàn)著光譜線相關(guān)的內(nèi)蘊(yùn)物理量，如同拿籃子打水，白忙一場(chǎng)，真的是這樣嗎？這倒未必，這里就是要補(bǔ)充量綱分析，運(yùn)用無(wú)量綱量概念，讓不同波長(zhǎng)相除，不但不會(huì)白忙，還能凸顯出其內(nèi)蘊(yùn)物理量。這就是本研究已探明的隱因還原比例法，顧名思義，就是讓原來(lái)兩兩相除被約分隱藏不見(jiàn)的因子，還原顯露其本性介紹。

就一原子光譜線系統(tǒng)，為求出經(jīng)驗(yàn)方程式λ=f(λ,K)，其中λ為已知波長(zhǎng)而K為未知量，如果系統(tǒng)符合第一項(xiàng)物理特性，則可令K是個(gè)不為零的內(nèi)蘊(yùn)物理量，那么按第二項(xiàng)物理特性，則存在有函數(shù)形式f(λ,K)=Kf(λ)，如觀測(cè)得知最少有3個(gè)物理量：

那么可運(yùn)用前面提到的補(bǔ)充概念之一，先求得一個(gè)無(wú)量綱量，再轉(zhuǎn)成能凸顯內(nèi)蘊(yùn)物理量的特征組合分?jǐn)?shù)形式比例項(xiàng)，也就是先把不同波長(zhǎng)相除，再列出下列關(guān)系式：

對(duì)照上述兩行分立右等號(hào)兩邊的兩個(gè)分?jǐn)?shù)形式比例項(xiàng)的乘積，呈現(xiàn)出一對(duì)對(duì)小括號(hào)比例因子的乘積，很容易發(fā)現(xiàn)分立右等號(hào)兩邊的各前項(xiàng)乘數(shù)都長(zhǎng)得一模一樣，也就是找到了一個(gè)共同形式a/K=(分?jǐn)?shù)形式無(wú)量綱量常數(shù)a)，并將右等號(hào)兩邊兩兩比例項(xiàng)目一一對(duì)應(yīng)從中找出下列關(guān)系式：

上述這些公式中只有參數(shù)K是個(gè)未知數(shù)，其他都是已知數(shù)值，而且各項(xiàng)公式之形式都是一元一次方程式，這是最容易求解的。求出參數(shù)K之后，可以再列出λ=Kf(λ)=分?jǐn)?shù)形式比例項(xiàng)，在運(yùn)用數(shù)字技巧將分?jǐn)?shù)形式比例項(xiàng)的規(guī)律找出來(lái)，于是得到經(jīng)驗(yàn)方程式λ=K×(有規(guī)律的分?jǐn)?shù)形式比例項(xiàng))，此時(shí)，K與λ有著相同的量綱。注意，嚴(yán)格來(lái)講，目前按本方法找到的K值，只算是一個(gè)共同因子，并不保證是個(gè)內(nèi)蘊(yùn)物理量，這還要進(jìn)一步分析與確認(rèn)。

3 以創(chuàng)新法找出氫原子光譜線的規(guī)律

方法有了，接著就是操練時(shí)刻，本節(jié)將針對(duì)氫原子物理進(jìn)行案例練習(xí)。其實(shí)這部分已于前一篇“以簡(jiǎn)明物理法重新發(fā)現(xiàn)巴耳末公式”[4]的研究報(bào)告中詳細(xì)說(shuō)明，此處細(xì)節(jié)就不再重復(fù)，如欲了解詳情，敬請(qǐng)參考該文獻(xiàn)[4]。不過(guò)為了考量邏輯推理的連貫性，這里還是要做個(gè)重點(diǎn)交代，該文利用紅、青綠、青、藍(lán)、紫等總共五色氫原子光譜譜線波長(zhǎng)，照前述介紹的隱因還原比例法，按部就班就能找到一個(gè)共同因子，也就是巴耳末基數(shù)，然后經(jīng)過(guò)一些變換，就得出里德伯公式：

(1)

由于按隱因還原比例法所找到的是一個(gè)共同因子，后續(xù)還要進(jìn)一步確認(rèn)是否為內(nèi)蘊(yùn)物理量。

4 以Π定理算出氫原子玻爾半徑

此前所推得的里德伯常數(shù)R的數(shù)值，是可經(jīng)由實(shí)驗(yàn)方式測(cè)得其值，可是只能確認(rèn)它是一個(gè)屬于氫原子光譜之共同因子。目前，雖不清楚它是由哪些基本物理常數(shù)所構(gòu)成，卻可以先從里德伯常數(shù)具有長(zhǎng)度的量綱[1/R]=L開(kāi)始著眼，猜想光譜線體系是有內(nèi)蘊(yùn)長(zhǎng)度的。因此，本單元將以Π定理[1]揭露與此相關(guān)的內(nèi)蘊(yùn)物理量。在原子物理學(xué)中常采用國(guó)際MKSA(米、千克、秒、安培)的電磁學(xué)單位制，因此會(huì)有4個(gè)基本量綱：長(zhǎng)度[L]、質(zhì)量[M]、時(shí)間[T]、電流[I]。原子物理中的基本常數(shù)有電子靜止質(zhì)量me、電子電荷量e、光速c、真空介電常數(shù)ε0、約化普朗克常數(shù)，而組合常數(shù)就是由基本物理常數(shù)優(yōu)化組合而成的，例如e2/(4πε0)。這些組合常數(shù)總是嚴(yán)格地以相同的形式出現(xiàn)在物理定律和方程中，有簡(jiǎn)明的量綱和物理意義，善用原子物理中組合常數(shù)的特點(diǎn)，能使問(wèn)題的分析簡(jiǎn)便、快捷，而且各個(gè)物理量間的關(guān)系也非常清楚[5]。此處改選取CGS單位制的質(zhì)量[M]、長(zhǎng)度[L]、時(shí)間[T]3個(gè)基本量綱，外加考量原子物理中的基本常數(shù)與組合常數(shù)，則不只能減少基本量綱數(shù)目，還可以讓量綱分析過(guò)程的物理圖像更加清晰，現(xiàn)在就氫原子中一個(gè)電子受庫(kù)侖力吸引繞著以原子核為中心在半經(jīng)r處做圓周運(yùn)動(dòng)來(lái)進(jìn)行量綱分析。首先考量氫原子中電子與原子核之間的靜電相互作用勢(shì)能：

(2)

現(xiàn)就上述勢(shì)能公式(2)中找出一些有興趣的物理量考量海森伯不確定度關(guān)系，并按照它們與基本量綱之間的關(guān)系式導(dǎo)出下列分析所需的各種量綱式：

前面已推測(cè)光譜線體系是有內(nèi)蘊(yùn)長(zhǎng)度的，而半經(jīng)的量綱恰好吻合，所以設(shè)r=F(ke2,,me)，使得量綱關(guān)系式為[r]=(Π)[ke2]a[]b[me]c，其中Π是個(gè)無(wú)量綱量，而a,b,c分別是導(dǎo)出量相對(duì)應(yīng)的量綱指數(shù)，于是整理列出量綱表如下：

量綱表ke2 merM1110L3201T-2-100

解代數(shù)方程組過(guò)程如下：

求解之后，根據(jù)Π定理可以寫(xiě)出半徑的量綱關(guān)系式[r]=(Π)[ke2]-1[]2[me]-1，從而得到一個(gè)無(wú)量綱量：

無(wú)量綱量

(3)

現(xiàn)回頭考量式(2)由庫(kù)侖力產(chǎn)生的勢(shì)能，半徑趨近于零則會(huì)導(dǎo)致負(fù)無(wú)窮大的勢(shì)能產(chǎn)生，這是不可能的。因此，合理的推斷其半徑有個(gè)下限并定為r0，再套用前面式(3)的無(wú)量綱量并可移項(xiàng)轉(zhuǎn)為：

待定常數(shù)

(4)

由于r0已經(jīng)是個(gè)下限值，若待定常數(shù)Γ1小于1會(huì)導(dǎo)致r0的值變得更小，這與先前的推斷產(chǎn)生了矛盾。為了保持系統(tǒng)的自恰性，因此，待定常數(shù)Γ1的最小極值就只能是等于1，因此得到明確的氫原子中最小電子軌道半徑，其物理基本常數(shù)組成竟然與玻爾氫原子模型推得的玻爾半徑一模一樣，其關(guān)系式表征如下：

玻爾半徑

(5)

費(fèi)曼運(yùn)用普朗克常數(shù)特性所做的估算，居然與之前量綱分析合并使用自恰性所得式(5)有著相同結(jié)論，此情況就好像黑體輻射的頻譜函數(shù)是引入普朗克常數(shù)之后，才自恰地有了正確形式。由此可聯(lián)想到，在描述微小尺度的世界，物理理論如要自恰，就會(huì)與普朗克常數(shù)密不可分，然而有關(guān)普朗克常數(shù)的很多秘密，當(dāng)今物理學(xué)家還沒(méi)有完全明白，這已是題外話了。

5 以瑞利法定出氫原子基態(tài)能量

前一節(jié)推導(dǎo)得出氫原子中電子運(yùn)行的最小電子軌道的玻爾半徑，但還是沒(méi)能揭露里德伯常數(shù)的內(nèi)蘊(yùn)物理量，下一步呢？惠子曰：“以其所知諭其所不知而使人知之”，在所知最小半徑軌道的電子身上，或許可以猜想到下一個(gè)線索。于是接著問(wèn)，那么其最小能量不知幾何？一般運(yùn)用Π定理是想求出對(duì)系統(tǒng)分析有意義的常數(shù)，但應(yīng)注意式(3)無(wú)量綱量卻是個(gè)與半徑有關(guān)的變量，由于我們是在探討此一系統(tǒng)的內(nèi)蘊(yùn)物理量，而式(3)無(wú)量綱量中的r并不是常數(shù)，因此把它剔除，這樣就符合本研究的第一項(xiàng)物理特性條件要求。此時(shí)，由于式(3)少了半徑，這相當(dāng)于是把式(3)的無(wú)量綱量乘上一個(gè)波數(shù)物理量，恰好變成一個(gè)具波數(shù)物理量的內(nèi)蘊(yùn)物理量，也就成了我們要找的系統(tǒng)特征組合物理量，其量綱乃等于里德伯常數(shù)的波數(shù)量綱。于是該特征組合物理量也會(huì)有著里德伯常數(shù)的內(nèi)蘊(yùn)作用，即是會(huì)按本研究的第二項(xiàng)物理特性來(lái)運(yùn)作，因而這個(gè)特征組合物理量會(huì)伴隨在氫原子所發(fā)射的光波當(dāng)中。所以，該光波所具有的能量E會(huì)是由上述式(3)無(wú)量綱量中除開(kāi)半徑以外的其他3種不同導(dǎo)出量所組成，也就是E=f(,ke2,me)，這樣就能以瑞利法[2]進(jìn)行分析。然而此時(shí)的量綱與能量的量綱是不一致的，接著就要進(jìn)行量綱一致化計(jì)算。首先針對(duì)這些導(dǎo)出量分別設(shè)置相對(duì)應(yīng)的量綱指數(shù)為x,y,z，并存在一個(gè)未知比例系數(shù)Γ，使得能量E與這些導(dǎo)出量的函數(shù)關(guān)系式如下：

(6)

可以從上述式(6)得到能量的量綱式為：

[E]=ML2T-2=(MxL2xT-x)(MyL3yT-2y)(Mz)

就量綱的一致性對(duì)照上式不同基本量綱中已知與未知之間的量綱關(guān)系，可分別找出下列聯(lián)立方程組：

對(duì)上述代數(shù)方程組求解，可得3個(gè)量綱指數(shù)分別為x=-2,y=2,z=1，再把它們代回到式(6)，使得能量E與這些導(dǎo)出量的函數(shù)關(guān)系式如下：

(7)

現(xiàn)在假設(shè)一種能量轉(zhuǎn)換情況，就是將最小半徑靜電勢(shì)能轉(zhuǎn)成光譜線的能量，于是就有下列關(guān)系式：

(8)

將式(5)的玻爾半徑代入到上式，可以得到?！?1。以上只是猜測(cè)，要經(jīng)實(shí)驗(yàn)加已證實(shí)才行，而里德伯常數(shù)是個(gè)可測(cè)得的物理量，只要兩者數(shù)值近乎相等，就能決定式(7)中的正確比例系數(shù)Γ。如果將前述猜測(cè)得到?！?1代入到式(7)，并計(jì)算相關(guān)物理基本常數(shù)值，會(huì)發(fā)現(xiàn)此理論計(jì)算值會(huì)是里德伯常數(shù)測(cè)量值的兩倍大，于是要改成Γ=1/2后再次代入到式(7)，這時(shí)新計(jì)算所得理論值就會(huì)和里德伯常數(shù)測(cè)量值相當(dāng)，如此就能得到正確的最小能量：

(9)

前述理論值與測(cè)量值的計(jì)算與核對(duì)工作細(xì)節(jié)，請(qǐng)參閱文獻(xiàn)[4]，這里不再贅述。以上得到里德伯常數(shù)背后的最小能量，或叫基態(tài)能量，它與玻爾半徑式(5)的關(guān)系可算得為

(10)

6 用基態(tài)能量推導(dǎo)出里德伯常數(shù)的內(nèi)蘊(yùn)物理量

由于里德伯常數(shù)的量綱是波長(zhǎng)λ的倒數(shù)，又按本研究的第三項(xiàng)光量子化特性要求，此光量子能量為E=hf，其中f為其頻率，還要與前一節(jié)得到的基態(tài)能量式(9)關(guān)聯(lián)起來(lái)，于是能導(dǎo)出由多個(gè)物理基本常數(shù)實(shí)際構(gòu)成的里德伯常數(shù)：

(11)

至此，才得以證明在前面第三節(jié)里按隱因還原比例法所找到共同因子，也就是里德伯常數(shù)。它真的是此物理系統(tǒng)的內(nèi)蘊(yùn)物理量，同時(shí)也完全揭露該內(nèi)蘊(yùn)物理量的本質(zhì)內(nèi)涵，與玻爾理論所推得的形式及內(nèi)涵完全一致。

7 綜合推導(dǎo)出玻爾模型能級(jí)公式

有了前面經(jīng)不同量綱分析手法取得的成果，就不難推導(dǎo)出玻爾理論的能級(jí)公式。首先考量在氫原子受激發(fā)射的光波具有的光子能量，當(dāng)遵守式(1)的里德伯經(jīng)驗(yàn)公式，但兩者量綱不一致，因此要將式(1)的里德伯公式按本研究的第三項(xiàng)光量子特性來(lái)進(jìn)行轉(zhuǎn)換，得到電子從m能級(jí)躍遷至n能級(jí)(按經(jīng)驗(yàn)公式只能做這樣描述)所釋放的光子能量計(jì)算如下：

由于氫原子中電子與原子核之間的靜電相互作用勢(shì)能在軌道半徑為無(wú)窮大時(shí)為零，如今考量體系的自恰性，即在n→∞情形下有En→0，那么上式就要改成下列關(guān)系式：

(12)

式(12)中的氫原子的能級(jí)n的能量為

(13)

如將式(9)代入式(13)并取最小能級(jí)n=1，可算得氫原子的基態(tài)能量

將上式計(jì)算結(jié)果代回到式(13)就得到玻爾氫原子模型的能級(jí)公式如下：

(n=正整數(shù))

(14)

式(14)說(shuō)明n=1的電子軌道最接近原子核，其半徑最小，是能量最低的能級(jí)，稱為基態(tài)；n值越大的軌道，離原子核越遠(yuǎn)，半徑越大，能級(jí)的能量越高，這是因電子接受外加能量而改變自身狀態(tài)，稱為激發(fā)態(tài)，也就是氫原子處在正常狀態(tài)時(shí)，在能級(jí)上的電子不產(chǎn)生光譜，只有在電子躍遷時(shí)才發(fā)生能級(jí)變化而發(fā)射或吸收光譜。當(dāng)中如電子由較高能級(jí)降回較低能級(jí)之能量，會(huì)放出光子能量，形成發(fā)射光譜；反之則是吸收光譜，這里要特別注意，前述能量變化須遵守式(12)規(guī)律以解釋氫原子光譜，換言之，能量變化是離散的，這導(dǎo)致發(fā)射或吸收呈現(xiàn)不連續(xù)譜線。

8 結(jié)語(yǔ)

論證推導(dǎo)至此，完全用不同量綱分析手法、自恰性與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，就完成從單純波長(zhǎng)數(shù)據(jù)一路到證得玻爾模型能級(jí)公式的征程，前后都沒(méi)用玻爾理論的結(jié)果來(lái)決定量綱分析過(guò)程產(chǎn)生的待定系數(shù)(這是必須的)，全程完全獨(dú)立于玻爾模型(否則就犯了如同用余弦定理證明勾股定理的錯(cuò)誤)，并展現(xiàn)迥異于玻爾模型的物理圖像。

如果針對(duì)原子物理想多做量綱分析方面練習(xí)，可參考文獻(xiàn)[7]之類的資源，方法其實(shí)是容易學(xué)的，然而難點(diǎn)通常是不知怎么應(yīng)用。主要原因是做練習(xí)時(shí)，題目是人家設(shè)定好的特定對(duì)象，反倒是當(dāng)自己面對(duì)真實(shí)課題時(shí)，連如何選對(duì)象、怎么找相關(guān)物理量都會(huì)覺(jué)得無(wú)從下手，心一慌就忘了許多物理發(fā)現(xiàn)其實(shí)是從“猜”開(kāi)始的，其中有名又有意思的例子，當(dāng)屬費(fèi)曼在其諾貝爾獎(jiǎng)演講[8]里提到他與德國(guó)教授Herbert Jehle討論一篇狄拉克的論文，費(fèi)曼根據(jù)對(duì)狄拉克表達(dá)意思的猜想，居然當(dāng)場(chǎng)用拉格朗日力學(xué)的作用量推出了薛定諤方程式，瞬時(shí)讓Jehle教授瞠目結(jié)舌并趕緊抄錄筆記?！安隆弊衷E自有其物理史淵源，實(shí)際問(wèn)題的量綱分析也不例外，本文也適度保留“猜”的原味，但不是亂猜，要有所本，也不一定要讓自己信服，就是拿出行動(dòng)做做看，有時(shí)歪打誤撞給蒙到也說(shuō)不定。又由于量綱分析的數(shù)學(xué)模型本身是有局限的、不徹底的，因此必須用實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)、物理特性與物理圖像交叉核實(shí)，總之，應(yīng)該是由物理特性與物理圖像來(lái)主導(dǎo)整個(gè)量綱分析，而非遷就于量綱分析的方法論，這是本文嘗試呈現(xiàn)的另一個(gè)補(bǔ)充概念。希望借由此一整體連貫的量綱分析，凸顯出一般書(shū)籍對(duì)量綱分析沒(méi)能傳達(dá)的重點(diǎn)與知識(shí)，而不是止步于方法規(guī)范與公式推算。