賈光一 劉玉環(huán) 張靖雯 龔 潔 霍亦琦
(天津商業(yè)大學(xué)理學(xué)院,天津 300134)
大學(xué)所學(xué)的數(shù)學(xué)方法不只是一種工具,還應(yīng)該是對自然規(guī)律、物理現(xiàn)象的歸納與概括,更應(yīng)該是一種對科學(xué)思維的訓(xùn)練。但是對于物理教師來說,將數(shù)學(xué)方法融入物理教學(xué)中并不是一件容易的事。要想實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)方法助益于物理教學(xué)的目的,需要搞清楚物理學(xué)中的數(shù)學(xué)與純數(shù)學(xué)的不同、學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和物理的認(rèn)知過程,需要在教學(xué)過程中幫助學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)方法在物理學(xué)中的意義建構(gòu),從而將數(shù)學(xué)方法合理地融入而非簡單地加入進(jìn)物理教學(xué)中。
案例1: 調(diào)查對象:大學(xué)一年級(jí)第二學(xué)期數(shù)學(xué)和物理學(xué)專業(yè)本科生;調(diào)查方式:問卷調(diào)查。
問題: 請根據(jù)函數(shù)E(x,y,z)=1/(4πε0)·Q/(x2+y2+z2)給出E(r,θ,φ)的表達(dá)式。
我們發(fā)現(xiàn),物理學(xué)專業(yè)的很多學(xué)生會(huì)直接給出E=1/(4πε0)·Q/r2(A同學(xué));對于數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生,有人會(huì)給出E=1/(4πε0)·Q/[(rsinθcosφ)2+ (rsinθsinφ)2+(rcosθ)2]=1/(4πε0)·Q/r2(B同學(xué)),也有同學(xué)會(huì)給出E=1/(4πε0)·Q/(r2+θ2+φ2)(C同學(xué))。盡管A同學(xué)和B同學(xué)得到的最終結(jié)果是一樣的,但經(jīng)過詢問得知,A同學(xué)認(rèn)為,題目中的公式可以理解為位于坐標(biāo)原點(diǎn)位置處點(diǎn)電荷Q在空間某位置電場強(qiáng)度E的計(jì)算公式,E只與距離r有關(guān)。
該案例說明,物理學(xué)專業(yè)的學(xué)生在解決問題時(shí)通常賦予數(shù)學(xué)符號(hào)于物理意義,看到公式后認(rèn)為E和Q分別表示電場強(qiáng)度和電荷量,所以會(huì)直接給出E和r的物理關(guān)系;數(shù)學(xué)專業(yè)的B同學(xué)在解決問題時(shí)采用的是邏輯推斷,想到的是直角坐標(biāo)系與球坐標(biāo)系之間的對應(yīng)關(guān)系,通過坐標(biāo)變換得到E和r的數(shù)學(xué)關(guān)系;數(shù)學(xué)專業(yè)的C同學(xué)認(rèn)為x,y,z以及r,θ,φ均為虛擬變量,是互相獨(dú)立的、不具有任何物理意義的數(shù)學(xué)變量,所以會(huì)在函數(shù)關(guān)系中直接進(jìn)行數(shù)學(xué)符號(hào)的替換。
除了對數(shù)學(xué)字母或符號(hào)的認(rèn)識(shí)不同,數(shù)學(xué)和物理在正負(fù)號(hào)的分析上也會(huì)大不一樣。在實(shí)數(shù)范圍內(nèi),數(shù)學(xué)中一般認(rèn)為正數(shù)大于負(fù)數(shù),但是在不同的物理問題中正負(fù)號(hào)有著不同的物理意義,而不是用來表示數(shù)值大小,例如,力、位移、電場強(qiáng)度等物理矢量,其正負(fù)號(hào)的變化僅意味著它們的方向與事先選定的坐標(biāo)軸正方向相同或相反;在熱量前面加正負(fù)號(hào)是為了區(qū)分一個(gè)熱力學(xué)系統(tǒng)從外界吸收熱量還是向外界釋放熱量;在法拉第電磁感應(yīng)定律ε=-dΦ/dt中,負(fù)號(hào)表示感應(yīng)電動(dòng)勢ε總是與磁通量Φ變化的方向相反等。
此外,數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)者與物理學(xué)習(xí)者還會(huì)對函數(shù)的概念及其表示方式存在差異。比如,在數(shù)學(xué)中z=xy說明y與x成反比,y與z成正比;然而在物理學(xué)中F=qE的函數(shù)關(guān)系中,電場強(qiáng)度E是由電場本身的性質(zhì)所決定的,與試探電荷q無關(guān),所以不能認(rèn)為E與q成反比、E與F成正比;又比如彈簧的彈力F和彈簧的形變量x成正比,即F=-kx,但k是彈簧的勁度系數(shù),只由材料的性質(zhì)所決定,不與x成反比;類似的還有物質(zhì)的吸熱量Q與比熱容c之間的函數(shù)關(guān)系Q=cmΔT、導(dǎo)體兩端的電壓U與電阻R之間的關(guān)系U=IR,c與R均由物質(zhì)本身的性質(zhì)所決定,與其他變量無關(guān)。如果我們在等號(hào)左側(cè)加上括號(hào)和自變量,比如Q(m,ΔT)=cmΔT,那么數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)者也會(huì)認(rèn)識(shí)到c與其他變量無關(guān),但在物理表述中,我們并不需要這么麻煩。
這些簡單的實(shí)例說明,數(shù)學(xué)方法在物理學(xué)的運(yùn)用中通常被賦予了特定的物理意義,從而助益于物理的表述與計(jì)算。但這并不意味著物理學(xué)習(xí)者就一定能看到數(shù)學(xué)符號(hào)所隱含的物理意義,如上文提到的部分物理學(xué)專業(yè)的學(xué)生不清楚行列式與矩陣在物理學(xué)中有何應(yīng)用。
意義建構(gòu)是學(xué)習(xí)過程的最終目標(biāo)[3]。數(shù)學(xué)方法在物理學(xué)中的意義建構(gòu)就是要幫助學(xué)生對所學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)方法與物理現(xiàn)象、自然規(guī)律之間的內(nèi)在聯(lián)系達(dá)到較深刻的理解。數(shù)學(xué)能夠簡潔準(zhǔn)確地表達(dá)物理概念與規(guī)律說明其為物理的一種語言,“如何運(yùn)用數(shù)學(xué)語言在物理學(xué)中建構(gòu)物理意義”好比人們“如何通過生活語言在人類活動(dòng)中發(fā)現(xiàn)認(rèn)知規(guī)律”。興起于20世紀(jì)末的認(rèn)知語義學(xué)在研究語言和人類認(rèn)知世界之間的關(guān)系時(shí)提出了具身體驗(yàn)、百科觀、語境等認(rèn)知機(jī)制[4],通過大學(xué)物理的教學(xué)與研究,我們發(fā)現(xiàn),語言和人類認(rèn)知世界之間的這些認(rèn)知機(jī)制可以很好地映合到數(shù)學(xué)和物理規(guī)律認(rèn)知的過程之中。
具身體驗(yàn)強(qiáng)調(diào)通過身體結(jié)構(gòu)、活動(dòng)方式及其與環(huán)境的互動(dòng)體驗(yàn)而形成認(rèn)知[5]。語言中的“喜”“怒”“哀”“樂”可以通過人體的面部表情來認(rèn)知,嬰幼兒可以通過觀察、觸摸實(shí)物等方式來認(rèn)識(shí)“皮球”“水”“水杯”等語義。通過具身體驗(yàn)在物理學(xué)中認(rèn)知數(shù)學(xué)方法的物理意義,我們主要強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)和物理之間的推理與類比,它不同于物理實(shí)驗(yàn)。通過物理實(shí)驗(yàn)活動(dòng)認(rèn)知物理現(xiàn)象,強(qiáng)調(diào)的是具身體驗(yàn)在物理科學(xué)與自然世界之間的相互作用。
表1 數(shù)學(xué)中的等差數(shù)列與物理中的勻變速直線運(yùn)動(dòng)公式
認(rèn)知語言學(xué)家Evans和Green明確提出意義表征具有百科性[4]。語義根植于語言使用者的百科知識(shí)體系中,應(yīng)從使用者的認(rèn)知結(jié)構(gòu)、社會(huì)-文化背景知識(shí)等方面進(jìn)行多維描述;反之,語義的理解也取決于語言接受者的認(rèn)知結(jié)構(gòu)、背景知識(shí)等[6]。同理,數(shù)學(xué)方法的意義建構(gòu)根植于數(shù)學(xué)“語言”使用者或接受者的百科體系中,使用者或接受者的認(rèn)知結(jié)構(gòu)、社會(huì)-文化背景知識(shí)等方面的差異可能會(huì)令使用者或接受者為數(shù)學(xué)“語言”建構(gòu)不同的物理意義,且建構(gòu)過程是一個(gè)百科知識(shí)動(dòng)態(tài)應(yīng)用的過程。在下面的案例中,我們可以看到,對于同一個(gè)物理問題,不同的學(xué)生會(huì)采用不同的數(shù)學(xué)“語言”進(jìn)行思考解答,反映出學(xué)生們認(rèn)知結(jié)構(gòu)、背景知識(shí)的差異性和百科性。
案例2: 調(diào)查對象:剛修完大學(xué)一年級(jí)第一學(xué)期課程的物理學(xué)專業(yè)本科生;調(diào)查方式:問答。
問題: 質(zhì)量為M的物體在水平方向上與勁度系數(shù)為k的彈簧組成振子,以M的自然平衡位置O為坐標(biāo)軸原點(diǎn),若物體M在水平方向由原點(diǎn)移動(dòng)至x位置處,如何求彈力對M做的功W?
B同學(xué): 首先需要外力對這個(gè)系統(tǒng)做功,物體的機(jī)械能不變,外力做的功轉(zhuǎn)化為彈簧的彈性勢能,外力拉物體,對物體做功,彈簧又對物體做負(fù)功,彈簧對物體做的功的負(fù)值就等于外力做的功,外力做的功的值等于彈簧的彈性勢能,等于1/2kx2。
C同學(xué): 彈力F=kx,那么W=Fx=kx2。但是M初始狀態(tài)是在平衡位置,要想移動(dòng)至x位置應(yīng)該還得有拉力,看題意摩擦力應(yīng)該是被忽略的,這樣解好像有點(diǎn)簡單了,所以我不太敢確定。(停頓)Ma=kx,W=1/2Mv2這樣解出來是總的功,老師我覺得我還得再想想,或者老師能不能給些提示?(老師:考慮力和力的方向上的位移,拉力與解題無關(guān),想一下高等數(shù)學(xué)里的積分。)F=kx,W=力對位移的積分=1/2kx2。
E同學(xué): 可不可以直接用F-x圖像,求面積就是做的功呀?(停頓)結(jié)果是1/2kx2?(老師:這么不自信?怎么求的?)(學(xué)生給出了下面的示意圖,并問到:“我感覺這樣也太容易就算出來了呀,所以,我對了嗎?”)(老師:少了一個(gè)符號(hào)。)啥符號(hào)?(老師:負(fù)號(hào)。)對呦,負(fù)功。
圖1 E同學(xué)所建構(gòu)的數(shù)學(xué)“語言”:求三角形的面積就是彈力對M做的功
人的大腦中儲(chǔ)存了大量有關(guān)認(rèn)知事物的百科知識(shí),但在特定時(shí)間、特定語境下,認(rèn)知者只能想到有限的相關(guān)知識(shí),例如,案例2中出現(xiàn)的各種知識(shí)概念,5位同學(xué)都學(xué)習(xí)過,但每個(gè)人想到的知識(shí)結(jié)構(gòu)不同,當(dāng)然,他們的知識(shí)結(jié)構(gòu)并非是固定不變的,在老師的提示下,學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)會(huì)發(fā)生遷移。認(rèn)知語義學(xué)認(rèn)為, 在外部刺激源如何被個(gè)體所認(rèn)知的過程中,語境至關(guān)重要[4],我們認(rèn)為,在物理教學(xué)過程中亦是如此。在案例2中,學(xué)生們在聯(lián)想外力時(shí)為什么會(huì)認(rèn)為是“拉力”而不是“推力”(x完全可以是負(fù)值)?如果我們將問題中的“若物體M在水平方向由原點(diǎn)移動(dòng)至x位置處”改為“若物體M在水平方向由x位置處移動(dòng)至原點(diǎn)”,學(xué)生們是否還一定會(huì)想到“拉力”?再假設(shè),如果我們不問學(xué)生們問題,只簡單地給出一句陳述性描述“若物體M在水平方向由原點(diǎn)移動(dòng)至x位置處”,學(xué)生們是否還會(huì)潛意識(shí)里認(rèn)為x是正值?這說明,不同的語境線索會(huì)使學(xué)生對數(shù)學(xué)符號(hào)“x”產(chǎn)生不同的物理印象,但這種印象不一定是準(zhǔn)確的。
數(shù)學(xué)方法在物理教學(xué)中的意義建構(gòu)一般會(huì)涉及到4種基本的認(rèn)知資源[7,8]:(1)計(jì)算 (Calculation):在算法上不附加任何物理解釋地進(jìn)行一系列的數(shù)學(xué)計(jì)算而得到認(rèn)為可信的結(jié)果。比如,老師在從d2h/dt2=-g推導(dǎo)出h=h0+v0t-1/2gt2的過程中可能不給學(xué)生講解其中的任何物理過程,讓學(xué)生們認(rèn)為數(shù)學(xué)推導(dǎo)步驟是對的,所以結(jié)果也是可信的。(2)物理圖像(Physical mapping):一個(gè)簡單的數(shù)學(xué)符號(hào)或幾何模型可以豐富地表征物理意義。比如,彈力F=-kx中的負(fù)號(hào)可以通過一種物理圖像“彈簧回復(fù)力的方向與振子位移的方向相反”得到解釋,而無需進(jìn)行任何數(shù)學(xué)上的證明。(3)權(quán)威 (Invoking authority):通過權(quán)威性知識(shí)讓學(xué)生信服。比如,老師在講解轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的相關(guān)知識(shí)時(shí),讓學(xué)生們直接看教材某頁的某個(gè)表格,告訴學(xué)生實(shí)心球體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I=2/5mR2,圓盤繞中心轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I=1/2mR2…。(4)數(shù)學(xué)上的一致性 (Mathematical consistency):數(shù)學(xué)方法具有一定規(guī)律性和可信性,對于不同的物理問題,背后隱藏的數(shù)學(xué)原理可能是一致的。比如,老師在講解兩個(gè)點(diǎn)電荷之間的庫侖力 時(shí),可能會(huì)提醒學(xué)生萬有引力并解釋兩者之間的相似性,通過建立某種普適的數(shù)學(xué)原理讓學(xué)生相信物理問題之間的相關(guān)性。
在對數(shù)學(xué)方法進(jìn)行物理意義建構(gòu)的過程中,還可能會(huì)受到學(xué)生經(jīng)驗(yàn)直覺和主觀情感的影響,而且在教學(xué)過程中,學(xué)生的認(rèn)識(shí)論和意義建構(gòu)是一個(gè)動(dòng)態(tài)過程。Gupta和Elby的案例研究可以很好地說明學(xué)生的認(rèn)識(shí)論和意義建構(gòu)是如何受經(jīng)驗(yàn)直覺和情感的影響而動(dòng)態(tài)變化的[9]。
案例3: 老師問了工程系剛開始學(xué)習(xí)物理課程的一名學(xué)生Jim一個(gè)有關(guān)水面下壓強(qiáng)的問題。老師先給Jim一個(gè)表達(dá)式P=P0+ρgh,并在確認(rèn)Jim沒有見過該表達(dá)式的前提下,告訴JimP0和P分別表示水面位置處和水面下深度為h處的壓強(qiáng),ρ和g分別為水的密度和重力加速度。然后讓Jim根據(jù)公式判斷水面下5m和7m位置處,哪個(gè)深度處的壓強(qiáng)大,或者是否相等?Jim認(rèn)為,從水面向下的方向應(yīng)為坐標(biāo)軸的負(fù)方向,所以h值均為負(fù)數(shù),然后,Jim就陷入了各種猶豫、困惑和難以抉擇,因?yàn)樗l(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)計(jì)算的結(jié)果是水面下5m位置處的壓強(qiáng)比7m位置處的大,但經(jīng)驗(yàn)直覺又讓他難以置信。后來老師提示Jim注意g的方向,然后Jim才明白g方向向下,所以也應(yīng)該取負(fù)值,最后終于茅塞頓開。在隨后的交談中,Jim告訴老師,如果是在考試中,他可能會(huì)相信數(shù)學(xué)計(jì)算的結(jié)果而不是自己的經(jīng)驗(yàn)直覺,因?yàn)镴im認(rèn)為有時(shí)候人的直覺并不一定準(zhǔn)確,可能會(huì)與自己所不知道的事實(shí)或者理論相悖。
圖2(a)和(b)分別總結(jié)了Jim在難以抉擇中和糾正錯(cuò)誤后被激活的認(rèn)知元素與思維活動(dòng)??梢钥闯?,Jim在難以抉擇中用權(quán)威知識(shí)(老師給的壓強(qiáng)計(jì)算公式)和數(shù)學(xué)計(jì)算建構(gòu)的知識(shí)抑制住了自己從經(jīng)驗(yàn)直覺中建構(gòu)的知識(shí),但又感到非常的“不安”和難以置信。后來在老師的提示下,Jim的經(jīng)驗(yàn)直覺與計(jì)算和權(quán)威知識(shí)達(dá)到了一致,“不安”感得以消除。老師的語境線索使Jim從某一種認(rèn)識(shí)論轉(zhuǎn)移到了另一種認(rèn)識(shí)論。
圖2 Jim在(a)難以抉擇中和(b)糾正錯(cuò)誤后被激活的認(rèn)知元素(實(shí)線橢圓)與思維活動(dòng)(點(diǎn)虛線橢圓),虛線橢圓表示控制元素,箭頭和實(shí)圓點(diǎn)分別表示激活和未被激活的認(rèn)知元素、思維活動(dòng)、控制元素之間的關(guān)系,灰色表示被抑制
通過上述分析我們意識(shí)到,老師在教學(xué)過程中需要學(xué)會(huì)采用合適的語境引導(dǎo)學(xué)生在物理學(xué)中建構(gòu)數(shù)學(xué)方法的物理意義。在案例2中,為什么高等數(shù)學(xué)中的微積分與物理學(xué)中的力學(xué)在同一個(gè)學(xué)期開設(shè)學(xué)習(xí)課程,但課程結(jié)束后,有些學(xué)生還停留在使用高中的知識(shí)處理物理問題?這說明他們?nèi)砸暩咧兄R(shí)為“母語”而微積分為“外語”,幫助學(xué)生將高等數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化為大學(xué)物理中的“母語”,需要高校教師在教學(xué)過程中通過合理的語境引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建高等數(shù)學(xué)在大學(xué)物理中的意義,通過熟能生巧,讓學(xué)生像“看到(x,y,z)就想到直角坐標(biāo)系”一樣找到數(shù)學(xué)方法在物理學(xué)中的應(yīng)用,通過語境線索豐富學(xué)生的認(rèn)識(shí)論與資源框架。
本文通過分析物理學(xué)中的數(shù)學(xué)與純數(shù)學(xué)的不同,并將“數(shù)學(xué)之于物理”與“語言之于生活”進(jìn)行類比發(fā)現(xiàn),認(rèn)知語義學(xué)在研究語言和人類認(rèn)知世界之間的關(guān)系時(shí)提出的具身體驗(yàn)、百科觀、語境等認(rèn)知機(jī)制,可以很好地應(yīng)用于分析和發(fā)現(xiàn)大學(xué)生學(xué)習(xí)物理的認(rèn)知過程以及數(shù)學(xué)方法在融入物理教學(xué)過程中存在的問題。案例分析亦表明,目前盡管大學(xué)教學(xué)中已經(jīng)開設(shè)了很多有關(guān)高等數(shù)學(xué)的課程,但很多學(xué)生并不能在學(xué)到的數(shù)學(xué)方法與物理知識(shí)之間建立某種聯(lián)系或做到知識(shí)的遷移。因此,在大學(xué)教學(xué)過程中,教師除了單純地傳授知識(shí)外,還應(yīng)該多了解學(xué)生的學(xué)習(xí)狀態(tài),根據(jù)學(xué)生的百科知識(shí),采用恰當(dāng)?shù)恼Z境線索激發(fā)學(xué)生多樣的認(rèn)識(shí)論資源,通過推理與類比等具身體驗(yàn),幫助學(xué)生自主學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)方法在物理學(xué)中的意義建構(gòu)與應(yīng)用。