導(dǎo)數(shù)的復(fù)習(xí)

靖晶 陳艷寶

高考中導(dǎo)數(shù)問題可謂是學(xué)生拉開區(qū)分度的分水嶺.而含參的單調(diào)性的討論問題是重中之重.單調(diào)性的問題討論清楚了，那么極值最值等問題就可迎刃而解.

利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的依據(jù)：在定義域范圍內(nèi)，由導(dǎo)數(shù)大于0解得的x的區(qū)間為函數(shù)的增區(qū)間;由導(dǎo)數(shù)小于0解得的x的區(qū)間為函數(shù)的減區(qū)間.

常見的分類標(biāo)準(zhǔn)有哪些呢？一般的含參的函數(shù)單調(diào)性的討論常見的分類標(biāo)準(zhǔn)有：

1.函數(shù)類型;2.開口方向;3.判別式;4.導(dǎo)數(shù)等于0有根無根;5.兩根大小;6.極值點是否在定義域內(nèi).

通過以下兩個例題進(jìn)行說明.

例1 討論函數(shù)f（x）=x-1x-alnx（a∈R）的單調(diào)性.

分析 根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號得函數(shù)在相應(yīng)區(qū)間上的單調(diào)性，先進(jìn)行求導(dǎo).

函數(shù)的定義域為（0，+∞），f′（x）=x2-ax+1x2分母是恒正的，只需看分子的符號.由f′（x）=0得x2-ax+1=0.一元二次方程有根無根需看判別式.故而確定了第一個分類討論的原因：二次函數(shù)的判別式.當(dāng)Δ>0時，a>2或a<-2，方程有兩個不等實根.是否需要進(jìn)一步討論呢？可以發(fā)現(xiàn)此時分子為零的兩根記為x1，x2，x1+x2=a，x1x2=1>0，而定義域為（0，+∞），方程的兩根符號與a相同，故而確定第二個分類討論的標(biāo)準(zhǔn)：方程的根是否在定義域內(nèi).

1.先求出函數(shù)的定義域，再求出導(dǎo)函數(shù)，有分母要通分，能因式分解要分解徹底;

2.若導(dǎo)函數(shù)帶分母，通分因式分解徹底后，判斷導(dǎo)數(shù)分子最高次項系數(shù)是否含有參數(shù)，有可以討論該參數(shù)得0和不得0，最高次項系數(shù)是否為0影響的是函數(shù)的類型;

3.判斷導(dǎo)數(shù)等于0是否有根，導(dǎo)數(shù)等于0得到的方程若為一元二次方程，可判斷其判別式的符號：當(dāng)判別式小于等于0時，若二次項系數(shù)為正，則導(dǎo)數(shù)恒大于等于0，函數(shù)在定義域內(nèi)為增函數(shù)，若二次項系數(shù)為負(fù)，則導(dǎo)數(shù)恒小于等于0，函數(shù)在定義域內(nèi)為減函數(shù);當(dāng)判別式大于0時，可以結(jié)合韋達(dá)定理分析導(dǎo)數(shù)等于0的兩根與定義域的關(guān)系，確定單調(diào)區(qū)間;

4.導(dǎo)數(shù)等于0得到的方程不是二次函數(shù)時，根據(jù)方程的特點判斷有根無根，若有根，再判斷其與定義域的關(guān)系，若根在定義域內(nèi)，則根為極值點，再判斷定義域內(nèi)極值點分成的各段區(qū)間導(dǎo)數(shù)的正負(fù)從而得到函數(shù)的單調(diào)性;

5.若導(dǎo)數(shù)等于0，方程有兩個根且均在定義域內(nèi)，當(dāng)兩根大小不確定時，可通過比較兩根大小確定討論的分界點.

【參考文獻(xiàn)】

[1]余小芬，劉成龍.對2016年四川卷高考理科10題的研究[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究（江西），2016（1）：12-16.