初中數(shù)學(xué)“銳角三角比”的常見應(yīng)用及教學(xué)策略淺析

徐金

【摘要】近幾年上海中考數(shù)學(xué)試卷中動(dòng)態(tài)幾何問題出現(xiàn)比重越來越大，并且在動(dòng)態(tài)幾何問題中出現(xiàn)一種新題型，即在圖形的變換過程中，探究圖形中某些不變因素，它把操作、觀察、探求、計(jì)算和證明融合在一起.筆者通過對上海2007—2016年共10年中考數(shù)學(xué)試卷統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)，銳角三角比在應(yīng)用題、等腰三角形、二次函數(shù)、圓中出現(xiàn)的次數(shù)分別為5次、5次、10次、6次，并通過分析中考題中銳角三角比在上述四方面的應(yīng)用，與讀者一同探索未來上海中考出題的動(dòng)向和策略.

【關(guān)鍵詞】銳角三角比;等腰三角形;二次函數(shù);圓;動(dòng)態(tài)幾何學(xué)

一、初中數(shù)學(xué)“銳角三角比”的意義和要求

銳角三角比是初中數(shù)學(xué)課程內(nèi)容“圖形與幾何”部分的一個(gè)重要的內(nèi)容.它對初中課程中的直角三角形、相似三角形、解直角三角形以及高中課程中三角函數(shù)有著承上啟下的作用.銳角三角比則是直角三角形中的邊角關(guān)系的研究.對于三角形中的邊角關(guān)系，學(xué)生并不是初次接觸，七年級時(shí)學(xué)生學(xué)習(xí)了“三角形中大邊對大角”這樣的邊角關(guān)系的定性表達(dá)，而銳角三角比就是在特殊的三角形（直角三角形）中對于邊角關(guān)系的定量研究.在相似三角形中，主要是橫向研究兩個(gè)三角形對應(yīng)邊的比的不變性.在銳角三角比中，主要從定量方面研究在形狀確定的前提下，一個(gè)直角三角形中任意兩邊的比的不變性.這樣的研究線索更加清晰地體現(xiàn)了角度和邊之間的相互變化關(guān)系，引入銳角三角比后，能夠清晰體現(xiàn)出直角三角形中的邊和角之間的相互依賴關(guān)系，有了這種關(guān)系，就能解決生活實(shí)際中的許多問題，如測量物體的高、測量兩點(diǎn)的距離、有關(guān)斜坡的計(jì)算、工程設(shè)計(jì)中的計(jì)算，等等.

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2016年版）》（以下簡稱《課標(biāo)》）中指出：1.會利用圖形的相似解決一些簡單的實(shí)際問題.2.利用相似的直角三角形，探索并認(rèn)識銳角三角函數(shù)（sinA，cosA，tanA），知道30°，45°，60°角的三角函數(shù)值.3.由已知三角函數(shù)值求它的對應(yīng)銳角.4.能用銳角三角函數(shù)解直角三角形，能用相關(guān)知識解決一些簡單的實(shí)際問題.由《課標(biāo)》可見，初中數(shù)學(xué)中對銳角三角比的應(yīng)用還是比較簡單的，只要求對特殊三角比熟記，會利用銳角三角函數(shù)解直角三角形或者是特殊的等腰三角形和四邊形.而在高中數(shù)學(xué)中對三角函數(shù)的學(xué)習(xí)將會拓展很多，從銳角發(fā)展到任意角，從簡單的三角函數(shù)的定義拓展到兩個(gè)角之間的和、差、積、商的三角函數(shù)的一系列公式，從直角三角形中銳角三角比的定義拓展到一般三角形中的正弦定理、余弦定理，從初中的簡單三角比運(yùn)算拓展到圓錐方程、空間向量的計(jì)算及在其他一些復(fù)雜題中的求解或證明或在綜合問題上的運(yùn)用.可以說銳角三角比是相似三角形的一種應(yīng)用的延伸，學(xué)生如果能夠熟練掌握銳角三角比，對拓展思路和解題速度是個(gè)很大的提高，也是對即將進(jìn)入高中學(xué)習(xí)三角函數(shù)的鋪墊，重要性不言而喻.

二、初中數(shù)學(xué)“銳角三角比”的四種常見應(yīng)用

（一）十年上海中考“銳角三角比”的考點(diǎn)分析

從統(tǒng)計(jì)表中可以發(fā)現(xiàn)，上海2007—2016年中考中，銳角三角比主要出現(xiàn)在等腰三角形、函數(shù)、圓、生活中的應(yīng)用等題型中，其中四種題型中出現(xiàn)的次數(shù)分別為5次、10次、6次、5次，并且總分呈遞增趨勢，2016年達(dá)到峰值.下文，筆者就從這四方面通過例題淺談利用銳角三角比解題過程中在思路和計(jì)算方面的一些巧用.

（二）銳角三角比在上海中考中的四種常見類型

1.圓中的銳角三角比

此題是以圓為背景，綜合考查相似三角形、銳角三角比、兩圓的位置關(guān)系、方程思想、函數(shù)思想、轉(zhuǎn)化思想等數(shù)學(xué)知識與數(shù)學(xué)思想，綜合性較強(qiáng).比較以上兩種方法，方法一學(xué)生比較容易想到，但是計(jì)算量比較大，在中考特殊的環(huán)境中，增加計(jì)算錯(cuò)誤的風(fēng)險(xiǎn)，耗時(shí)耗力.而方法二通過觀察特殊的三角比，得到第三邊的比，迅速解一元一次方程，快速簡潔，甚是很妙的方法.初三數(shù)學(xué)一線教師，應(yīng)多從題型中發(fā)現(xiàn)聯(lián)系，多講解此種題型，讓學(xué)生切身體會兩種方法的優(yōu)劣，這樣往往可以起到事半功倍的效果.

2.函數(shù)中的銳角三角比

本題是2008年上海中考題，該題是以平面直角坐標(biāo)系、二次函數(shù)為平臺，考查了坐標(biāo)幾何、銳角三角比、代數(shù)方程、數(shù)形結(jié)合法、分類討論等知識.解題的巧妙之處在于利用點(diǎn)C的坐標(biāo)點(diǎn)迅速求出角C的銳角三角比，利用比例式迅速求出兩種情況下點(diǎn)D的坐標(biāo)，思路簡潔，過程明晰.如果學(xué)生選用一次方程和圖中的二次方程聯(lián)立求解，計(jì)算煩瑣，很容易算錯(cuò).筆者發(fā)現(xiàn)上海近10年中考中，函數(shù)題主要是二次函數(shù)試題出現(xiàn)了10次，基本上可以作為固定試題，學(xué)生在解這類題是比較容易想到代數(shù)方法，在這點(diǎn)上任課教師就應(yīng)多探索多總結(jié)規(guī)律，幫助學(xué)生多用幾何方法，尤其是三角比去解題.筆者相信，只要典型例題重點(diǎn)分析，學(xué)生會熱愛這種方法，同時(shí)對學(xué)生解答最后一道壓軸題起到映射作用.

3.中考應(yīng)用題中的銳角三角比

某地下車庫出口處“兩段式欄桿”如圖4所示，點(diǎn)A是欄桿轉(zhuǎn)動(dòng)的支點(diǎn)，點(diǎn)E是欄桿兩段的連接點(diǎn).當(dāng)車輛經(jīng)過時(shí)，欄桿AEF升起后的位置如圖5所示，其示意圖如圖6所示，其中AB⊥BC，EF∥BC，∠EAB=143°，AB=AE=1.2米，求當(dāng)車輛經(jīng)過時(shí)，欄桿EF段距離地面的高度（即直線EF上任意一點(diǎn)到直線BC的距離）.（結(jié)果精確到0.1米，欄桿寬度忽略不計(jì)參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75.）

本題是上海2013年中考題，從實(shí)際生活中來源的一道很好的中考題，該題雖然綜合性不強(qiáng)，但學(xué)生對“實(shí)際問題”心存恐懼，加之通過實(shí)際問題迅速轉(zhuǎn)為數(shù)學(xué)問題，迅速作出相應(yīng)的輔助線，構(gòu)造直角三角形，合理利用相應(yīng)三角比時(shí)學(xué)生還是存在一定困難，或是由于代錯(cuò)數(shù)據(jù)，導(dǎo)致出現(xiàn)一些錯(cuò)誤.要想順利、巧妙解決這類題型，教師首先要了解學(xué)生，根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況引導(dǎo)他們逐步分析，積累經(jīng)驗(yàn).這一過程教師不可操之過急，一定要留給學(xué)生獨(dú)立思考的時(shí)間，看清楚，想明白了，就可以正確解題.在上課時(shí)，根據(jù)學(xué)生的情況，教師多抽查學(xué)生是否熟悉四種銳角三角比公式，只要多練習(xí)該種題型還是比較容易解答出來的.

4.等腰三角形中的銳角三角比

通過統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)近10中考中解等腰三角形題出現(xiàn)了6次，并且在平時(shí)的一模和二模考中也經(jīng)常出現(xiàn)，是要求學(xué)生必須掌握的一種題型.這是上海閘北區(qū)2016年一模題，考查學(xué)生圖形變換，分類討論的能力，有一定難度，該題圖形背景是結(jié)合梯形、三角形出的一種題，考查了圖形變換、相似三角形、代數(shù)方程、分類討論思想、轉(zhuǎn)化思想，一道很好的綜合題，對學(xué)生要求較高.此題就是巧妙運(yùn)用銳角三角比計(jì)算，迅速得到答案.在中考中，利用相似三角形、圖形運(yùn)動(dòng)、三角比問題是越來越常見.這也是近幾年上海中考壓軸題的一種趨勢，關(guān)鍵是掌握等腰三角形三種情況，巧妙利用等腰三角形底角或頂角三角比解題.解決這類問題時(shí)，教師一定要專題專講，多思考出題為何要出這種題，由果索因，多從題型深層次出發(fā)，切忌題海戰(zhàn)術(shù)，應(yīng)總結(jié)規(guī)律，強(qiáng)化學(xué)生，多想想還有其他方法嗎，拓展學(xué)生的思路，這樣多加訓(xùn)練，學(xué)生定會收益良多.

以上是筆者通過四道模考和中考題，對上海中考數(shù)學(xué)中出現(xiàn)的銳角三角比問題的探討.同時(shí)，筆者從教學(xué)實(shí)踐中認(rèn)識到，對于簡單綜合題，大多數(shù)學(xué)生來講往往訓(xùn)練有素，教師平時(shí)的講解也比較詳盡，因此學(xué)生在解題時(shí)比較得心應(yīng)手.而對于復(fù)雜綜合題，學(xué)生乃至教師感到最為棘手：一方面學(xué)生由于自身解題能力有限，從而在解題時(shí)往往捉襟見肘，同時(shí)許多學(xué)生對復(fù)雜綜合題還存在著畏難情緒.就教師本身而言，因自身教學(xué)方法的匱乏而感覺學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中不得要領(lǐng)，最終也只能以“題?！睉?zhàn)術(shù)來強(qiáng)化學(xué)生“理解”，希望所謂“熟讀唐詩三百首，不會作詩也會吟”的效果出現(xiàn).正因?yàn)槿绱?，所以師生共?zhàn)“題海”現(xiàn)象在復(fù)習(xí)階段特別明顯.盡管教師以一些“經(jīng)典”的，有層次、有坡度、大題量的練習(xí)方式增強(qiáng)了綜合題的覆蓋面并對學(xué)生解答綜合題有一定的強(qiáng)化與促進(jìn)作用，但學(xué)生在這種“地毯式”的轟炸下，常常疲于奔命，頭昏腦漲，處于一知半解的狀態(tài)，只會機(jī)械模仿.只有“舉一”之功，而無“反三”之力.因此，難以提高學(xué)生的應(yīng)變能力.

所以，筆者認(rèn)為與時(shí)俱進(jìn)地對現(xiàn)有教學(xué)知識點(diǎn)歸納總結(jié)與大膽突破是提高教學(xué)效率、解決教學(xué)瓶頸的最有效方法.而優(yōu)化并整合學(xué)生已經(jīng)熟練掌握的簡單綜合題解題技巧，另辟蹊徑地歸納和提升簡單綜合題的解法，比如在解答函數(shù)題時(shí)多用銳角三角比解題，不但能使學(xué)生經(jīng)歷和體驗(yàn)數(shù)學(xué)知識的創(chuàng)造和發(fā)展的過程，更可以有效地提高學(xué)生解復(fù)雜綜合題的能力.這也是筆者寫這篇文章的動(dòng)力和初衷.

（二）上海數(shù)學(xué)中考“銳角三角比”的特點(diǎn)分析

三、初中數(shù)學(xué)“銳角三角比”教學(xué)策略淺析

（一）重視基礎(chǔ)知識的理解、基本技能的訓(xùn)練、基本方法的掌握的教學(xué)

雖然，近兩年的數(shù)學(xué)中考一直在變，試題的新穎性、靈活性越來越強(qiáng)，但是近幾年來中考命題事實(shí)已明確告訴我們：基礎(chǔ)知識、基本技能、基本方法始終是中考數(shù)學(xué)試題考查的重點(diǎn).

（二）重視對數(shù)學(xué)思想的理解及運(yùn)用的教學(xué)

數(shù)學(xué)能力是學(xué)好數(shù)學(xué)的根本，主要表現(xiàn)為數(shù)學(xué)的思想方法.初中數(shù)學(xué)中最常見的思想方法有：分類、化歸、數(shù)形結(jié)合、猜想與歸納等.其中，數(shù)形結(jié)合思想、方程與函數(shù)思想、分類討論思想等幾乎是歷年中考試卷（包括外省市中考試題）考查的重點(diǎn)，必須引起足夠的重視.

1.分類討論思想：當(dāng)面臨的問題不宜用統(tǒng)一方法處理時(shí)，就得把問題按照一定的原則或標(biāo)準(zhǔn)分為若干類，然后逐類進(jìn)行討論，再把結(jié)論匯總，得出問題的答案.這種解決問題的方法就是分類討論的思維方法.

2.“化歸”是轉(zhuǎn)化和歸結(jié)的簡稱.我們在處理和解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，總的指導(dǎo)思想是把未知問題轉(zhuǎn)化為能夠解決的問題，這就是化歸思想.

3.數(shù)形結(jié)合思想：

本題考查用數(shù)形結(jié)合的思想，第3小問中，利用BC∥PD，得到tan∠OPC=tan∠OBC=23，利用幾何方法迅速得到t的值，華羅庚老先生也說：數(shù)無形時(shí)少直覺，形少數(shù)時(shí)難入微.在數(shù)學(xué)解題中由數(shù)思形，以形促數(shù)可以開辟多角度、多層次的解題思維途徑.從題目本身看，是“數(shù)”和“形”兩個(gè)方面，從學(xué)生能力角度看，則是要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和空間想象能力，而其中的銳角三角比往往起到“柳暗花明又一村”的效果.

近幾年上海市中考，對數(shù)學(xué)思想方法的考查常常會出現(xiàn)幾種思想方法的綜合運(yùn)用，上兩題其實(shí)也不是單純地考一種數(shù)學(xué)思想方法，而考查幾種思想方法的綜合運(yùn)用，其中最典型的題型是壓軸題.

此題起點(diǎn)不高，但要求較全面.是一道數(shù)與形、代數(shù)計(jì)算與幾何證明、相似三角形的判定與性質(zhì)、畫圖分析與列方程求解、勾股定理與函數(shù)、圓和三角比相結(jié)合的綜合性試題.同時(shí)，考查了初中數(shù)學(xué)中最重要的數(shù)學(xué)思想：數(shù)形結(jié)合的思想、分類討論的思想和幾何運(yùn)動(dòng)變化等數(shù)學(xué)思想.本題融入了動(dòng)態(tài)幾何的變和不變，對給定的圖形（或其一部分）施行某種位置變化，然后在新的圖形中分析有關(guān)圖形之間的關(guān)系.其特點(diǎn)是：注重考查學(xué)生的猜想、探索能力;解題靈活多變，能夠考查學(xué)生分析問題和解決問題的能力，有一定難度，但上手還是容易的.本題有三問，相當(dāng)于三個(gè)臺階，這種恰當(dāng)?shù)匿亯|給了考生較寬的入口，有利于考生正常水平的發(fā)揮.而通過層層設(shè)問，拾級而上，逐步深入，能夠使一部分優(yōu)秀學(xué)生數(shù)學(xué)水平得到體現(xiàn).

因此，在今后的數(shù)學(xué)教育教學(xué)中，化歸思想、方程與函數(shù)思想、數(shù)形結(jié)合的思想、分類討論的思想和幾何運(yùn)動(dòng)變化等數(shù)學(xué)思想的教學(xué)要重視要加強(qiáng)，而不是削弱.

（三）在沖刺階段教師更要重視學(xué)生情意因素的影響

學(xué)生的學(xué)習(xí)需要全部心理活動(dòng)的積極參與，而其中更需要情感、意志、求知欲、動(dòng)機(jī)等情意因素的參加.這些情意因素構(gòu)成個(gè)體從事學(xué)習(xí)的動(dòng)力系統(tǒng)，驅(qū)動(dòng)學(xué)生進(jìn)行積極的學(xué)習(xí)活動(dòng).在上述的情意因素中，動(dòng)機(jī)在情意系統(tǒng)中居于核心地位，它是個(gè)體學(xué)習(xí)動(dòng)力的主要來源，又是把各種動(dòng)力因素聯(lián)系在一起的紐帶，直接影響學(xué)生的學(xué)習(xí)行為.中考模擬考一結(jié)束，學(xué)生正處于學(xué)習(xí)疲勞階段，而又馬上要投入最后的沖刺階段，因此教師要注重教學(xué)藝術(shù)，能調(diào)動(dòng)學(xué)生最廣泛的情意因素，使學(xué)生形成最強(qiáng)大的學(xué)習(xí)動(dòng)力，直擊中考.同時(shí)，初三教師在授課過程中，關(guān)注學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)和興趣愛好、個(gè)性特長等發(fā)展特點(diǎn).創(chuàng)設(shè)適合學(xué)生的問題情境，幫助學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中體驗(yàn)、感悟、建構(gòu)并豐富學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，實(shí)現(xiàn)知識傳承、能力發(fā)展、積極情感形成的統(tǒng)一.教師不要搞題海戰(zhàn)術(shù)，力爭做到：做一題，通一類，會一片.

總之，教學(xué)有法，但無定法，復(fù)習(xí)也如此，不管采取何法，必須以培養(yǎng)學(xué)生的分析能力、思維能力、自學(xué)能力為目的，同時(shí)在復(fù)習(xí)中要注意規(guī)范訓(xùn)練，嚴(yán)格按照中考要求答題，按標(biāo)準(zhǔn)格式答題，糾正答題過程中的不良習(xí)慣，對于試卷的錯(cuò)誤要認(rèn)真分析，找出錯(cuò)誤的原因和解決的辦法，只要方法得當(dāng)，循序漸進(jìn)就能提高復(fù)習(xí)質(zhì)量，達(dá)到事半功倍的效果.

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