斐波那契數(shù)列在三對角行列式計(jì)算中的應(yīng)用

劉玲 方春霞 胡佳寧 繆夢楠

【摘要】本文主要研究如何利用（廣義）斐波那契數(shù)列的通項(xiàng)公式來計(jì)算三對角行列式.

【關(guān)鍵詞】斐波那契數(shù)列;三對角行列式;計(jì)算

一、引 言

斐波那契在《算盤書》中提出了一個(gè)有趣的兔子問題：一般而言，兔子在出生兩個(gè)月后，就有繁殖能力，一對兔子每個(gè)月能生出一對小兔子來.如果所有兔都不死，那么一年以后可以繁殖多少對兔子？

分析 第一個(gè)月小兔子沒有繁殖能力，所以還是一對;兩個(gè)月后，生下一對小兔，總數(shù)是兩對;三個(gè)月以后老兔子又生下一對，因?yàn)樾⊥米舆€沒有繁殖能力，所以一共是三對.由此下去，數(shù)字1，1，2，3，5，8——構(gòu)成了一個(gè)序列.這個(gè)數(shù)列有十分明顯的特點(diǎn)：前面相鄰兩項(xiàng)之和構(gòu)成了后一項(xiàng)，即fn=fn-1+fn-2，這個(gè)數(shù)列就是著名的斐波那契（fibonacci）數(shù)列.

斐波那契數(shù)列在各領(lǐng)域應(yīng)用廣泛，特別地，它在行列式計(jì)算中有其獨(dú)特的魅力，如，某些三對角行列式的遞推關(guān)系滿足斐波那契數(shù)列的通項(xiàng)公式fn=fn-1+fn-2及其推廣形式，因此，我們利用斐波那契數(shù)列的通項(xiàng)公式來計(jì)算滿足這個(gè)條件的行列式，以達(dá)到簡化行列式運(yùn)算的目的.

二、（廣義）斐波那契數(shù)列的定義與性質(zhì)

（一）斐波那契數(shù)列的定義與性質(zhì)

（二）廣義斐波那契數(shù)列的定義與性質(zhì)

三、斐波那契數(shù)列在行列式計(jì)算中的應(yīng)用

在三對角行列式的計(jì)算中，利用降階展開定理得到行列式的遞推關(guān)系式，這個(gè)遞推關(guān)系式經(jīng)常滿足（廣義）斐波那契數(shù)列的條件，所以利用斐波那契數(shù)列的通項(xiàng)公式來計(jì)算三對角行列式也是一種計(jì)算方法.

（一）斐波那契數(shù)列在三對角行列式中的應(yīng)用

【參考文獻(xiàn)】

[1]吳振奎.斐波那契數(shù)列[M].沈陽：遼寧教育出版社，1987.

[2]奚傳志.矩陣特征值與特征向量在遞推關(guān)系上的應(yīng)用[J].棗莊師專學(xué)報(bào)，1991（2）：26-30.