高中數(shù)學(xué)中直線和圓位置關(guān)系探究

蔣銘昊

【摘要】我們?cè)趯W(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)的過(guò)程中，需要明確學(xué)習(xí)重點(diǎn)與難點(diǎn).在學(xué)習(xí)相關(guān)知識(shí)的時(shí)候，要把握知識(shí)原理，對(duì)其理論性概念進(jìn)行分析，進(jìn)而將其運(yùn)用到實(shí)際解題中.直線和圓位置關(guān)系的研究是我們?cè)趯W(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)的過(guò)程中需要把握的學(xué)習(xí)重點(diǎn)，在對(duì)這部分內(nèi)容進(jìn)行學(xué)習(xí)時(shí)，需要對(duì)其位置關(guān)系進(jìn)行明確，將其運(yùn)用到幾何題目的解答中.因此，就需要對(duì)直線和圓的位置關(guān)系概念進(jìn)行分析，在實(shí)際解題中根據(jù)題型確定答題模式，強(qiáng)化學(xué)習(xí)效用.

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué);直線與圓;位置關(guān)系

在學(xué)習(xí)直線和圓的位置關(guān)系這個(gè)單元時(shí)，我們首先需要掌握直線與圓的位置關(guān)系的判定方式，對(duì)其性質(zhì)進(jìn)行了解.在學(xué)習(xí)任何數(shù)學(xué)知識(shí)的過(guò)程中，我們都需要建立在基礎(chǔ)的性質(zhì)上，然后對(duì)其進(jìn)行分析，通過(guò)自身的學(xué)習(xí)能力對(duì)學(xué)習(xí)任務(wù)進(jìn)行完成，強(qiáng)化我們的數(shù)學(xué)解答能力.在對(duì)直線與圓的位置關(guān)系相關(guān)內(nèi)容進(jìn)行分析時(shí)，我們首先需要?dú)w納概括相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，明確直線與圓的交點(diǎn)問(wèn)題，增強(qiáng)我們對(duì)教材的理解.

一、直線與圓位置關(guān)系的判定

在對(duì)直線與圓的位置關(guān)系進(jìn)行判定時(shí)，首先我們需要掌握簡(jiǎn)單的判定方法.其主要有兩種方法，一是幾何法，二是代數(shù)法.在利用幾何法對(duì)直線與圓的位置關(guān)系進(jìn)行判定時(shí)，我們需要對(duì)圓心到直線的距離進(jìn)行測(cè)量或者計(jì)算，根據(jù)距離d與圓的半徑r的大小進(jìn)行判定.如果dr，那么直線與圓的位置關(guān)系為相離.如果d=r，那么直線與圓的位置關(guān)系為相切.這是直線與圓的位置關(guān)系的最基本的判定方法，能夠?qū)⑵淙N位置關(guān)系進(jìn)行明確的表達(dá).在利用代數(shù)法對(duì)其進(jìn)行判定時(shí)，需要對(duì)直線的方程的實(shí)數(shù)解進(jìn)行判斷，根據(jù)其實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)能夠明確其位置關(guān)系.我們可以將直線的方程與圓的方程組合起來(lái)，如果方程有兩組實(shí)數(shù)解，那么其位置關(guān)系為相交;如果方程有一組實(shí)數(shù)解，那么其位置關(guān)系為相切;方程沒(méi)有實(shí)數(shù)解的話，其位置關(guān)系為相離.因此，對(duì)直線與圓的位置關(guān)系進(jìn)行判定的方法比較簡(jiǎn)單，我們?cè)趯?shí)際解題的過(guò)程中，需要根據(jù)題型及解題要求合理利用判定方法，簡(jiǎn)化答題步驟，強(qiáng)化我們的解答能力.

二、直線與圓位置關(guān)系分析

（一）圓上的點(diǎn)到直線的距離

我們?cè)趯?duì)直線與圓的位置關(guān)系進(jìn)行分析時(shí)，需要利用圓上的點(diǎn)到直線的距離進(jìn)行解答，這也是這個(gè)知識(shí)點(diǎn)常見(jiàn)的題型.我們經(jīng)常會(huì)遇到要求我們求出圓上的點(diǎn)到直線的距離的題目，在對(duì)其進(jìn)行解答的過(guò)程中，我們就可以將其看作直線的垂線段的長(zhǎng)，在理解起來(lái)就更加簡(jiǎn)便.比如，求圓x2+y2=1上的點(diǎn)到直線3x+4y+25=0的距離的最小值.我們?cè)诮獯疬^(guò)程中，首先需要分析圓心到直線的距離，我們可以知道距離大于半徑.因此，直線與圓的位置關(guān)系為相離.在這個(gè)基礎(chǔ)上解答，就可以將題目要求看作圓心到直線的距離再減去半徑，這就是其距離的最小值.所以，我們可以明確圓心到直線的距離為1，因此，求解其最小距離為：5-1=4.這樣我們就能夠快速得出答案，圓上的點(diǎn)到直線的最小距離為4.在解答這個(gè)題目的過(guò)程中，我們能夠利用數(shù)形結(jié)合的思想，對(duì)其進(jìn)行轉(zhuǎn)化，提升解題能力.

（二）截距相等問(wèn)題

截距相等問(wèn)題是直線與圓的位置關(guān)系的一種重要題型，在對(duì)其進(jìn)行解答時(shí)，我們首先需要考慮截距為0的情況.在對(duì)截距不為0的情況進(jìn)行分析時(shí)，需要對(duì)其符號(hào)進(jìn)行明確，只有符號(hào)相同才能對(duì)其進(jìn)行同等類(lèi)型的解答.比如，求解與圓（x-3）2+（y-3）2=8相切，且在x，y軸上截距相等的直線的條數(shù).在對(duì)其進(jìn)行解答時(shí)，我們首先需要得出圓心坐標(biāo)（3，3），圓的半徑為22，因此，其距離為32，原點(diǎn)的位置為圓外.在求直線截距時(shí)，一旦其為0，那么直線過(guò)原點(diǎn).因此，在這個(gè)題中，有兩條直線符合要求.一旦截距不為0，那么我們可以設(shè)所求直線的方程為x+y=a（a≠0）.圓心到直線的距離為22，因此，a=2或者a=10.根據(jù)題目要求，a的值有兩個(gè)，因此，符合要求的直線有2條.所以，這道題的答案為4.在解答這道題的過(guò)程中，我們需要理解直線與圓相切時(shí)，圓心到直線的距離為半徑的長(zhǎng)度，利用距離公式對(duì)問(wèn)題進(jìn)行解決.

（三）直線與圓相交

直線與圓相交主要考查我們對(duì)直線方程的求法是否熟悉，讓我們綜合利用直線與圓的位置關(guān)系相關(guān)內(nèi)容對(duì)其進(jìn)行分析.比如，直線l與圓（x+1）2+（y-2）2=100相交于A，B兩點(diǎn)，弦AB的中點(diǎn)為（-2，3），求直線l的方程.首先，我們需要通過(guò)圓的方程明確圓心坐標(biāo)，然后對(duì)圓心與弦AB的中點(diǎn)進(jìn)行連接.我們可以利用垂徑定理對(duì)其進(jìn)行分析，可以知道直線l與我們需要求的直線位置關(guān)系為垂直.這樣我們就可以得到斜率乘積為-1，再對(duì)弦AB中點(diǎn)與圓心連線的斜率進(jìn)行分析，得出直線l的斜率.我們可以知道圓心坐標(biāo)為（-1，2），圓心與弦AB中點(diǎn)的連線斜率為-1.而直線l斜率為-1，過(guò)點(diǎn)（-2，3），因此，直線l的方程為x-y+5=0.在這個(gè)過(guò)程中，我們需要對(duì)直線與圓的位置關(guān)系進(jìn)行分析，明確解題重點(diǎn).

三、結(jié) 語(yǔ)

綜上所述，在解答解析幾何相關(guān)問(wèn)題時(shí)，我們需要明確直線和圓的位置關(guān)系在這個(gè)章節(jié)中的重要性.作為一個(gè)知識(shí)重點(diǎn)及難點(diǎn)，要求我們掌握基本概念，對(duì)不同的題型進(jìn)行分析，靈活運(yùn)用學(xué)習(xí)方法，找到解題切入點(diǎn)，增強(qiáng)我們的解題能力，優(yōu)化解題結(jié)構(gòu)，強(qiáng)化數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力.

【參考文獻(xiàn)】

[1]戴榮春.淺談直線與圓位置關(guān)系的題目類(lèi)型[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2015（11）：55-56.

[2]楊佳.直線和圓的位置關(guān)系教學(xué)案例[J].課程教育研究，2017（2）：139-140.

[3]田鈺.直線與圓位置關(guān)系的應(yīng)用[J].文理導(dǎo)航（中旬），2015（7）：15.