高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)的若干思考

華燕萍

[摘? 要] 數(shù)學(xué)概念的直觀性、概括性、嚴(yán)謹(jǐn)性與層次性是廣大師生都能在概念教與學(xué)的過(guò)程中領(lǐng)悟到的，當(dāng)前的高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)存在著導(dǎo)入直接、照本宣科、不重視概念拓展等問(wèn)題，教師應(yīng)對(duì)學(xué)生實(shí)際、教學(xué)實(shí)際、教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行綜合的思考并進(jìn)行針對(duì)性的設(shè)計(jì)與訓(xùn)練.

[關(guān)鍵詞] 概念教學(xué);特點(diǎn);問(wèn)題;手段

中國(guó)科學(xué)院李邦河院士曾經(jīng)說(shuō)過(guò)的數(shù)學(xué)就是玩概念這句話一針見(jiàn)血地表達(dá)了數(shù)學(xué)概念的重要性，筆者從數(shù)學(xué)概念教學(xué)的特點(diǎn)、數(shù)學(xué)概念教學(xué)的現(xiàn)存問(wèn)題以及如何幫助學(xué)生掌握概念這三個(gè)方面進(jìn)行了概念教學(xué)的一點(diǎn)思考.

數(shù)學(xué)概念的特點(diǎn)

1. 直觀性

教師在具體的概念教學(xué)中往往會(huì)著眼于教材與生活實(shí)際舉出具有直接聯(lián)系且直觀性較強(qiáng)的例子，這是十分利于學(xué)生建立感性認(rèn)識(shí)的. 比如，柱、錐、臺(tái)、球的基本概念與特征是高中數(shù)學(xué)空間立體幾何的重要內(nèi)容，教師在這些概念的教學(xué)中可以將一些與概念相關(guān)的空間物體進(jìn)行展示，使學(xué)生能夠在直觀感受柱、錐、臺(tái)、球的基本特征的基礎(chǔ)上運(yùn)用自己的語(yǔ)言進(jìn)行描述，學(xué)生對(duì)這些空間物體的感性認(rèn)識(shí)必然會(huì)因此得到提升.

2. 概括性

數(shù)學(xué)概念就是在大量的感性材料的觀察與分析中進(jìn)行歸納概括出來(lái)的本質(zhì)屬性. 例如，教師在介紹柱、錐、臺(tái)、球等概念時(shí)，就可以在學(xué)生的直觀感受的基礎(chǔ)上引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行共同提煉與概括，并在此基礎(chǔ)上最終得到柱體、臺(tái)體、椎體等概念，教師與學(xué)生在提煉、總結(jié)、概括這些概念的過(guò)程中也會(huì)對(duì)課堂研究對(duì)象形成更加深刻的認(rèn)識(shí).

3. 嚴(yán)謹(jǐn)性

數(shù)學(xué)概念的嚴(yán)謹(jǐn)性是眾所周知的，學(xué)生在概念的理解上如果產(chǎn)生一點(diǎn)點(diǎn)的誤差便會(huì)令其后續(xù)學(xué)習(xí)遭遇更多的障礙. 因此，學(xué)生對(duì)這些經(jīng)過(guò)直觀感受與總結(jié)概括而得出的嚴(yán)謹(jǐn)結(jié)論應(yīng)持嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度. 例如，學(xué)生對(duì)截距這一概念的理解往往顧名思義，理解成距離從而造成錯(cuò)誤.

4. 層次性

數(shù)學(xué)概念的簡(jiǎn)潔、準(zhǔn)確、完整、概括都是經(jīng)歷了逐字逐句嚴(yán)格審核而確定的，其概念內(nèi)涵往往需要在大量的具體例子中明確，因此，學(xué)生在掌握概念的過(guò)程中也必須遵循理解概念、挖掘概念內(nèi)涵、運(yùn)用概念的層層遞進(jìn)的步驟. 比如，學(xué)生認(rèn)識(shí)二面角這一概念之初也是建立在對(duì)角的認(rèn)識(shí)基礎(chǔ)之上的，學(xué)生能夠了解二面角究竟是哪一種圖形，但是認(rèn)識(shí)也只是停留在二面角空間圖形的樣子上，其具體特征對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)還是不夠清晰且難以把握的，因此，在此基礎(chǔ)上對(duì)滲透二面角內(nèi)涵的鞏固練習(xí)也是必不可少的.

概念教學(xué)的現(xiàn)存問(wèn)題

1. 引入過(guò)程直接而枯燥

有些教師往往會(huì)將概念形成的背景忽略掉而導(dǎo)致概念的引入相對(duì)直接而枯燥，學(xué)生在突如其來(lái)的新概念中往往會(huì)感覺(jué)措手不及且一頭霧水，缺乏心理準(zhǔn)備與知識(shí)準(zhǔn)備的學(xué)生在新概念的學(xué)習(xí)中也會(huì)表現(xiàn)得比較生硬、呆板. 例如，函數(shù)這一概念是學(xué)生在初中階段就接觸過(guò)的，有些教師就會(huì)武斷地認(rèn)為高中階段對(duì)這一概念的逐句分析是沒(méi)有必要的，很多教師往往會(huì)在高中函數(shù)概念的教學(xué)中簡(jiǎn)單地進(jìn)行舉例判斷與辨別. 但實(shí)際上，學(xué)生根本無(wú)法了解初高中函數(shù)概念的區(qū)別，很多學(xué)生甚至?xí)a(chǎn)生在重復(fù)學(xué)習(xí)函數(shù)知識(shí)的認(rèn)知而導(dǎo)致學(xué)習(xí)興趣缺乏.

2. 照本宣科

教師對(duì)數(shù)學(xué)概念照本宣科的過(guò)程往往會(huì)將其內(nèi)涵提煉的過(guò)程完全忽略掉. 將概念抄在黑板上或直接投影，要求學(xué)生對(duì)概念死記硬背，選擇一些概念題供學(xué)生辨析等教學(xué)行為在實(shí)際的概念教學(xué)中時(shí)有發(fā)生. 雖說(shuō)學(xué)生在概念題的辨析中會(huì)適當(dāng)加深對(duì)概念的理解，但實(shí)際上對(duì)概念的提煉過(guò)程還是被完全忽略掉了，學(xué)生對(duì)概念的理解往往會(huì)停留在表面. 例如，有些教師在“隨機(jī)抽樣”這一概念的講解中會(huì)采取外延定義法，要求學(xué)生在簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣、系統(tǒng)抽樣、分層抽樣中對(duì)隨機(jī)抽樣這一概念形成理解，這一教學(xué)方式自然是可行的，但“每個(gè)個(gè)體被抽到的等可能性”這一概念的內(nèi)涵卻無(wú)法得到很好的揭示.

3. 不重視概念拓展

有些教師在某一概念的教學(xué)中不能對(duì)其進(jìn)行縱橫聯(lián)系與拓展，事實(shí)上，任何一個(gè)新概念都會(huì)存在一些能與其緊密關(guān)聯(lián)的概念，那些對(duì)某一概念進(jìn)行就事論事的教學(xué)行為顯然將新概念與其他概念之間的比較與分析完全忽略了. 例如，有些教師在講常用邏輯用語(yǔ)這一章的部分內(nèi)容時(shí)，簡(jiǎn)單介紹概念以后，就選擇一些題目供學(xué)生練習(xí)，這樣的教學(xué)行為實(shí)際上并沒(méi)有與其他學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)對(duì)象進(jìn)行類比、對(duì)照、聯(lián)想. 在講充分條件和必要條件概念時(shí)，可以聯(lián)系集合關(guān)系“子集、真子集、集合相等”，然后進(jìn)行對(duì)照，用集合觀點(diǎn)理解;講簡(jiǎn)單邏輯聯(lián)結(jié)詞“或、且、非”時(shí)，可以聯(lián)系集合運(yùn)算“并、交、補(bǔ)”，然后進(jìn)行對(duì)照理解，促進(jìn)新舊概念的融會(huì)貫通. 不僅如此，教師在具體的概念教學(xué)中還可以根據(jù)需要選擇一些課外的數(shù)學(xué)概念進(jìn)行關(guān)聯(lián)教學(xué).

概念教學(xué)的手段

“生成”這一新課標(biāo)提倡的重要理念主要是指學(xué)生之間、學(xué)生與教師之間在實(shí)踐與對(duì)話中所生成的未曾預(yù)料的問(wèn)題，讓學(xué)生在生成性的動(dòng)態(tài)資源中真正掌握數(shù)學(xué)概念顯得尤其重要.

1. 情境中引入概念

學(xué)生對(duì)概念的認(rèn)識(shí)與理解自然離不開其大腦的信息反饋與處理，因此，教師在概念的具體教學(xué)中應(yīng)善于為學(xué)生創(chuàng)造情境并讓學(xué)生在自主發(fā)現(xiàn)事物的過(guò)程中進(jìn)行信息的處理，使學(xué)生能夠在一定的意境中激發(fā)出自主性并發(fā)現(xiàn)更多的東西. 學(xué)生在情境中像數(shù)學(xué)家一樣對(duì)知識(shí)進(jìn)行探索是鍛煉自身創(chuàng)新精神與探索能力的最佳途徑. 例如，教師在隨機(jī)事件的概率的講解中可以設(shè)計(jì)以下問(wèn)題情境：請(qǐng)學(xué)生參照“投擲均勻硬幣”的記錄設(shè)計(jì)并進(jìn)行數(shù)據(jù)的收集，要求每位學(xué)生收集15～20個(gè)數(shù)據(jù)并請(qǐng)各組學(xué)生進(jìn)行數(shù)據(jù)的交流，在掌握數(shù)據(jù)的大概取值情況的基礎(chǔ)上引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行自主探索并對(duì)隨機(jī)事件概率產(chǎn)生初步的了解.

2. 探索概念內(nèi)涵

教師與學(xué)生對(duì)概念對(duì)象進(jìn)行共同的探索能夠令學(xué)生更快地觸及概念本質(zhì)并對(duì)其進(jìn)行概念內(nèi)涵的提煉. 學(xué)生在教師的指引下進(jìn)行探索往往能夠很好地避免盲目探索，不僅如此，學(xué)生也會(huì)更快、更精準(zhǔn)地找到概念的重點(diǎn)，傳統(tǒng)教學(xué)中的教師唱獨(dú)角戲的現(xiàn)象也會(huì)得到有效的避免，學(xué)生不理解概念、參與度不高的現(xiàn)象也會(huì)因?yàn)閹熒餐奶接懙玫接行П苊? 尤其令人欣喜的是，教師與學(xué)生共同參與探討能使教師對(duì)學(xué)生掌握概念的程度形成更好的把握與定位，學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、探索精神與創(chuàng)新精神也會(huì)受到大大的激發(fā). 例如，教師在“概率”這一概念的教學(xué)中首先可以引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行自主探索，然后在學(xué)生初步獲得概念認(rèn)知之后設(shè)計(jì)相關(guān)實(shí)驗(yàn)方案并與學(xué)生共同實(shí)驗(yàn)，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)據(jù)的收集并進(jìn)行散點(diǎn)圖、折線圖的共同繪制，使學(xué)生對(duì)概率形成直觀形象的了解并引導(dǎo)其在此基礎(chǔ)上進(jìn)行分析，學(xué)生在共同實(shí)驗(yàn)、收集數(shù)據(jù)、繪制圖表的過(guò)程中往往能夠?qū)Ω怕实膬?nèi)涵形成很好的認(rèn)知，概念教學(xué)的效率也就大大提升了.

3. 適度變式訓(xùn)練

學(xué)生在一些富有挑戰(zhàn)性與探究性的問(wèn)題中往往會(huì)獲得更多的體會(huì)并運(yùn)用自己獨(dú)有的方式對(duì)概念進(jìn)行理解，因此，教師在概念的具體教學(xué)中應(yīng)加強(qiáng)變式訓(xùn)練，使學(xué)生能夠在富有挑戰(zhàn)性與探究性問(wèn)題的探索中不斷探觸概念的本質(zhì)并獲得牢固的理解. 不僅如此，學(xué)生對(duì)知識(shí)的遷移能力也會(huì)在變式訓(xùn)練中得到有意義的鍛煉并激發(fā)出更大的內(nèi)驅(qū)力. 教師在變式訓(xùn)練教學(xué)中應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生直面求解困惑并令其激發(fā)出渴望解決問(wèn)題的欲望. 例如，投擲硬幣一類的簡(jiǎn)單概率問(wèn)題學(xué)生已經(jīng)基本掌握之時(shí)，教師應(yīng)設(shè)計(jì)出一些更富趣味性與挑戰(zhàn)性的練習(xí)以幫助學(xué)生拓展更為廣闊的探索空間，使學(xué)生在更加復(fù)雜的問(wèn)題探索中對(duì)概率這一概念的本質(zhì)形成牢固而深刻的理解.

4. 完善分層訓(xùn)練

眾所周知，因?yàn)閷W(xué)生的個(gè)體存在差異，所以學(xué)生的學(xué)習(xí)能力有所不同. 對(duì)于學(xué)生我們可大致這樣分類：C組代表學(xué)習(xí)有困難的學(xué)生，B組代表學(xué)習(xí)能力稍強(qiáng)的學(xué)生（相對(duì)而言，這也是人數(shù)最多的一類），A組代表學(xué)習(xí)能力很好的學(xué)生. 為了顧全大局，教師在選題時(shí)大多數(shù)時(shí)候只能照顧B組學(xué)生，也就是讓他們做相同的練習(xí)，但這勢(shì)必會(huì)導(dǎo)致“A組學(xué)生吃不飽，B組學(xué)生剛吃好，C組學(xué)生吃不下”的局面. 久而久之，A組學(xué)生和C組學(xué)生都會(huì)因?yàn)椤盃I(yíng)養(yǎng)不良”而“發(fā)育不全”，這顯然對(duì)學(xué)生的長(zhǎng)遠(yuǎn)發(fā)展不利. 對(duì)此，我們只能采用分層訓(xùn)練的方式，讓每個(gè)學(xué)生既“吃飽”又“吃好”，也只有這樣才能使概念鞏固效果最優(yōu)化. 例如，對(duì)數(shù)函數(shù)定義的練習(xí)：

（1）求下列函數(shù)的定義域和值域：

①y=log2（x-4）;②y=log2（x2-4）.

（2）已知函數(shù)y=log2（x2-ax-4）的定義域是R，求a的取值范圍.

（3）已知函數(shù)y=log2（x2-ax-4）的值域是R，求a的取值范圍.

C組學(xué)生能力較差，完成題（1），此題是基礎(chǔ)知識(shí)的訓(xùn)練，能達(dá)到本節(jié)課的學(xué)習(xí)目標(biāo);B組學(xué)生能力稍強(qiáng)，需要完成題（1）和題（2），題（2）有一定的綜合難度，對(duì)訓(xùn)練學(xué)生思維有一定幫助;A組學(xué)生能力最強(qiáng)，需要全部完成，題（3）的綜合難度更大. 一步一個(gè)臺(tái)階，學(xué)生拾級(jí)而上，有助學(xué)生學(xué)習(xí)能力的進(jìn)一步提升. 通過(guò)布置相對(duì)應(yīng)的習(xí)題，能讓所有的學(xué)生都動(dòng)起來(lái)，并完成各自的學(xué)習(xí)目標(biāo).

5. 深化概念的理解

學(xué)生在自主評(píng)價(jià)中進(jìn)行反思往往能獲得更多的感受與體驗(yàn)，因此，教師在概念的具體教學(xué)中應(yīng)善于引導(dǎo)學(xué)生反思并對(duì)自己的概念掌握水平進(jìn)行檢驗(yàn). 在學(xué)生發(fā)現(xiàn)自身問(wèn)題的同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生思考這些問(wèn)題應(yīng)該如何解決，引導(dǎo)學(xué)生表達(dá)自己對(duì)所學(xué)概念的理解、分享概念學(xué)習(xí)時(shí)的收獲與感受、提出自己的疑惑，然后在師生共同的探索中進(jìn)行解決、總結(jié)與歸納.

總之，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的成功必然應(yīng)該建立在充分掌握概念的基礎(chǔ)之上，教師在概念的具體教學(xué)中應(yīng)善于運(yùn)用“生成”的理念進(jìn)行教學(xué)活動(dòng)的設(shè)計(jì)與落實(shí)，充分發(fā)揮學(xué)生的自主性并使其能夠進(jìn)行積極的思考、理解、概括，從而獲得概念學(xué)習(xí)的高效率與高品質(zhì).