小學生日常數(shù)學經(jīng)驗的理解及其啟示

俞蓉 劉效麗

摘? ?要?《義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2011年）》明確提出，教師的教學應以學生的認知發(fā)展水平和已有的經(jīng)驗為基礎(chǔ)，并指出教師應注重數(shù)學知識與學生生活經(jīng)驗等方面的聯(lián)系。學生從日常生活中獲得的數(shù)學經(jīng)驗應引起重視。從對學生日常數(shù)學經(jīng)驗的進一步理解中可以獲得一些教學啟示，如賦予學校數(shù)學現(xiàn)實意義、分析隱藏在學生錯誤背后的日常數(shù)學經(jīng)驗、重視學生思維過程及數(shù)學語言的使用等。

關(guān)鍵詞 數(shù)學經(jīng)驗 學校數(shù)學 數(shù)學語言

我國《義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2011年）》明確提出，教師教學應該以學生的認知發(fā)展水平和已有的經(jīng)驗為基礎(chǔ)，并指出教師應注重數(shù)學知識與學生生活經(jīng)驗等方面的聯(lián)系[1]。學生從日常生活中獲得的數(shù)學經(jīng)驗應引起重視。那么，學生日常數(shù)學經(jīng)驗是什么？這些經(jīng)驗與學校數(shù)學經(jīng)驗之間是什么關(guān)系？教學活動中該如何利用學生日常數(shù)學經(jīng)驗呢？

一、學生日常數(shù)學經(jīng)驗的含義與特點

首先，經(jīng)驗是一個哲學范疇的詞語，根據(jù)哲學詞典上的解釋，經(jīng)驗通常指感覺經(jīng)驗，它是人們對經(jīng)由感覺器官所獲得的、關(guān)于直接接觸的客觀事物的現(xiàn)象和外部聯(lián)系的認識，因此經(jīng)驗常與理性對立或聯(lián)系在一起。在《現(xiàn)代漢語詞典》中名詞性經(jīng)驗是指由實踐而得來的知識或技能;《牛津高階英漢雙解詞典》中經(jīng)驗對應的英文單詞experience除具有上述含義外，還指出個體在獲得知識或技能的過程中所經(jīng)歷的事或活動會改變其想法與行為，即經(jīng)驗對個體會產(chǎn)生某種程度的影響等。

杜威認為，經(jīng)驗既包含著一個主動因素，即嘗試，又包含著一個被動因素，即承受結(jié)果，這兩個因素以特有形式結(jié)合著[2]。換言之，經(jīng)驗就是個體在有所經(jīng)歷后有所得。所得既可能是有利方面、日后可直接利用的，也可能是不利方面、日后需修正的。無論是哪種所得，它們都對經(jīng)歷的個體的知識、能力或情感等多方面產(chǎn)生了一定影響。

其次，“日常數(shù)學”是相對“學校數(shù)學”（亦稱“正式數(shù)學”）而言，也被稱為“校外數(shù)學”或“非正式數(shù)學”，它是人類在參與社會文化實踐活動中為解決現(xiàn)實問題而自然形成的。國外學者Bishop指出，在其所研究過的所有文化群體中普遍存在6種基本的數(shù)學活動：計數(shù)、定位、測量、設(shè)計、娛樂及闡釋現(xiàn)象[3]。由此可以推斷，即便是從未學習過學校數(shù)學的人，也可以從普遍存在的這些基本數(shù)學活動中獲得一些數(shù)學經(jīng)驗。

綜上，這里的學生日常數(shù)學經(jīng)驗是指學生在日常生活中通過感官直接體驗和感受身邊事物的數(shù)量關(guān)系與空間特征而獲得的一種認識，是學生在解決日常生活中的實際問題過程中獲得的具體知識或能力、解決問題的策略、某種情感體驗或是某種意識信念等，會對學生的學校數(shù)學學習產(chǎn)生或大或小、或積極或消極的影響。

根據(jù)前文分析，學生日常數(shù)學經(jīng)驗具有以下幾個主要特點。

首先，學生日常數(shù)學經(jīng)驗依托豐富的情境，具有較強的情感體驗特征，是學生在多樣化的社會活動中為解決對自己具有某種特殊意義的現(xiàn)實問題而獲得的，所使用的方法是具體而非抽象的，與此同時，這種情感體驗會對學生某些方面產(chǎn)生一定的影響，使學生對自身經(jīng)驗留有較深印象，即日常數(shù)學經(jīng)驗在學生身上可能存在某種程度的穩(wěn)固性。

其次，學生日常數(shù)學經(jīng)驗是他們在日常生活中通過感官直接獲得的，這就決定了這種經(jīng)驗基本停留于對數(shù)學的感性認識層面且缺乏系統(tǒng)性。學校數(shù)學教學任務(wù)就是將學生對數(shù)學的感性認識提升至理性認識，并再運用于現(xiàn)實生活中，以更好地解決現(xiàn)實問題。

二、學生日常數(shù)學經(jīng)驗與學校數(shù)學經(jīng)驗之間的關(guān)系

數(shù)學概念既來源于現(xiàn)實世界，又高于現(xiàn)實世界，是經(jīng)過多次概括和抽象的結(jié)果。因此，數(shù)學不是直接研究現(xiàn)實對象，而是處理它們的抽象反映，處理它們的模型[4]。

一方面，正因為數(shù)學概念來源于現(xiàn)實世界，所以為數(shù)學教學聯(lián)系學生日常數(shù)學經(jīng)驗提供了可能性。學生在接受正式數(shù)學教育之前從現(xiàn)實世界中獲得了自己的數(shù)學經(jīng)驗。學者Resnick認為，小學生的數(shù)學思維發(fā)展一般經(jīng)歷準量、量、數(shù)與運算這四個階段（見表1）[5]。

根據(jù)Resnick所提理論，小學生接受正式的數(shù)學教育之前，其數(shù)學思維一般已由準量階段進入量的階段，從某種意義上來說，學生正是在這兩個階段積累了自己的數(shù)學經(jīng)驗，而這些經(jīng)驗可以看作是學校數(shù)學經(jīng)驗的“萌芽”。一般進入小學后，即開啟了通向數(shù)的階段的大門，這是學生日常數(shù)學經(jīng)驗逐步向正式數(shù)學經(jīng)驗過渡的一個重要階段。

另一方面，數(shù)學高于現(xiàn)實生活，日常數(shù)學與學校數(shù)學之間是有很大差異的，這種差異表現(xiàn)在多方面。例如有研究認為，日常生活中的數(shù)學是一種“復雜的即興發(fā)揮”，而學校數(shù)學可以說是按照標準程序進行的，也就是說日常數(shù)學具有隨機性，而學校數(shù)學有自身嚴密的邏輯性與高度的抽象性[6]。因此，學生的日常數(shù)學經(jīng)驗尚須進一步改造才能提升為正式數(shù)學經(jīng)驗。

學生的日常數(shù)學經(jīng)驗與正式數(shù)學經(jīng)驗之間的關(guān)系如圖1所示。

學生帶著自己的日常數(shù)學經(jīng)驗走進課堂，在接受數(shù)學教學的過程中，思維受到激發(fā)，會自覺或不自覺地將自身已有經(jīng)驗與學校數(shù)學知識技能等進行比對：二者一致時，學生就能很快掌握新知;二者沖突時，則可能會出現(xiàn)三種不同情況——新知替代原有經(jīng)驗，或與原有經(jīng)驗重整組合，或直接遭到拒絕。前兩種情況下學生也能較快形成新的數(shù)學經(jīng)驗，但須不斷鞏固加深才能使之穩(wěn)定，否則學生可能會為了考試而暫時記住新的知識方法等，但考完后即回到原有經(jīng)驗，但第三種情況下，學生可能在較長一段時間內(nèi)仍停留在原有日常經(jīng)驗層面。

三、啟示

1.賦予學校數(shù)學現(xiàn)實意義

如圖1所示，當學校數(shù)學知識技能等與學生的日常數(shù)學經(jīng)驗一致時，學生很快就能掌握新知，而學生的日常數(shù)學經(jīng)驗具有較強的現(xiàn)實情境等特點，所以，教師在教學時可以為抽象的數(shù)學概念等賦予現(xiàn)實意義，以幫助學生理解與吸收。

例如，當前小學數(shù)學教學常常借助道具操作、實物模型等（如點子圖、小棒等）進行直觀教學，這是一種必要的教學方式。但Resnick等人通過研究發(fā)現(xiàn)，直觀的道具操作本身并不足以提取與利用學生已有數(shù)學經(jīng)驗并基于此進行教學，教師自身還須形成“算術(shù)是建立在豐富的意義基礎(chǔ)之上”的基本教學態(tài)度，并在整個教學過程中注意將數(shù)賦予學生樂于接受的現(xiàn)實意義[5]。所以，教學中不僅要考慮教學形式，更要考慮形式背后的意義，否則課堂中可能師生操作得不亦樂乎，但學生也只是回顧了已有的日常數(shù)學經(jīng)驗而無提升。比如讓學生計算2+17.5=？時，就會有學生算出17.7等錯誤結(jié)果，但如果問學生買作業(yè)本花了2元，買書花了17元5角，一共花了多少錢？學生就能根據(jù)日常數(shù)學經(jīng)驗算出一共花了19元5角，因為錢是小學生熟悉且感興趣的話題，多數(shù)學生已從日常生活中積累了關(guān)于錢的數(shù)學經(jīng)驗，所以給運算賦予學生熟悉的現(xiàn)實意義，無疑有助于學生理解抽象的計算方法。

此外，教師在教學中設(shè)置問題情境時，也要注意結(jié)合學生的現(xiàn)實生活背景，如此可以一舉兩得：第一，可以調(diào)動和利用學生的日常數(shù)學經(jīng)驗，為學生學習抽象的數(shù)學知識搭建支架;第二，可以縮短學校數(shù)學與日常生活之間的距離，使學生切身感受到學校數(shù)學在生活中的有用性，有助于學生將獲得的學校數(shù)學經(jīng)驗自發(fā)主動地應用到生活中去。

2.分析隱藏在學生錯誤背后的日常數(shù)學經(jīng)驗

如上所述，當學校數(shù)學知識技能等與學生的日常數(shù)學經(jīng)驗相沖突時，學生會以代替、重組原有經(jīng)驗或拒絕新知等方式解決，在這個過程中，學生免不了會頻繁犯一些類似的錯誤，直至新知完全轉(zhuǎn)化為正式數(shù)學經(jīng)驗。

建構(gòu)理論認為學生是基于自己已有的知識與經(jīng)驗來建構(gòu)和理解新的知識，這就意味著教師需要關(guān)注學生走進教室時所具有的經(jīng)驗，尤其是其中所包含的一些片面的理解、錯誤的觀念等。

一方面，學生所獲得的片面的經(jīng)驗會對后期的學習產(chǎn)生負遷移，例如，小數(shù)、分數(shù)、負數(shù)等的運算學習，與學生在生活中積累的數(shù)學經(jīng)驗——“相加/相乘會使數(shù)變大，相減/相除則會使數(shù)變小”會出現(xiàn)相悖之處，尤其是此前這種日常經(jīng)驗還被所獲得的正整數(shù)運算經(jīng)驗強化。

同樣，不嚴謹?shù)娜粘?shù)學經(jīng)驗也會給學生日后的數(shù)學學習造成干擾。比如，學習“角的認識”這部分知識時，如果呈現(xiàn)圖2所示的兩組角讓學生比較大小，每組都會有學生認為∠1<∠2。

為什么初學角時，總會有學生犯這樣的錯誤呢？根據(jù)已有的關(guān)于兒童數(shù)學概念發(fā)展方面的研究，日常生活中有很多這種涉及比較的活動，比如兩杯水，水位線越高的水就越多;越長的就越大等，長此以往，就會使兒童形成一種“某方面越……則另一方面也越……”的直覺[7]。換而言之，這種直覺可被看作是學生獲得的一種比較穩(wěn)固的日常經(jīng)驗。

另一方面，學生日常數(shù)學經(jīng)驗與正式數(shù)學經(jīng)驗相比是有不少“漏洞”的，即比較膚淺。比如，學生從生活中獲得了一些關(guān)于“0”的認識，知道“0”有“無、沒有”的意思，當0+5時0不用考慮，結(jié)果依然是5。因此當學習退位減法、乘除法時，就會有學生根據(jù)原有日常經(jīng)驗類推得出0×5=5、0-5=5之類的錯誤結(jié)果。

簡言之，教師需要仔細分析學生錯誤背后隱藏的原因，具體問題具體分析，在實施教學活動前，應識別學生已有的經(jīng)驗處于什么水平，再根據(jù)學生的實際情況安排有針對性、有層次性的教學活動。同時，教師還要注意不斷強化學生獲得的新經(jīng)驗，可輔以適量的、不同層次的變式練習等。

3.重視學生的思維過程

有些情況下，學生會借助日常數(shù)學經(jīng)驗來解決學校數(shù)學問題，雖然可能與學校數(shù)學所規(guī)定的標準化算法或步驟等不一樣，但這并不意味著學生做得不對。比如，有小學生在計算132-47時寫成如下：

顯然，這種解法與教師所期望的列豎式的方法不一樣，但這種解法不能說是錯誤的。那么學生為什么會這么解答呢？其實結(jié)合日常數(shù)學經(jīng)驗并不難理解學生的解法，比如購物時會出現(xiàn)整箱拆箱的情況，打比方說一整箱橙子有100個，某人要買47個，但是已拆的箱里還剩32個，所以賣家一般會先給買家32個，還欠15個就再拆一整箱，最后賣家剩85個（100-15）。

從上例可以看到，在實際教學中，教師要盡量給學生提供機會，讓學生多說、多表達自己的想法，從而使學生的思維過程外顯，尤其是面對學生的錯誤解法或“與眾不同”的想法時，如此教師方能找到問題或關(guān)鍵所在，從而“對癥下藥”，用不同的方法幫助不同的學生在數(shù)學上獲得自己的發(fā)展;同時應接受學生運用非正式的問題解決策略，引導學生自己發(fā)現(xiàn)原有策略的問題或不足，幫助學生進行修正，最終促進學生數(shù)學思維向更高、更正式的層次發(fā)展。

4.重視數(shù)學語言的使用

日常數(shù)學語言與正式數(shù)學語言之間的沖突也是日常數(shù)學經(jīng)驗與正式數(shù)學經(jīng)驗沖突的一種表現(xiàn)，比如日常數(shù)學經(jīng)驗中的“直線”概念與學校數(shù)學中的“直線”概念之間是有很大區(qū)別的：前者是不彎曲的、能看見首尾的線，實為學校數(shù)學中的“線段”，而學校數(shù)學中“直線”雖也是不彎曲的，但卻無首無尾。這就導致在剛學習“直線”這一概念時，有些學生較難接受學校數(shù)學中“直線”的概念。

數(shù)學是靠語言來表達的，這種語言通常有文字、符號和圖像三種形式，學生學習數(shù)學正是從認識和理解這些語言開始的[8]。根據(jù)一些教學實踐，掌握不好數(shù)學語言的學生，對數(shù)學知識的理解能力就會較差，從而影響對數(shù)學問題的理解與解答。數(shù)學思維的發(fā)展離不開數(shù)學語言的同步發(fā)展，數(shù)學語言發(fā)展對數(shù)學思維發(fā)展、數(shù)學能力和素質(zhì)的培養(yǎng)均有著重要的現(xiàn)實意義[9]。

因此，小學階段的數(shù)學教學還應該承擔起一個重要的任務(wù)，即將學生日常數(shù)學經(jīng)驗中的非正式、不規(guī)范的數(shù)學語言逐步糾正為正規(guī)的數(shù)學語言，為日后更加深入、愈發(fā)抽象的數(shù)學學習奠定基礎(chǔ)。那么具體怎么處理這兩種語言之間的關(guān)系呢？一方面，教師可以借助日常數(shù)學語言對抽象的數(shù)學概念做出必要的解釋，以幫助學生很好地理解，但同時還需幫助學生對數(shù)學概念的理解從日常意義過渡到嚴格的數(shù)學意義上;另一方面，教師要鼓勵學生說出自己對所學數(shù)學概念的理解，采取引導的方法，從而幫助學生過渡到正規(guī)的數(shù)學語言[10]。簡而言之，教師自身首先要注意用詞準確，板書時注意使用正確的數(shù)學符號等，潛移默化地培養(yǎng)學生養(yǎng)成用正確的數(shù)學語言來表達數(shù)學思維的習慣。

5.重視學生的經(jīng)驗，而非教師的經(jīng)驗

學生的日常數(shù)學經(jīng)驗與學生個體所處的環(huán)境關(guān)系較大，所以，學生所處地域、家庭經(jīng)濟狀況、家庭教育程度等都可能會不同程度地影響學生的日常數(shù)學經(jīng)驗。這就要求教師在聯(lián)系學生的日常數(shù)學經(jīng)驗時，先要調(diào)查清楚學生的現(xiàn)實情況，而不是以教師自己的經(jīng)驗來取而代之。

但是，學生的經(jīng)驗在實際教學實踐活動中往往容易被忽視或者未得到應有的重視。有些教師為了節(jié)省時間，便根據(jù)自己以往的教學經(jīng)驗進行備課，覺得學生這里容易弄懂，那里會是理解難點，等等。誠然，教師的經(jīng)驗也很重要，可以為教師開展教學活動提供參考依據(jù)，但歸根結(jié)底，學生才是學習的真正主人，學生走入課堂時所帶有的經(jīng)驗會直接影響到學生學習的效果，而教師的經(jīng)驗是為學生的學習（即學生的經(jīng)驗積累）服務(wù)的。杜威曾說過，教育者的任務(wù)就是安排一些既使學生不厭惡又能引起學生活動興趣的經(jīng)驗，這些經(jīng)驗可以促使學生獲得未來渴望的經(jīng)驗，所以它們的作用比直接獲得適意的經(jīng)驗還要大得多[2]。如此看來，學生的經(jīng)驗才是教師教學活動的出發(fā)點。

總而言之，教師若想充分調(diào)動與利用學生的已有日常數(shù)學經(jīng)驗，幫助每一位學生獲得思維提升、數(shù)學學習上的發(fā)展，其前提是教師須先對學生的已有經(jīng)驗進行充分的調(diào)查與了解。

參考文獻

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[10] 鄭毓信，肖紅.語言視角下的數(shù)學教學[J].課程·教材·教法，2009（09）.

[作者：俞蓉（1983-），女，江蘇鹽城人，首都師范大學初等教育學院在讀碩士研究生;劉效麗（1960-），女，北京朝陽人，首都師范大學初等教育學院副教授。]

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