分辨學(xué)生自然結(jié)構(gòu)的正誤

摘? 要：學(xué)生在剛開(kāi)始進(jìn)入小學(xué)的時(shí)候，做題經(jīng)常會(huì)發(fā)生“想加卻減，想減又加”的情況，這時(shí)，教師不應(yīng)很輕易地就判斷學(xué)生是錯(cuò)誤的，而是要分析這種問(wèn)題出現(xiàn)的原因，再通過(guò)這些原因來(lái)具體分析，以此加強(qiáng)學(xué)生對(duì)加減運(yùn)算的理解，從而減少這種問(wèn)題的發(fā)生。

關(guān)鍵詞：自然結(jié)構(gòu);加工結(jié)構(gòu);人為習(xí)慣

初入小學(xué)的學(xué)生在答題時(shí)經(jīng)常會(huì)發(fā)生“想加卻減，想減又加”的情況。就如同下面這道問(wèn)題：

此題是：已知蘋(píng)果的總數(shù)量是7個(gè)，小朋友拿走了3個(gè)，那么籃子中還剩下多少個(gè)蘋(píng)果呢？這就是簡(jiǎn)單的減法運(yùn)算：7-3=4，但學(xué)生經(jīng)常會(huì)這樣列式：4+3=7。還有類(lèi)似的題目：一群麻雀在電線桿上，飛走了3只，還剩下5只，那么原來(lái)共有多少只麻雀呢？此題就是簡(jiǎn)單的加法運(yùn)算：3+5=8，但有的學(xué)生會(huì)這樣列式：8-3=5。很明顯這兩道題都有一個(gè)相同點(diǎn)，那就是學(xué)生都知道問(wèn)題的答案是什么。

那到底為什么會(huì)引起這種情況的發(fā)生呢？像這種情況，教師是該算學(xué)生對(duì)還是算學(xué)生錯(cuò)呢？

一、思維的自然與加工結(jié)構(gòu)

學(xué)生的思維認(rèn)知大概可分為這三個(gè)部分：①眼鼻耳等器官獲得信息;②大腦中對(duì)信息的加工;③表達(dá)加工的信息。學(xué)生在表達(dá)上出現(xiàn)問(wèn)題了，那么也就意味著獲得知識(shí)的過(guò)程與加工信息的過(guò)程可能至少有一個(gè)出現(xiàn)了問(wèn)題。

學(xué)生在解答上述兩個(gè)問(wèn)題時(shí)都有這樣一個(gè)共同點(diǎn)，都是按照題中的所給出的信息順序來(lái)寫(xiě)算式。比如第一個(gè)問(wèn)題，題中的信息順序?yàn)椋嚎栈@子、3個(gè)、7個(gè)，這三者之間能夠很自然而然地得到：4+3=7，學(xué)生得到了這個(gè)算式就會(huì)很容易直接寫(xiě)出這個(gè)答案不再多加考慮，畢竟這個(gè)算式中已經(jīng)包含了正確答案。

我們的閱讀習(xí)慣大多都是自左往右、自上往下，所以我們獲得的信息都是有先后順序的，這個(gè)先后順序會(huì)很自然地讓我們得到一個(gè)思維結(jié)構(gòu)。對(duì)于剛步入小學(xué)的學(xué)生而言，要對(duì)他們所獲取的這些信息進(jìn)行加工還是比較復(fù)雜的，因?yàn)樗麄兊募庸つ芰€是比較弱的，所以他們就會(huì)很容易按照得到這個(gè)自然思維結(jié)構(gòu)來(lái)進(jìn)行表達(dá)。這樣也就可以比較容易解釋學(xué)生為什么會(huì)列出上述算式。若我們將“4+3=7”“8-3=5”這兩個(gè)算式的思維方式稱(chēng)為“自然結(jié)構(gòu)”，“7-3=4”“5+3=8”這兩個(gè)算式的思維方式稱(chēng)為“加工結(jié)構(gòu)”，那么學(xué)生出現(xiàn)錯(cuò)誤的重要原因就是這兩個(gè)結(jié)構(gòu)的順序是不一樣的。

學(xué)生之所以會(huì)形成這樣一種自然的思維結(jié)構(gòu)，這與他們的經(jīng)歷是密不可分的。就好比114×21標(biāo)準(zhǔn)的豎式計(jì)算應(yīng)該為：

這種標(biāo)準(zhǔn)的豎式計(jì)算就是把“21個(gè)114相加”變成“1個(gè)114和20個(gè)114相加”。還有的學(xué)生會(huì)有別的方法來(lái)列出豎式，比如下面這種：

這種算式雖然不同于標(biāo)準(zhǔn)的算法，但與標(biāo)準(zhǔn)算法的中心思想還是如出一轍的，不同的只是他們的結(jié)構(gòu)順序不一樣而已。

綜上所述，學(xué)生在學(xué)習(xí)這類(lèi)數(shù)學(xué)問(wèn)題中的重難點(diǎn)就是獲得知識(shí)的自然結(jié)構(gòu)與對(duì)知識(shí)進(jìn)行的加工結(jié)構(gòu)這兩者之間的差異性。這就要求老師要將教學(xué)重點(diǎn)放在轉(zhuǎn)化自然結(jié)構(gòu)和加工結(jié)構(gòu)上并要對(duì)這兩種結(jié)構(gòu)進(jìn)行充分了解。在學(xué)習(xí)中，不能盲目否定學(xué)生依據(jù)自然結(jié)構(gòu)得出的結(jié)果，這樣不但會(huì)約束學(xué)生的思維發(fā)散，而且還會(huì)削減他們?cè)趯W(xué)習(xí)數(shù)學(xué)上的興趣。所以對(duì)待這種由自然結(jié)構(gòu)得出的結(jié)果的正確與否我們還需要進(jìn)一步進(jìn)行判斷。

二、合理分析錯(cuò)誤

對(duì)于上述由自然結(jié)構(gòu)得出的結(jié)果，認(rèn)為正確的是覺(jué)得學(xué)生已經(jīng)理解了題中的數(shù)量關(guān)系，并且計(jì)算結(jié)果也是正確的;認(rèn)為錯(cuò)誤的是覺(jué)得學(xué)生還沒(méi)有正確理解題目中的已知量和未知量，結(jié)果應(yīng)寫(xiě)在等式的右側(cè)。雖然題中的已知量和未知量不相同，但是還是應(yīng)該將這兩者結(jié)合起來(lái)思考。就像在方程的學(xué)習(xí)中我們把未知數(shù)當(dāng)成已知數(shù)來(lái)用，并且用字母將這些未知數(shù)表示在算式中。我們可以將方程上的知識(shí)運(yùn)用到前面這兩個(gè)問(wèn)題中，即可得到X+3=7和X-3=5。從這兩個(gè)算式中我們就可以看出方程就是自然結(jié)構(gòu)得出來(lái)的結(jié)果。

認(rèn)為應(yīng)將結(jié)果寫(xiě)于等式右側(cè)其實(shí)是誤解了等式。相等關(guān)系是等價(jià)關(guān)系中的一種，而等價(jià)關(guān)系應(yīng)該是包含了以下這三個(gè)條件的：①自身性：A=A;②交換性：若A=B，即B=A;③傳遞性：若A=B，B=C，則A=C。其中的交換性就說(shuō)明了等號(hào)前后的順序是可以進(jìn)行交換的，那么一定要將結(jié)果寫(xiě)在等式右側(cè)的這一說(shuō)法就是不正確的。這最多只能算作是大家約定俗成的習(xí)慣，從這方面來(lái)講，通過(guò)自然結(jié)構(gòu)得出的結(jié)果是應(yīng)該被認(rèn)可的。

三、識(shí)別自然結(jié)構(gòu)的依據(jù)

當(dāng)學(xué)生遇到自然結(jié)構(gòu)與加工結(jié)構(gòu)得出的結(jié)果不相同時(shí)，應(yīng)該從更加廣闊的角度來(lái)識(shí)別自然結(jié)構(gòu)的正確與否?！板e(cuò)誤”在詞典上的解釋是：不正確，與客觀實(shí)際不符合。若我們以詞典上“錯(cuò)誤”的解釋作為依據(jù)，則需要更加明確客觀實(shí)際在數(shù)學(xué)中的意義。小學(xué)數(shù)學(xué)的內(nèi)容可根據(jù)客觀性、主觀性分為這三種：

（1）數(shù)學(xué)發(fā)展規(guī)律所形成的：類(lèi)似的有加法交換律，它實(shí)質(zhì)就是加法運(yùn)算的自然規(guī)律。這種規(guī)律不會(huì)以人的意志為改變，是客觀存在的。

（2）根據(jù)數(shù)學(xué)發(fā)展人為規(guī)定的：類(lèi)似的除法中，余數(shù)小于除數(shù)。雖然這并非除法運(yùn)算的自然規(guī)律，但這樣規(guī)定可以保證結(jié)果的唯一性。舉個(gè)例子“7÷2”，整數(shù)范圍內(nèi)有這樣四種結(jié)果（如下表），但這幾種結(jié)果根據(jù)乘法公式來(lái)檢驗(yàn)都是正確的。

被除數(shù)與除數(shù)分別相等的運(yùn)算，卻是不同的結(jié)果，像這種不確定性會(huì)讓數(shù)學(xué)推理變得更加復(fù)雜。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中這種形式的推理還是很常見(jiàn)的：

但如果沒(méi)有規(guī)定余數(shù)小于除數(shù)，那我們也就無(wú)法進(jìn)行進(jìn)一步的推理了，所以說(shuō)做此規(guī)定是為了運(yùn)算結(jié)果的準(zhǔn)確性，這樣的規(guī)定也同時(shí)促進(jìn)了數(shù)學(xué)邏輯的發(fā)展。

（3）根據(jù)某種需求或認(rèn)為習(xí)慣：就好比豎式計(jì)算，人們?cè)跊](méi)有計(jì)算機(jī)的時(shí)候，為了計(jì)算更簡(jiǎn)便，想出來(lái)過(guò)很多的方法，但最終被流傳下來(lái)的標(biāo)準(zhǔn)算法，不只是體現(xiàn)了數(shù)學(xué)規(guī)律，更重要的是人為規(guī)定的，為了更加簡(jiǎn)便。再比如概念命名，這也是人為規(guī)定的?！百|(zhì)數(shù)”這個(gè)概念最初被稱(chēng)為“數(shù)根”，之后才變?yōu)樗財(cái)?shù)或質(zhì)數(shù)。就如同上述所說(shuō)的結(jié)果應(yīng)寫(xiě)于等號(hào)的右邊，這也只是人們的習(xí)慣而已，不是判斷正確與否的依據(jù)。

我們?nèi)魧⒌谝环N稱(chēng)作“規(guī)律性知識(shí)”，二三兩種稱(chēng)作“規(guī)則性知識(shí)”，可以這樣說(shuō)規(guī)律性知識(shí)客觀性更強(qiáng)，規(guī)則性知識(shí)主觀性更強(qiáng)。不能僅僅將主觀性作為判斷正確與否的依據(jù)，更應(yīng)該將規(guī)律性知識(shí)作為判斷的依據(jù)。我們應(yīng)該鼓勵(lì)、指引并保護(hù)學(xué)生不被條條框框限定思維。

四、結(jié)語(yǔ)

學(xué)生在自然結(jié)構(gòu)下經(jīng)常會(huì)有錯(cuò)誤，這也無(wú)法避免。所以在教學(xué)中，要及時(shí)發(fā)現(xiàn)這些錯(cuò)誤，讓學(xué)生加深探究，自然而言地將自然結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化為加工結(jié)構(gòu)。我們要理解學(xué)生所犯的錯(cuò)誤都有一定的道理性，學(xué)生之所以會(huì)犯這種錯(cuò)誤，與數(shù)學(xué)規(guī)律和對(duì)規(guī)律的理解這兩方面有關(guān)，教師在課堂上就是要對(duì)這種道理性進(jìn)行探究。我們可以從以下幾個(gè)方面來(lái)探討：

（1）收集并整理學(xué)生所犯的錯(cuò)誤案例，比如課后作業(yè)、課堂練習(xí)、課堂發(fā)言以及考試中出現(xiàn)的錯(cuò)誤。

（2）判斷收集過(guò)來(lái)的案例是否為真的錯(cuò)誤，判斷的依據(jù)是看違背的是客觀規(guī)律或者是主觀規(guī)則，而辨別的標(biāo)準(zhǔn)主要看其違背的是客觀規(guī)律還是主觀規(guī)則。

（3）對(duì)錯(cuò)誤的原因進(jìn)行分析。這是最重要的，我們可以從學(xué)生的自然結(jié)構(gòu)來(lái)分析。

（4）開(kāi)展具有針對(duì)性的教學(xué)活動(dòng)，這種教學(xué)活動(dòng)的重點(diǎn)應(yīng)該是將自然結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化到加工結(jié)構(gòu)上去。

上面幾點(diǎn)的前三個(gè)方面是判斷的條件，第四個(gè)方面是解決的方法，只有有了判斷的依據(jù)，才能夠提出合理的解決辦法。只有這樣的課堂才能讓學(xué)生更好地將自然結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化為加工結(jié)構(gòu)，課堂效率才會(huì)更高。

作者簡(jiǎn)介：王黨英（1965-），小學(xué)高級(jí)教師，從事小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)工作36年。