模型思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

王曉君

摘? 要：《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011版）新增了核心概念——模型思想。在小學(xué)階段，這是第一次明確模型思想的基本理念和重要作用，這也是數(shù)學(xué)應(yīng)用價值的體現(xiàn)。在實(shí)際教學(xué)過程中，需要探討如何引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷初步的數(shù)學(xué)建模的過程，體會、感悟數(shù)學(xué)模型思想。

關(guān)鍵詞：模型思想;鴿巢問題

模型思想是一種數(shù)學(xué)素養(yǎng)，也是數(shù)學(xué)基本思想之一。“至今為止，數(shù)學(xué)發(fā)展所依賴的思想在本質(zhì)上有三個：抽象、推理、模型，其中抽象是最核心的。通過抽象，在現(xiàn)實(shí)生活中得到數(shù)學(xué)的概念和運(yùn)算法則，通過推理得到數(shù)學(xué)的發(fā)展，然后通過模型建立數(shù)學(xué)與外部世界的聯(lián)系”。

“抽象”“推理”“模型”這三個數(shù)學(xué)發(fā)展所依賴的思想在本文的課例《鴿巢問題》中都有滲透和體現(xiàn)，特別是“模型思想”。下面以此課為例，探討如何在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷初步的數(shù)學(xué)建模的過程，體會、感悟數(shù)學(xué)模型思想。

一、立足教材研究教材，深度挖掘教材中的模型思想

《鴿巢問題》是小學(xué)數(shù)學(xué)（人教版）第十二冊第五單元數(shù)學(xué)廣角的內(nèi)容。鴿巢問題是經(jīng)典的數(shù)學(xué)問題，又稱抽屜原理，解決問題的關(guān)鍵是能構(gòu)建合適的鴿巢或者抽屜。從教材的編排上來看，通過實(shí)物讓學(xué)生理解鴿巢問題的特點(diǎn)，進(jìn)而建立起模型，再運(yùn)用模型去解決實(shí)際問題。鴿巢問題需要學(xué)生用規(guī)范的數(shù)學(xué)語言來表述結(jié)論，這些對學(xué)生而言都是非常抽象，不好理解的。教材在本單元安排了三個例題，例1借助“把4支鉛筆放進(jìn)3個筆筒里，不管怎么放，總有一個筆筒里至少有2支鉛筆”的情境，讓學(xué)生明白這樣一個模型：如果把n+1個（n為非零自然數(shù)）物體任意放入n個抽屜，那么一定有一個抽屜里至少放進(jìn)了2個物體。教材呈現(xiàn)了一一列舉法和假設(shè)法。例2介紹了另一種類型的鴿巢問題：“把7本書放進(jìn)3個抽屜，不管怎么放，總有一個抽屜里至少放進(jìn)3本書?！痹诖祟}中，側(cè)重假設(shè)法，并用有余數(shù)的除法的形式來表示平均分的過程：7÷3=2（本）……1（本），以此來表達(dá)出假設(shè)法的思路，類推解決一系列相似的問題，從而了解鴿巢問題的另一種模型：如果把a(bǔ)個物體任意放入b個抽屜，那么一定有一個抽屜里至少放進(jìn)了（商+1）個物體（a>b，a不是b的倍數(shù)，且b為非零自然數(shù)）。例3是應(yīng)用鴿巢原理。教材通過這三個例題的編排，目的是讓學(xué)生經(jīng)歷“從具體情境中抽象出鴿巢問題—建立鴿巢問題的一般模型—推理出鴿巢模型的原理—運(yùn)用鴿巢原理解決問題”的過程。

二、以學(xué)生為本，將“學(xué)生經(jīng)歷模型思想形成的過程”作為課堂的落腳點(diǎn)

對于教師而言，既要使學(xué)生在觀察、操作中了解鴿巢原理的一般模型，能用鴿巢原理去解決問題，發(fā)展學(xué)生的思維，同時又不能讓學(xué)生按照公式來套用公式，這是非常難把握的。對于學(xué)生而言，“總有……至少……”的句式描述、理解起來都一樣的困難。雖說鴿巢原理在生活中有廣泛的應(yīng)用，學(xué)生也常常能遇到身邊的實(shí)例，但卻很難找到實(shí)際問題與鴿巢問題之間的聯(lián)系。

本課我們將教學(xué)目標(biāo)定位如下：

1. 使學(xué)生經(jīng)歷“鴿巢原理”的探究過程，建立“鴿巢原理”的基本數(shù)學(xué)模型，并能運(yùn)用模型來解決實(shí)際問題。

2. 通過動手操作和觀察、推理等數(shù)學(xué)活動，引導(dǎo)學(xué)生體會模型思想。

3. 感受數(shù)學(xué)與生活的緊密聯(lián)系。

教學(xué)重點(diǎn)：

經(jīng)歷探究的過程，理解鴿巢原理，并能用于解決生活中的實(shí)際問題;

教學(xué)難點(diǎn)：

理解“總有”“至少”的含義，能用數(shù)學(xué)語言準(zhǔn)備表達(dá)，構(gòu)建鴿巢原理的數(shù)學(xué)模型。

根據(jù)這樣的教學(xué)目標(biāo)和教學(xué)重難點(diǎn)，確定本節(jié)課的五個教學(xué)步驟，分別為：

（一）提出問題，初識模型

第一個教學(xué)環(huán)節(jié)，讓學(xué)生初步感受到這樣的一種簡單的模型：如果把n+1個物體任意放入n個抽屜，那么一定有一個抽屜里至少放進(jìn)了2個物體（n為非零自然數(shù)）。在這里沒有采用教材先給結(jié)論后證明的方法，是為了幫助學(xué)生更好地理解。先提出一個問題情境，把4支筆放到3個杯子里，有幾種擺法，讓學(xué)生列舉了所有的擺法以后進(jìn)行觀察發(fā)現(xiàn)，然后總結(jié)結(jié)論，這是抽屜原理初次被發(fā)現(xiàn)的過程，科學(xué)家們也是通過這樣的觀察發(fā)現(xiàn)逐步完善得到抽屜原理的模型。讓學(xué)生感受到抽屜原理其實(shí)是很生活化很常見的一種規(guī)律、模型。從一一列舉的結(jié)果中發(fā)現(xiàn)，再回到列舉的結(jié)果去理解“總有”“至少”的意思，對學(xué)生來說是最容易的。發(fā)現(xiàn)規(guī)律以后，反復(fù)讓學(xué)生用數(shù)學(xué)的語言去表達(dá)結(jié)論，同時在4只蘋果放入3個抽屜時反問你是怎么想的，引出假設(shè)法，為后面進(jìn)一步建立模型孕伏。

（二）逐步深入，建立模型

借助直觀操作，使學(xué)生經(jīng)歷知識的探究、模型的建立過程。5支筆放入3個杯子里，由于數(shù)據(jù)比較小，為學(xué)生自主探索和理解“鴿巢問題”提供了很大的空間。用枚舉法，可以把所有情況擺出來，運(yùn)用直觀的方式發(fā)現(xiàn)并描述，也可以動手?jǐn)[一擺，用簡便的假設(shè)法，即平均分的方法，用算式表達(dá)，然后通過解釋兩個1的含義，引發(fā)學(xué)生思維步步深入。在這個環(huán)節(jié)，重點(diǎn)是假設(shè)法，讓學(xué)生理解為什么只要擺一種方法就可以說明了，這一種方法不是把所有筆放在一個杯子里，這是偶然性，這一種方法是要盡可能地平均分，讓每個杯子里都有筆，而且第一次平均分完，第二次余下的筆要再次平均分，這是學(xué)生初步建立并理解模型，而并非是套用算式的重要步驟。

（三）深入研究，完善模型

在前兩個環(huán)節(jié)探索的基礎(chǔ)上，學(xué)生逐步優(yōu)化，學(xué)會運(yùn)用一般性的數(shù)學(xué)方法來思考問題，得出一般性的結(jié)論。在這一個環(huán)節(jié)，使學(xué)生經(jīng)歷了一個初步的“數(shù)學(xué)證明”的過程，體驗(yàn)和理解“鴿巢問題”的基本模型。這樣的教學(xué)過程，有助于學(xué)生能力的提升、數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)。

（四）利用模型，解決問題

提供豐富了生活素材，鴿巢問題原本就是源于生活。這個教學(xué)環(huán)節(jié)讓學(xué)生能夠把生活情境和數(shù)學(xué)模型間建立起聯(lián)系，能運(yùn)用這個模型來解決生活中的實(shí)際問題。自己編題的環(huán)節(jié)，激發(fā)學(xué)生的興趣，發(fā)展創(chuàng)造力，學(xué)生的素材有飛鏢的環(huán)數(shù)、借書的本數(shù)、病房安排等等，回歸生活，用模型思想去指導(dǎo)、解決生活中的實(shí)際問題。

（五）小結(jié)提升，回顧模型

鴿巢問題這個內(nèi)容盡管很難上，但通過以上的教學(xué)，學(xué)生的思考與表達(dá)都很清晰，對鴿巢原理的理解已相當(dāng)?shù)轿?，教學(xué)也較順暢，由此看來，不要怕課堂上浪費(fèi)時間，一定要讓學(xué)生經(jīng)歷從實(shí)際問題抽象出模型，建立完善模型，并運(yùn)用模型的過程，這是至關(guān)重要的。

三、從《鴿巢問題》看“模型思想”，準(zhǔn)確定位方能循序漸進(jìn)

模型化思想作為一種基本的教育教學(xué)理念，應(yīng)對教師的教學(xué)起到引領(lǐng)作用。用模型思想去指導(dǎo)教學(xué)，對數(shù)學(xué)教材的教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行再認(rèn)識，將模型思想納為教學(xué)目標(biāo)，貫穿教師的整個教學(xué)設(shè)計(jì)中。作為教師，要充分挖掘與模型思想有關(guān)的貼近學(xué)生生活經(jīng)驗(yàn)的問題情境，便于學(xué)生理解復(fù)雜而抽象的模型。

數(shù)學(xué)模型教學(xué)處理不當(dāng)就容易落入為解題而解題的誤區(qū)，由此引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷模型建立的過程就顯得尤其重要。比如本文的課例就是一個很好的示范，從問題情境中抽象出數(shù)學(xué)問題—嘗試建立數(shù)學(xué)模型—完善數(shù)學(xué)模型—應(yīng)用數(shù)學(xué)模型解決問題。本節(jié)課的目的不是讓學(xué)生簡單地記住鴿巢原理的公式解題，而是讓學(xué)生經(jīng)歷模型思想建構(gòu)的過程，不僅知其然更知其所以然。

對問題情境的數(shù)學(xué)化是建構(gòu)數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)，也是用模型化思想方法解決問題的前提。在平時的教學(xué)中，教師更要加強(qiáng)學(xué)生對問題情境數(shù)學(xué)化的能力，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷模型化的過程，注重?cái)?shù)學(xué)模型的運(yùn)用，循序漸進(jìn)地培養(yǎng)學(xué)生的模型思想。

作者簡介：王曉君（1987-），碩士研究生，中小學(xué)一級教師，從事小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)。