深究，讓探究指向數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培育

摘? 要：“探索規(guī)律”是小學(xué)數(shù)學(xué)教材中不同于基礎(chǔ)知識的一條內(nèi)容線索，第二學(xué)段更是獨立編排，不屬于《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》規(guī)定的必學(xué)和必考內(nèi)容。其有趣的專題、問題解決式的編排、超越雙基的彈性化要求，對于培養(yǎng)高層次數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)具有獨特價值。數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)引領(lǐng)下的規(guī)律探索，不僅要探究，更要深究。讓探究與精準(zhǔn)分析、多維探析、深層剖析等有機整合，推動數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)由問題解決走向數(shù)學(xué)思維把握乃至理性精神培育。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)核心素養(yǎng);深究

研究表明，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)體系可以劃分為由低到高的四個層面：數(shù)學(xué)雙基層、問題解決層、數(shù)學(xué)思維層、數(shù)學(xué)精神層。如圖1。

“探索規(guī)律”是小學(xué)數(shù)學(xué)教材中不同于基礎(chǔ)知識的一條內(nèi)容線索，第二學(xué)段更是獨立編排，不屬于《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》規(guī)定的必學(xué)和必考內(nèi)容。其有趣的專題、問題解決式的編排、超越雙基的彈性化要求，對于培養(yǎng)高層次數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)具有獨特價值。數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)觀照下的規(guī)律探索，不僅要探究，更要深究;不僅要動手，更要動腦;邊探邊思，探思結(jié)合，讓規(guī)律探索不斷指向高層次數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培育。下面僅以蘇教版四年級“多邊形內(nèi)角和”為例，談?wù)劸唧w的做法。

一、精準(zhǔn)分析，涵養(yǎng)抽象眼光

情境1：探索四邊形的內(nèi)角和。

教師一般讓學(xué)生依據(jù)三角形內(nèi)角和以及從特殊到一般的思路，自主提出四邊形內(nèi)角和問題并展開探究。學(xué)生發(fā)現(xiàn)，四邊形中最特殊的是長方形、正方形，它們的內(nèi)角和都是360°，從而容易提出所有四邊形的內(nèi)角和可能都等于360°，進(jìn)而從相對特殊的平行四邊形和直角梯形等入手進(jìn)行繼續(xù)探究。然而交流展示時不難發(fā)現(xiàn)，學(xué)生想到的幾乎都是“量”與“拼”，很少有學(xué)生能自主想到“分”。

“量”和“拼”本質(zhì)上都是“做”，而“分”本質(zhì)上是“看”，這種“看”實際是利用四邊形與三角形之間的關(guān)系，由三角形內(nèi)角和推理得到四邊形的內(nèi)角和。從“量”和“拼”拓展到“分”，并非只是方法數(shù)量的增加，更是涉及了方法視角的改變，即由感性的直觀操作過渡到相對抽象的邏輯推理。學(xué)生之所以不能自主想到“分”，是因為學(xué)生無法自主建立起這樣一種“抽象”的眼光。

研究表明，這種抽象一般要經(jīng)歷兩個層次：對應(yīng)和內(nèi)涵。所謂對應(yīng)，就是給這種方法起個名字;所謂內(nèi)涵，就是要分析它的本質(zhì)。在上述教學(xué)中要讓學(xué)生戴上“分”這樣一副抽象的“眼鏡”，需要教師適時點撥：這些圖形與已經(jīng)學(xué)過的三角形有什么關(guān)系？你能用三角形的內(nèi)角和推算出它們的內(nèi)角和嗎？更需要精準(zhǔn)分析：這種“分”與過去所學(xué)的“量”和“拼”有什么不同？教學(xué)實踐表明，適時點撥能讓大多數(shù)學(xué)生能輕松想到用“分”的方法去求平行四邊形和梯形的內(nèi)角和，并以此為基礎(chǔ)推算一般四邊形的內(nèi)角和;適時分析，能讓大多數(shù)學(xué)生理解這里的“分”本質(zhì)上是由動手實驗轉(zhuǎn)換到動腦推理，借助推理探求新知。一系列深究，使得抽象的眼光得以真正建立。

二、多維探析，引發(fā)高階思維

情境2：探索五邊形、六邊形的內(nèi)角和。

教師提供五邊形、六邊形材料，同桌兩人運用“分”的方法，由三角形的內(nèi)角和探究五邊形、六邊形的內(nèi)角和。交流展示時可以發(fā)現(xiàn)，五邊形相對容易，有的學(xué)生甚至還想到了把五邊形分成一個四邊形和一個三角形，但評講時教師對該分法視而不見;六邊形相對困難，不少學(xué)生無從下手。通過課后訪談筆者了解到，教師之所以對學(xué)生的“另類”分法持忽略態(tài)度，是源于其認(rèn)為該分法所對應(yīng)的算法與最后的一般算法不一致，它的呈現(xiàn)會干擾規(guī)律的探索與發(fā)現(xiàn)。

從四邊形到五邊形、六邊形，隨著邊數(shù)增加，研究的對象變得越來越復(fù)雜，方法也變得越來越多元，對思維的要求也越來越高。澳大利亞學(xué)者比格斯曾提出SOLO思維結(jié)構(gòu)分類理論，該理論認(rèn)為，不論是兒童還是成人，高層次思維結(jié)構(gòu)的形成一般要經(jīng)歷前結(jié)構(gòu)、單一結(jié)構(gòu)、多元結(jié)構(gòu)、關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)、抽象拓展結(jié)構(gòu)等五個階段。由此看來，學(xué)習(xí)四邊形內(nèi)角和時剛剛掌握的“分”法，只是將“前結(jié)構(gòu)”提升為一種清晰的新結(jié)構(gòu)，該結(jié)構(gòu)還非常膚淺、簡單，屬于“單一結(jié)構(gòu)”階段，所以五邊形的遷移相對容易，而六邊形探究相對困難。

顯然，在后續(xù)學(xué)習(xí)中，多元方向的探究有可能實現(xiàn)思維的突破。因而上述五邊形的“另類”分法，其實是一種可貴的探索。雖然它可能意味著該學(xué)生尚未認(rèn)識到分割最佳的結(jié)果（三角形），表征著一種低層次的轉(zhuǎn)化，但它卻呈現(xiàn)了難得的另一種可能。因此，教師應(yīng)及時肯定該學(xué)生的想法和算法，進(jìn)而展開深究：仔細(xì)觀察其中的四邊形，聯(lián)系剛剛所學(xué)的四邊形分法，你又有什么發(fā)現(xiàn)？引導(dǎo)學(xué)生感悟遞推的美妙，理解分成三角形的奧妙，嘗試將這些分法運用到六邊形的探究中。

教學(xué)實踐表明，單一結(jié)構(gòu)一旦被突破，學(xué)生還能找到更多“分”法，如從一個頂點開始，由內(nèi)部的一個點出發(fā)，抑或從某條邊上的某一個點出發(fā)，等等。不過，高階思維的建構(gòu)還需要進(jìn)一步深究：這些貌似不同的“分”法有沒有相同的地方呢？不少學(xué)生能認(rèn)識到，“分”法雖有所不同，但最終都可以分成若干個三角形，都恒等于若干個180°。這樣，深究又讓高層次的關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)、抽象結(jié)構(gòu)的把握成為現(xiàn)實。

三、深層剖析，激活直觀想象

情境3：探索多邊形內(nèi)角和的一般規(guī)律。

教師讓學(xué)生自己畫出一些七邊形或八邊形，繼續(xù)用“分”的方法探索它們的內(nèi)角和，再按照圖形名稱、邊數(shù)、分成的三角形個數(shù)、內(nèi)角和等，把已有探究結(jié)果整理成表格，看看有什么發(fā)現(xiàn)。在教學(xué)現(xiàn)場可以看到，對學(xué)生來說，畫出七邊形、八邊形等更為復(fù)雜的多邊形似乎是一個不小的挑戰(zhàn)，列表整理也多是一種耳提面命式的操作。

多邊形有凸多邊形和凹多邊形，小學(xué)階段沒有特別說明，就默認(rèn)為凸多邊形范疇。筆者曾嘗試畫出七邊形、八邊形等，發(fā)現(xiàn)一不小心就畫成了凹著的七邊形和八邊形，這里讓學(xué)生畫多邊形，可能會讓他們遭遇到凹多邊形的情形，從而超越最近發(fā)展區(qū)。

不過，這種探究并非沒有價值，關(guān)鍵要使之成為提升思維水平的一個契機，而這一目標(biāo)的達(dá)成還是離不開深究。不妨在學(xué)生動手探究遇到困難時，適時提問：隨著邊數(shù)的增加，多邊形變得越來越復(fù)雜，“分”還是一種很好的方法嗎？從而讓學(xué)生感受到“分”法的局限性;進(jìn)而追問：動手操作已經(jīng)不能很好地解決問題了，能不能動動腦筋找找其中是否蘊藏著什么規(guī)律呢？從而讓列表整理成為模型思想引領(lǐng)下的探究，而非盲目的數(shù)學(xué)運作。

相關(guān)規(guī)律的解釋，如多邊形內(nèi)角和為什么總與三角形內(nèi)角和有關(guān)？分成的三角形的個數(shù)為什么總比多邊形的邊數(shù)少2？可以引導(dǎo)學(xué)生由簡單圖形激活對復(fù)雜多邊形的直觀想象，借助想象剖析：因為多邊形都可以分成若干個三角形，而分成的三角形中，總有兩個三角形中的兩條邊是多邊形的邊，而其余的三角形，都只有一條邊是多邊形的邊，所以三角形的個數(shù)總比多邊形的邊數(shù)少2，從而實現(xiàn)對算法模型及其要素關(guān)系的通透理解。

對照數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)體系塔的更高目標(biāo)，不難發(fā)現(xiàn)，多邊形內(nèi)角和的探究，還需要更為深入的反思：其方法從“量”與“拼”到“分”，再從“分”優(yōu)化為“算”，這些變化是否僅僅出于簡便的考慮？對于某一個多邊形來說，如果“量”的結(jié)果與“算”的結(jié)果不一致，是不是一定意味著“算”錯了？讓學(xué)生感悟這個規(guī)律并非動手測量的直接結(jié)果，而是人類理性思維綻放的花朵，進(jìn)而讓學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培育由數(shù)學(xué)思維的把握走向更高層次的數(shù)學(xué)精神的領(lǐng)悟。

總之，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)引領(lǐng)下“探索規(guī)律”的教學(xué)，需要教師把一系列連貫的規(guī)律探究活動合理地劃分為若干個環(huán)節(jié)，讓探究適時與深究整合，引導(dǎo)學(xué)生由問題解決層走向數(shù)學(xué)思維層，訓(xùn)練抽象、推理、想象等數(shù)學(xué)思維方式;讓深究適時與反思結(jié)合，引導(dǎo)學(xué)生由數(shù)學(xué)思維層進(jìn)一步走向數(shù)學(xué)精神層，洞悉數(shù)學(xué)獨特的理性和人文精神。

基金項目：此文系江蘇省教育科學(xué)“十二五”規(guī)劃（2015年度）課題“小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)領(lǐng)域操作要義的創(chuàng)新研究”（編號：D/2015/02/285）成果之一。

作者簡介：朱潔芬（1966-），本科學(xué)歷，教育碩士學(xué)位，中小學(xué)高級教師，從事小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)。