透視高考中的“平面折疊型”問(wèn)題

安徽

所謂“平面折疊型”問(wèn)題，即將平面圖形通過(guò)折疊變成立體圖形,讓靜止問(wèn)題動(dòng)態(tài)化,有效考查空間線線、線面、面面的關(guān)系，更有效考查空間角、空間距離、空間幾何體的體積與表面積，考查直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)，使得對(duì)立體幾何的考查顯得更加豐富多彩.“平面折疊型”問(wèn)題是近幾年高考和?？伎疾榱Ⅲw幾何的熱點(diǎn)，比如2016年和2018年全國(guó)卷解答題就有考查.下面結(jié)合典型試題予以介紹，供參考.

1.正方形中的折疊

【例1】如圖，在一個(gè)邊長(zhǎng)為a的正方形S1S2S3S4內(nèi)，有一個(gè)小正方形和四個(gè)全等的等邊三角形.將四個(gè)等邊三角形折起來(lái)，使S1，S2，S3，S4重合于點(diǎn)S,且折疊后的四棱錐S-ABCD的外接球的表面積是16π，則a=________.

【評(píng)注】本題對(duì)正方形中的圖形進(jìn)行折疊，形成一個(gè)所有棱都相等的特殊四棱錐.主要考查折疊問(wèn)題的特征、特殊四棱錐外接球及其表面積計(jì)算等.注意所有棱都相等的特殊四棱錐，可以補(bǔ)成一個(gè)正八面體，其外接球的球心就是正方形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn).

2.等腰梯形中的折疊

【例2】如圖，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD,AB=2DC，E為AB的中點(diǎn)，將△ADE與△BEC分別沿ED，EC向上折起，使A，B重合于點(diǎn)P.

(Ⅰ)在折后的三棱錐P—DCE中，證明：PE⊥CD;

【解析】(Ⅰ)折后的三棱錐P—DCE如圖所示.取線段CD的中點(diǎn)F,連接PF,EF.在△PDC中，PD=PC,F是CD的中點(diǎn)，所以PF⊥CD.

在△EDC中，ED=EC,F是CD的中點(diǎn)，

所以EF⊥CD.因此CD⊥平面PEF.

而PE?平面PEF，所以PE⊥CD.

(Ⅱ)當(dāng)∠DEC=60°時(shí)，三棱錐P—DCE是正四面體，設(shè)其棱長(zhǎng)為a.

【評(píng)注】證明線線垂直、多面體的體積與表面積的計(jì)算，在平面折疊型問(wèn)題中常常出現(xiàn).

本題主要考查等腰梯形折疊成立體圖形、空間直線與直線、直線與平面、平面與平面之間的位置關(guān)系、由三棱錐的體積求表面積和平面幾何相關(guān)知識(shí)，體現(xiàn)對(duì)直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算三種核心素養(yǎng)的考查.本題折疊前后，不變的有ED=EC,PD=PC,△PDE全等于△PEC,但△PDE與△PEC的位置發(fā)生了變化.

3.正三角形中的折疊

【例3】如圖，正三角形ABC的邊長(zhǎng)為a，將它沿平行于BC的線段PQ折起(其中P在AB邊上，Q在AC邊上)，使平面APQ⊥平面BPQC.D,E分別是PQ,BC的中點(diǎn).

(Ⅰ)證明：PQ⊥平面ADE；

(Ⅱ)若折疊后，A，B兩點(diǎn)間的距離為d，求d的最小值.

【解析】(Ⅰ)連接AD,DE,AE.在△APQ中，AP=AQ，D是PQ的中點(diǎn)，所以AD⊥PQ.又因?yàn)镈E是等腰梯形BPQC的對(duì)稱軸，所以DE⊥PQ.

而AD∩DE=D,所以PQ⊥平面ADE.

(Ⅱ)因?yàn)槠矫鍭PQ⊥平面BPQC,AD⊥PQ，所以AD⊥平面PBCQ.連接BD，則d2=AD2+BD2.

【評(píng)注】證明線面垂直、求點(diǎn)與點(diǎn)的距離在平面折疊型問(wèn)題中常常出現(xiàn).本題主要考查正三角形折疊成立體圖形、線面垂直的判定、面面垂直的性質(zhì)、建立目標(biāo)函數(shù)求最值，在圖形變化中考查直觀想象，在推理證明與建立函數(shù)中考查邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算.本題將正三角形折成了一個(gè)直二面角，折疊后的△APQ、梯形BPQC與折疊前的不變，只是位置發(fā)生了改變(垂直).A，B兩點(diǎn)間的距離發(fā)生了變化，且隨平行線PQ位置的變化而變化.因此要建立d關(guān)于x的目標(biāo)函數(shù)，利用函數(shù)求d的最小值.

4.平行四邊形中的折疊

【例4】如圖，在平行四邊形ABCD中，4AB2+2BD2=1，AB⊥BD，沿BD將四邊形折成直二面角A-BD-C.

(Ⅰ)證明：AB⊥BC，CD⊥AD；

(Ⅱ)求三棱錐A—BCD外接球的體積.

【解析】(Ⅰ)因?yàn)槠矫鍮DC⊥平面ABD，AB⊥BD，二面角A-BD-C是直二面角，

平面BDC∩平面ABD=BD,所以AB⊥平面BDC.

而B(niǎo)C?平面BDC,所以AB⊥BC.同理可得CD⊥AD.

(Ⅱ)取AC的中點(diǎn)O,則O是直角三角形ABC和直角三角形ADC斜邊的中點(diǎn)，

【評(píng)注】本題以特殊的平行四邊形為載體，主要考查折疊問(wèn)題的特征、線線垂直的判定、線面垂直的判定與性質(zhì)、面面垂直的性質(zhì)、四面體外接球的體積計(jì)算等.這里的平行四邊形的一條對(duì)角線與一邊垂直，先注意正確畫(huà)圖，再利用折疊前后垂直不變性和度量不變性處理證明問(wèn)題.通過(guò)觀察折疊前后位置關(guān)系與度量關(guān)系的變化情況,尋找三棱錐A—BCD外接球的球心是解題的關(guān)鍵.多面體的外接球問(wèn)題是近幾年高考的熱點(diǎn)，常常與相關(guān)知識(shí)融合，具有背景新、結(jié)構(gòu)新、解法新的特點(diǎn)，要引起足夠重視.

5.直角三角形中的折疊

(Ⅰ)證明：AD⊥平面DBCE；

(Ⅱ)求二面角A-EC-B的余弦值.

即∠ADB=90°,AD⊥DB.

而平面ADE∩平面DBCE=DE,所以AD⊥平面DBCE.

(Ⅱ)解法1(幾何法)：過(guò)D作DF⊥CE,交CE的延長(zhǎng)線于F，連接AF.

易知AF⊥FC,因此∠AFD為二面角A-EC-B的平面角.

設(shè)平面AEC的法向量為m=(x,y,z),

取m=(-4,3,4).又因?yàn)榈酌鍰BCE的一個(gè)法向量為n=(0,0,1),

6.矩形中的折疊

【例6】如圖，在矩形ABCD中，AB=2，BC=1，E為DC的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段EC(端點(diǎn)除外)上一動(dòng)點(diǎn).現(xiàn)將△AFD沿AF折起，使平面ABD⊥平面ABC.在平面ABD內(nèi)過(guò)點(diǎn)D作DK⊥AB，K為垂足.

(Ⅰ)證明：DK⊥AF；

(Ⅱ)設(shè)AK=t，EF=x,求t=f(x)的解析式，并確定f(x)的值域.

【解析】(Ⅰ)因?yàn)槠矫鍭BD⊥平面ABC,

平面ABD∩平面ABC=AB,DK⊥AB,AB?平面ABC,

所以DK⊥平面ABC.

又因?yàn)锳F?平面ABC,所以DK⊥AF.

(Ⅱ)如圖，作FG⊥AB于G.因?yàn)镋F=x,所以DF=1+x.

因?yàn)槠矫鍭BD⊥平面ABC,所以FG⊥平面ADB.

連接DG,則∠DGF=90°.

在Rt△DKG中,KG=AG-AK=DF-AK=1+x-t,

于是AD2-AK2=DG2-KG2,

【評(píng)注】本題主要考查矩形折疊成立體圖形、空間直線與直線、直線與平面、平面與平面之間的位置關(guān)系、構(gòu)建方程、建立目標(biāo)函數(shù)等，有一定的難度.這里AB⊥BC，F(xiàn)C⊥BC不變,四邊形ABCF，三角形ADF各邊長(zhǎng)不變，AD，BC，DC的位置有變化，線段DB，DC的長(zhǎng)度有變化.