重溫知識發(fā)展之路，體驗自主探索之趣
——“點到直線的距離”的溯源之旅

陜西

普通高中課程標實驗教科書在數(shù)學內容編排上采取了“明確相關內容在不同模塊中的要求及其前后聯(lián)系，注意使學生在已有知識的基礎上螺旋上升、逐步提高”的方式，利于學生學習循序漸進、逐步發(fā)展，但也導致學生知識支離破碎，不利于構建完整的知識體系.因此，教師應該引導學生以居高臨下的態(tài)勢，以追溯賞析的方式，重溫知識的發(fā)生發(fā)展過程，體驗自主探索的樂趣，幫助學生形成完整的知識體系.本文僅以“點到直線的距離”為例，談談引導學生經(jīng)歷“溯源之旅”的初步認識.

一、“溯源之旅”案例賞析

1.“溯源之旅”的出發(fā)點

在《普通高中課程標實驗教科書·數(shù)學4(必修)》P99第二章平面向量學習中，教材給出了點到直線的距離公式的向量法證明，記為證法1.

證法1：如圖所示，P(x0,y0)是直線外一定點，M(x,y)是直線上任意一點，n0是直線l：Ax+By+C=0的法向量n=(A,B)的單位向量，

又點M(x,y)為直線l上任意一點，所以C=-(Ax+By),

師：這種證法的本質是什么呢？它與直線l上任意一點M(x,y)的選取是否有關呢？

生1：向量法是將點到線的距離問題轉化成了直線上任意一點M與給定點P連線的向量在直線法向量上的射影的長度，可簡單地說“射影的長即距離”，它與直線上點P的位置無關.

師：既然“射影的長即距離”是該證法的本質，那么是否一定要對直線的法向量單位化呢？

師：能否借助直線l的方向向量，求得點到直線的距離呢？

證法2：取直線l的方向向量為v=(B,-A)，則

又點P(x,y)為直線l上任意一點，所以C=-(Ax+By),

2.“溯源之旅”的追溯點

師：退一步想，求點到直線的距離最樸素、最自然的想法是什么呢？

生4：只需過點P作PH⊥l,垂足為H，先求直線PH的方程，從而可求出交點H的坐標，再用兩點間的距離公式求|PH|.

生5：我代表我們小組與大家分享我們組的證明方法，請大家提出寶貴建議.

過點P作PH⊥l于H(a,b)，則直線PH：Bx-Ay=Bx0-Ay0.

生6：我認為用消元法解方程組時，需要對A，B是否為0進行討論，同時，只需求得垂足H的橫坐標a,再利用A(b-y0)=B(a-x0)直接求得b-y0的表達式更簡潔.以下我代表我們組交流我們組的探究成果.

(3)當A≠0,B≠0時，過點P作PH⊥l于H(a,b)，則直線PH：Bx-Ay=Bx0-Ay0.

師：上述的方程和計算雖然稍顯繁瑣，但其中的分類討論、規(guī)范表達和多字母運算的能力訓練值得大家重視.當然在具體計算和操作時，必然會受到字母參數(shù)過多及運算過程復雜的困擾，這也正是大家能力提升的生長點.

師：證法3中導致運算繁瑣的成因是什么？能否對證法作進一步簡化呢？

生7：我們組認為，可從條件出發(fā)向(a-x0)和(b-y0)靠攏，于是，對第三種類型作如下改進.

由①2+②2得(A2+B2)(a-x0)2+(A2+B2)(b-y0)2=(Ax0+By0+C)2,

師：我們尤其要注意條件到結論的目標意識和整體代換，證法4的表達和計算方式可能更符合大家的現(xiàn)實能力和水平，也有助于更好的突出條件到目標的指向性，對提升大家方程變形和整體運算能力很有教益.當然，在以上的計算中，也可以利用換元法：

師：證法3、證法4都是利用解析法將幾何問題代數(shù)化.我們能否利用直角三角形的面積公式來解決點到直線距離的求解呢？

證法5：(3)由A·B≠0知直線l必與兩坐標軸相交，如圖，作PM∥x軸交直線l于M，作PN∥y軸交直線l于N，作PH⊥l于H，則d=|PH|.

3.“溯源之旅”的生長點

生8：老師，空間點到平面的距離有沒有類似公式呢？

師：生8這個“節(jié)外生枝”的類比聯(lián)想問的好！解決了平面內點到線的距離問題，大家自然想到區(qū)別于《選修2-1》中向量法求空間點到面的距離的公式.

師：大家能否大膽想想平面方程是什么樣？空間點到平面的距離公式是什么樣？

師：很好，這個僅依賴初等方法，根據(jù)《必修2》立體幾何初步中平面的確定條件、《選修2-1》空間向量等知識可得到證明.

平面內點到線的距離可推廣到空間點到面的距離，并有如下基本結論：

(1)在空間直角坐標系中，平面α的一般方程為Ax+By+Cz+D=0(A,B,C,D是不全為0的實數(shù))，則平面α的一個法向量n=(A,B,C).

證明：設平面α內不共線三點為(xi,yi,zi)(i=1,2,3)，則

Ax1+By1+Cz1+D=0， ①

Ax2+By2+Cz2+D=0， ②

Ax3+By3+Cz3+D=0， ③

①-②

得A(x1-x2)+B(y1-y2)+C(z1-z2)=0， ④

①-③

得A(x1-x3)+B(y1-y3)+C(z1-z3)=0， ⑤

由④，⑤可知，(A,B,C)·(x1-x2,y1-y2,z1-z2)=0且(A,B,C)·(x1-x3,y1-y3,z1-z3)=0，

所以n=(A,B,C)是平面α的法向量.

又點P(x,y,z)為平面α內任意一點，所以D=-(Ax+By+Cz),

師：空間點到面的距離公式雖然涉及高等數(shù)學空間解析幾何知識，但我們在合情推理的基礎上，用初等方法易于求出平面方程，得到了空間點到平面的距離公式.不難看出，空間點到面的距離公式是平面內點到線距離公式的推廣，平面內點到線距離公式是空間點到面距離公式的特例.

4.“溯源之旅”的落腳點

對于空間距離除幾何法、向量法、體積法外，公式法不失為一種有效的途徑.以下僅就點到平面的距離舉例，讓學生在自主探索中賞析品味用初等方法解決有高等數(shù)學背景問題的樂趣.

例1.在底面邊長與高都為2的正四棱錐P-ABCD中，試求底面中心O到側面的距離.

簡析1：如圖，以底面中心O為原點建立空間直角坐標系O-xyz，則A(1,1,0),B(-1,1,0),P(0,0,2),設平面PAB的方程為Ax+By+Cz+D=0，則將以上3個點的坐標代入計算得A=0,B=-D,2C=-D，

所以平面PAB的方程為2y+z-2=0,

簡析2：如圖，以底面中心O為原點建立空間直角坐標系O-xyz，A(1,1,0),B(-1,1,0),P(0,0,2),設平面PAB內任意一個動點Q(x,y,z),則

簡析3：如圖，以底面中心O為原點建立空間直角坐標系O-xyz，A(1,1,0),B(-1,1,0),P(0,0,2),設平面PAB內任意一個動點Q(x,y,z),則

【評析】利用點到平面的距離公式求解，只需先求得平面的方程，然后用待定系數(shù)法、共面向量定理、空間向量基本定理等初等方法求平面方程運算都很簡便.

例2.如圖，在空間直角坐標系中有單位正方體A1B1C1D1-ABCD.

(2)求點C1到平面A1BD的距離.

簡析：(1)由題意有A1(0,0,1),B(1,0,0),D(0,1,0),C1(1,1,1).設平面A1BD的方程Ax+By+Cz+D=0，則將A1(0,0,1),B(1,0,0),D(0,1,0)三個點的坐標代入計算得A=B=C=-D,

所以平面A1BD的方程為x+y+z-1=0,其法向量n=(1,1,1),

【評析】此解要用待定系數(shù)法求得平面A1BD的方程，本題兩問可利用結論及距離公式同時解決.

例3.已知點M(-1,1,-2)，平面α過原點，且垂直于向量n=(1,-2,2),求點M到平面α的距離.

簡析：由題意可設平面α的方程為Ax+By+Cz=0,則由n⊥平面α,可知

(A,B,C)=λn=(λ,-2λ,2λ)，

所以平面π的方程為x-2y+2z=0,

【評析】待定系數(shù)法求得平面方程，再利用點到平面的距離公式十分簡捷.

二、“溯源之旅”的感悟

距離問題是培養(yǎng)學生直觀想象、邏輯推理和數(shù)學運算素養(yǎng)的很好載體.中學的距離問題包括點到點的距離、點到線的距離、點到面的距離、線到線的距離、線到面的距離、面到面的距離和球面上兩點間的距離七大類型，它們之間可以相互轉化，其證明方法既可以用幾何法，也可以用向量法.對平面內點到線的距離問題，我們以向量法證明為出發(fā)點，追溯其最自然的算法，體驗其中的解題思想，并將其推廣到空間，相關結論在解決空間距離中發(fā)揮了重要作用.經(jīng)歷了“點到直線的距離”的溯源之旅，學生對距離問題的整體認識有了進一步的提高，對其中的數(shù)學思想和方法有了深刻的領悟.

荷蘭著名數(shù)學教育家弗萊登塔爾曾說：“算法意味著鞏固,意味著由一個平臺向更高點的跳躍.”“溯源之旅”是引導學生對所學知識進行“算法化”的思維躍升過程.因此，要立足提升學生的核心素養(yǎng)，遵循以下原則開展有效的探索活動：

1.發(fā)展性原則：通過探本溯源、理清聯(lián)系、明晰方向、預知未來，進一步明確知識的發(fā)生、發(fā)展過程.

2.主體性原則：以學生為主體自主探究，引導學生經(jīng)歷探索全程，享受其中的樂趣.

3.完整性原則：選擇適宜的時機，保證一定的時間和空間，讓學生完整體驗知識發(fā)生、發(fā)展過程，保證學生對知識模塊有一個較完整的認識.

溯源之旅中，隨著學生自主探究活動的不斷展開，新問題不斷產(chǎn)生，教學成果往往超乎預設之外.這就需要教師靈活機智地、有針對性地指導、點撥、督促，讓學生在自主探索中充分經(jīng)歷知識的發(fā)生、發(fā)展過程，獲得最優(yōu)化的課堂學習效益.同時，教師對教材的理解和感悟，在很大程度上影響著預設水平和生成質量，因而，教師的功底，也是一種體現(xiàn)教材和課標指向的隱性預設，而這種最大的、全方位的預設成為教師引領溯源之旅的關鍵所在.