讓學(xué)生成為自主的發(fā)現(xiàn)者
——《帶余除法》余數(shù)與除數(shù)大小關(guān)系的發(fā)現(xiàn)教學(xué)探析

鄭 慧

“讓學(xué)生成為自主的發(fā)現(xiàn)者”，越來越成為廣大教師的教學(xué)共識(shí)。但如何“讓學(xué)生成為自主的發(fā)現(xiàn)者”則需要精心地設(shè)計(jì)和有效地實(shí)施。在一次與浙江省新思維教科院合作磨課的活動(dòng)中，我執(zhí)教《帶余除法》一課中對“余數(shù)與除數(shù)”關(guān)系部分的教學(xué)處理尤其得到大家的認(rèn)可，學(xué)生普遍能夠借助操作活動(dòng)，積極、自主地探知余數(shù)和除數(shù)之間的關(guān)系。經(jīng)由新思維教研員的共同點(diǎn)評、分析，使我對驅(qū)動(dòng)和支持學(xué)生自主學(xué)習(xí)有了更深的認(rèn)識(shí)，以下特作整理，與廣大同行分享。

【教材分析】

《帶余除法》是人教版二年級下冊第六單元的內(nèi)容。“余數(shù)為什么比除數(shù)小”是《帶余除法》一課的學(xué)習(xí)難點(diǎn)。人教版教材編排了用小棒擺正方形的操作活動(dòng)，通過逐漸增加小棒的總根數(shù)得出一組聯(lián)系且有變化的算式（除數(shù)相同，被除數(shù)和余數(shù)發(fā)生變化），進(jìn)而發(fā)現(xiàn)余數(shù)和除數(shù)之間的關(guān)系。

擺小棒的操作活動(dòng)有其自身的優(yōu)越性。首先，擺小棒有利于學(xué)生深入理解帶余除法的意義。比如9÷4=2（個(gè)）……1（根），學(xué)生聯(lián)系擺小棒的操作過程，能把抽象的算式和操作活動(dòng)建立聯(lián)系：即9 根小棒擺正方形，每個(gè)正方形需要4 根小棒，可以擺出2 個(gè)正方形，還多1 根小棒。學(xué)生結(jié)合操作不僅理解了每個(gè)算式的意義，還能對每個(gè)數(shù)所表示的實(shí)際意義作出解釋，這為發(fā)現(xiàn)余數(shù)和除數(shù)的關(guān)系做了鋪墊。其次，擺小棒的呈現(xiàn)過程具有結(jié)構(gòu)性，凸顯余數(shù)的周期性變化。左邊是小棒的總根數(shù)，中間是擺正方形的結(jié)果，右邊是用除法算式表示的拼擺情況。從上而下我們能清楚地看出小棒總根數(shù)的連續(xù)變化過程，直觀地看到操作結(jié)果以及余數(shù)的變化情況。學(xué)生通過操作、觀察、分析和比較，體會(huì)余數(shù)的產(chǎn)生過程、感受余數(shù)的周期性變化規(guī)律、發(fā)現(xiàn)余數(shù)和除數(shù)的關(guān)系。

【教學(xué)過程】

●活動(dòng)一：擺正方形，可能余下幾根？

1.教師展示一堆火柴棒（具體數(shù)量不明，學(xué)生只看到有很多），示范擺出兩個(gè)正方形。

師：接著往下擺，如果擺到最后有剩余，你們認(rèn)為會(huì)剩下幾根？（學(xué)生安靜地思考后進(jìn)行全班交流）

生1：（猶疑地）剩下1 根。

生2：可能剩下1、2、3 根。

生3：（肯定地）最多剩下3 根。

師：為什么最多剩下3 根，而不是4 根、5 根呢？

生3：因?yàn)閿[一個(gè)正方形要4 根小棒，剩下3 根擺不成正方形，剩下4 根、5 根的話可以再接著擺。

師：剛才有的說余下1 根，有的說余下1、2、3根，還有的說最多剩下3 根，那我們用小棒擺擺看。

生：那么多小棒要擺到什么時(shí)候？太麻煩了。

師：是的，全部擺完太麻煩了，我們可以從小數(shù)量開始研究。

2.每位學(xué)生用小棒擺正方形，并完成表格。

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3.全班交流。

生：8÷4=2（個(gè)），表示用8 根小棒擺，每個(gè)正方形用4 根小棒，擺出2 個(gè)正方形。

生：9÷4=2（個(gè)）……1（根），表示用9 根小棒擺正方形，每個(gè)正方形需要4 根小棒，可以擺出2 個(gè)正方形，還多1 根小棒。

師：這兩位同學(xué)說得很完整，下面同桌交流剩下幾個(gè)算式的意義。

師：通過擺，你們發(fā)現(xiàn)剩下幾根小棒？

生：只能剩下1 根、2 根、3 根。

生：剩下的小棒不可能比3 根多，比3 根多得話就可以接著擺正方形了。

師：同學(xué)們分析得很好。擺一個(gè)正方形要4 根小棒，那么余下的小棒數(shù)一定比4 根少，所以只能余下1、2、3 根。

師：繼續(xù)往下擺，算式怎么寫？（學(xué)生回答，教師板書算式）

師：觀察余數(shù)，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生：余數(shù)是有規(guī)律的，前面是1、2、3，后面又出現(xiàn)1、2、3。

生：余數(shù)1、2、3 一組，一組一組重復(fù)出現(xiàn)。

師：如果把正好分完看成余數(shù)是0，那么余數(shù)0、1、2、3 為一組，重復(fù)出現(xiàn)。余數(shù)確實(shí)不可能出現(xiàn)4。

（板書：擺正方形——只能余下1 根、2 根、3 根）

●活動(dòng)二：擺三角形或五邊形，最多余下幾根？

師：用這些小棒擺三角形，如果有剩余，最多余下幾根？想一想，有困難的同學(xué)可以擺一擺。

生：擺三角形最多余下2 根。因?yàn)閿[一個(gè)三角形要3 根，所以只能余下1 根、2 根，最多剩下2 根。

師：大家同意他的說法嗎？哪位同學(xué)上來擺給大家看看。

（板書：擺三角形——只能余下1 根、2 根）

師：用這些小棒擺五邊形，如果有剩余，最多余下幾根？

生：最多余下4 根。因?yàn)橐粋€(gè)五邊形要5 根小棒，最多余下4 根。

生：擺五邊形要5 根小棒，余下1、2、3、4 根小棒都不能擺，最多余下4 根。

（板書：擺五邊形——只能余下1 根、2 根、3根、4 根）

●活動(dòng)三：余數(shù)和除數(shù)有什么關(guān)系？

師：通過擺正方形、三角形、五邊形，你發(fā)現(xiàn)了余下的根數(shù)和什么有關(guān)系？

生：擺正方形，余下的根數(shù)比一個(gè)正方形需要的小棒數(shù)要少。

師：你能說得具體一些嗎？

生：擺一個(gè)正方形需要4 根小棒，那么余下的根數(shù)就要比4 根少。

師：說得真有條理。誰來說一說三角形、五邊形？

生：擺一個(gè)三角形要3 根小棒，那么余下的根數(shù)就比3 根少。

生：擺一個(gè)五邊形要5 根小棒，那么余下的根數(shù)就比5 根少。

師：說得清楚、明白！我們可以用一句話來概括：余下的根數(shù)一定比擺一個(gè)圖形所需要的根數(shù)少。

師：余下的根數(shù)是除法中的什么數(shù)？擺一個(gè)圖形所需要的根數(shù)又是除法中的什么數(shù)呢？我們到這組算式中來找一找。（再次觀察擺正方形的算式）

生：余下的根數(shù)就是余數(shù)。

生：余數(shù)是1、2、3，它們表示余下的根數(shù)。

師：擺一個(gè)圖形所需要的根數(shù)就是除法中的什么數(shù)？

生：擺一個(gè)正方形要4 根小棒，4 就是除法中的除數(shù)。

生：這些算式中所有的除數(shù)都是4，它們都表示一個(gè)正方形所需要的小棒是4 根。

師：余數(shù)和除數(shù)之間會(huì)有怎樣的關(guān)系呢？

生：余數(shù)要比除數(shù)小。

師：你是怎么想到的呢？

生：除數(shù)4 表示一個(gè)正方形的小棒數(shù)，余數(shù)表示剩下的小棒數(shù)。余下的小棒數(shù)一定比一個(gè)正方形的小棒數(shù)少，也就是說余數(shù)要比除數(shù)小。

師：他把兩者之間的關(guān)系解釋得很清楚。余數(shù)比除數(shù)小，也就是說余下的根數(shù)比擺出一個(gè)圖形所需要的根數(shù)少。

【反思】

蘇霍姆林斯基說過：在人的心靈深處都有一種根深蒂固的需要，這就是希望感到自己是一個(gè)發(fā)現(xiàn)者、研究者、探索者。本課中，學(xué)生在任務(wù)引領(lǐng)下，經(jīng)歷了猜想、操作、觀察、比較、歸納等過程，以探究余下的根數(shù)為切入點(diǎn)，逐步感悟余下的根數(shù)與擺一個(gè)圖形所需要根數(shù)之間的關(guān)系，最終聯(lián)想到余數(shù)和除數(shù)之間的關(guān)系。

一、借助操作直觀

擺小棒有兩個(gè)目的：首先，結(jié)合操作，更好地理解帶余除法的意義。學(xué)生聯(lián)系擺小棒的操作過程，能把抽象的算式和操作活動(dòng)建立聯(lián)系，解釋整個(gè)算式的實(shí)際意義。其次，結(jié)合操作，聚焦余數(shù)和除數(shù)的關(guān)系。余下的根數(shù)為什么只能是1、2、3，而不可能是4？這為余數(shù)和除數(shù)之間建立起聯(lián)系。

而從初步感知到聯(lián)系再到真正領(lǐng)悟最后到建立關(guān)系，又有一個(gè)遞進(jìn)的過程。

第一層次，通過擺正方形，得到一組聯(lián)系且有變化的除法算式。學(xué)生通過操作、觀察，發(fā)現(xiàn)擺正方形時(shí)只可能余下1、2、3 根，余數(shù)呈周期性變化。進(jìn)一步，學(xué)生又發(fā)現(xiàn)余數(shù)產(chǎn)生周期性變化的原因在于小棒總根數(shù)雖然在不斷增加，但小棒剩余數(shù)則每增加到4 根時(shí)又能擺成一個(gè)新的正方形，所以不可能剩下4 根。

第二層次，進(jìn)一步豐富活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，感悟余下根數(shù)和擺一個(gè)圖形所需根數(shù)之間的關(guān)系。讓學(xué)生借助擺正方形中獲得的初步的思維經(jīng)驗(yàn)，思考用小棒擺三角形或五邊形，最多剩下幾根小棒？當(dāng)擺的圖形發(fā)生了變化，剩下的小棒也跟著發(fā)生變化，擺三角形最多余下2 根，擺五邊形最多余下4 根。在比較中概括相同的本質(zhì)的關(guān)系，即，余下的根數(shù)總是比擺一個(gè)圖形所需的小棒根數(shù)要少。

最后一層，將操作情境中的數(shù)量關(guān)系抽象為帶余除法中的數(shù)學(xué)關(guān)系。具體的操作活動(dòng)為抽象的關(guān)系概括提供了具象的支持，學(xué)生結(jié)合操作，能在余下的根數(shù)、擺一個(gè)圖形所需的小棒數(shù)和余數(shù)、除數(shù)之間建立對應(yīng)關(guān)系，從而能更好地理解帶余除式各部分的意義，概括出余數(shù)和除數(shù)的關(guān)系——這種概括不僅是形式上的概括，同時(shí)能解釋其中的原因。

二、督促抽象思考

在操作活動(dòng)中，先擺后想、先想后擺所隱含的思維含量完全不同。這里的擺，指擺正方形。想，指思考可能余下幾根。

我曾嘗試過先擺后想，發(fā)現(xiàn)先擺后想的思維含量較低。教師先讓學(xué)生用小棒擺正方形并寫出算式，然后觀察算式說說余數(shù)的特點(diǎn)。在這個(gè)過程中，問題只存在于教師頭腦中，學(xué)生接受的不過是一個(gè)個(gè)機(jī)械的操作指令。從而，他們匯報(bào)的也只是每次所見的現(xiàn)象，并沒有思考現(xiàn)象背后的數(shù)學(xué)原理，思維停留在低層次，何談自主、發(fā)現(xiàn)？

先想再擺則構(gòu)建了學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)的空間，提供了高層次思考的機(jī)會(huì)。出示一堆小棒，拋出一個(gè)大問題：用這堆小棒擺正方形，可能會(huì)余下幾根？小棒的總根數(shù)不知道，無法計(jì)算，這給了學(xué)生一種挑戰(zhàn)。不能動(dòng)手搭，缺乏操作支撐，又增加了思考的難度。先知先覺的學(xué)生憑借原有的生活經(jīng)驗(yàn)，想到了可能的結(jié)果，而大部分學(xué)生還似懂非懂。此時(shí)，擺小棒成了學(xué)生的內(nèi)在需求。而有了問題的引領(lǐng)，學(xué)生在擺的時(shí)候自然而然地關(guān)注余下根數(shù)，逐步感悟到余下的根數(shù)和擺一個(gè)正方形小棒數(shù)之間的聯(lián)系。在正方形直觀經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生思考、想象擺三角形或五邊形，最多余下幾根？進(jìn)展到表象思考的階段。通過所擺圖形的水平變式，擺圖形所余根數(shù)與所需根數(shù)之間的關(guān)系更加明朗。綜合以上，形式化地概括出余數(shù)和除數(shù)的關(guān)系也就水到渠成了。

先擺再想，擺停留在“手”，更多的是執(zhí)行教師的指令；先想再擺，擺是思考的“物化”部分，是學(xué)生為了解決問題，尋找的一種思維手段。