面板數(shù)據(jù)公共變點(diǎn)的非參數(shù)最大似然估計(jì)

高鵬麗,夏志明

(西北大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院,陜西 西安 710127)

1 引言

面板數(shù)據(jù)中存在公共變點(diǎn)這一現(xiàn)象在經(jīng)濟(jì)學(xué)中十分常見(jiàn).本文用非參數(shù)最大似然的方法研究了面板數(shù)據(jù)中帶有單個(gè)公共變點(diǎn)的問(wèn)題,證明了當(dāng)面板個(gè)數(shù)N和每個(gè)序列的觀測(cè)值n都非常大時(shí)估計(jì)量的統(tǒng)計(jì)性質(zhì).

迄今為止,大量的文獻(xiàn)致力于研究變點(diǎn)模型,尤其是在經(jīng)濟(jì)學(xué)、基因組研究、質(zhì)量控制、信號(hào)過(guò)程等領(lǐng)域.文獻(xiàn)[1-2]最早研究面板數(shù)據(jù)變點(diǎn)問(wèn)題.他們研究了隨機(jī)變點(diǎn)模型中帶有N個(gè)序列的變點(diǎn)問(wèn)題,且假設(shè)每個(gè)序列存在一個(gè)變點(diǎn),而所有變點(diǎn)構(gòu)成的序列是獨(dú)立同分布的.文獻(xiàn)[3]用貝葉斯的框架分析面板數(shù)據(jù)中的變點(diǎn)問(wèn)題.文獻(xiàn)[4]基于經(jīng)驗(yàn)似然的方法研究了半?yún)?shù)變點(diǎn)模型,并且運(yùn)用該方法檢測(cè)一個(gè)分布中存在的變點(diǎn).文獻(xiàn)[5]提出了另一種經(jīng)驗(yàn)似然方法,沒(méi)有假設(shè)兩個(gè)分布中存在任何關(guān)系.但是沒(méi)有將這種方法直接推廣到面板數(shù)據(jù)問(wèn)題.文獻(xiàn)[6]應(yīng)用經(jīng)驗(yàn)似然的方法檢驗(yàn)兩樣本均值問(wèn)題.文獻(xiàn)[6]建立了面板數(shù)據(jù)中均值和方差變點(diǎn)的相合性,他用最小二乘方法去估計(jì)均值變點(diǎn),同時(shí)用擬最大似然方法估計(jì)均值變點(diǎn)和方差變點(diǎn),并且證明方差中沒(méi)有變點(diǎn)的情形擬最大似然的方法比最小二乘的方法效果更好.文獻(xiàn)[8]應(yīng)用非參數(shù)最大似然的方法研究了多元變點(diǎn)問(wèn)題.近來(lái),文獻(xiàn)[9]用累積和的方法估計(jì)面板數(shù)據(jù)中共同的均值變點(diǎn),并且建立了變點(diǎn)估計(jì)量的相合性.文獻(xiàn)[10]分別用最大似然方法和最小二乘方法估計(jì)面板數(shù)據(jù)中共同的均值變點(diǎn),并且對(duì)兩種方法進(jìn)行了對(duì)比,建立了變點(diǎn)的相合性和漸近分布.文獻(xiàn)[11]提出了一種涉及獨(dú)立分析每個(gè)時(shí)間序列的新的方法來(lái)檢測(cè)面板數(shù)據(jù)中最新的變點(diǎn)集合.

文章其他部分的結(jié)構(gòu)如下:第二部分給出了統(tǒng)計(jì)模型及基本假設(shè).第三部分運(yùn)用非參數(shù)最大似然方法得到變點(diǎn)估計(jì)量,并且證明了變點(diǎn)估計(jì)量的相合性及收斂速率.第四部分對(duì)全文進(jìn)行總結(jié).

2 統(tǒng)計(jì)模型

基于獨(dú)立的數(shù)據(jù)Xi1,Xi2,···,Xik?,Xik?+1,···,Xin,1≤k?

在此模型中,每個(gè)序列有一個(gè)公共變點(diǎn)k?,其中k?是未知的.序列{Xit}的變點(diǎn)前后的累積分布函數(shù)分別是Fi1(x)和Fi2(x),并且滿足Fi12.稱n是觀測(cè)值的數(shù)目或者是樣本量,N是面板個(gè)數(shù).下面給出理論結(jié)果所需要的假設(shè).

假設(shè) 1假設(shè)當(dāng)n→∞時(shí),有

假設(shè) 2(a)Fi1,Fi2是連續(xù)函數(shù),且Fi12;

假設(shè)3當(dāng)n→∞,N→∞時(shí),.

假設(shè) 4假設(shè)i個(gè)面板之間是獨(dú)立的,其中i=1,···,N.

3 變點(diǎn)估計(jì)

3.1 變點(diǎn)估計(jì)的非參數(shù)最大似然方法

對(duì)于單個(gè)時(shí)間序列中不存在變點(diǎn)的情形,文獻(xiàn)[8]已經(jīng)給出了非參數(shù)最大對(duì)數(shù)似然函數(shù).即假設(shè)X1,X2,···,Xn獨(dú)立同分布F0,并且令是樣本的經(jīng)驗(yàn)累積分布函數(shù),則.如果把樣本看作是成功概率為的二項(xiàng)數(shù)據(jù),那么非參數(shù)最大對(duì)數(shù)似然函數(shù)為

類似的基于模型(1),可以得到單個(gè)面板(N=1)變點(diǎn)估計(jì)的非參數(shù)最大似然函數(shù).即對(duì)給定的k滿足1≤k

對(duì)(2)式關(guān)于i求和可以得到N個(gè)面板的非參數(shù)最大對(duì)數(shù)似然函數(shù)為

為了估計(jì)變點(diǎn)k?,以積分的形式最大化(3)式

其中w(.)是正的權(quán)函數(shù),所以Rn(.)是有限的,且對(duì)所有的u進(jìn)行積分.

3.2 變點(diǎn)估計(jì)量的性質(zhì)

定理 3.1在模型(1)下,如果假設(shè)1-假設(shè)4成立.當(dāng)n→∞,N→∞時(shí),有

為了證明定理,首先給出如下幾個(gè)引理.

引理 3.1對(duì)n→∞,N→∞,如果假設(shè)1-假設(shè)4成立,則

這個(gè)引理表明UNn(k)和VNn(k)之間的距離在k處一致小.

引理 3.1的證明根據(jù)UNn(k)和VNn(k)的定義,有

則可以得到

接下來(lái)討論VNn(k)在k?處取得唯一的最大值.

引理 3.2對(duì)k∈(1,n),VNn(k)滿足,其中C1是常數(shù),且C1>0.

引理3.2的證明令

其中C1,C2是正常數(shù).由對(duì)稱性,只需要考慮k

定理3.1的證明已知

最后一個(gè)不等式是根據(jù)引理3.2得到的.上述不等式對(duì)每一個(gè)k∈(1,n)成立,特別的對(duì)也成立.因?yàn)?/p>

推論 3.1在模型(1)下,如果假設(shè)1,2和3成立,當(dāng)n→∞,且N→∞時(shí),

4 結(jié)論

本文研究了帶有單個(gè)公共變點(diǎn)的面板數(shù)據(jù)變點(diǎn)估計(jì)量的統(tǒng)計(jì)性質(zhì).運(yùn)用非參數(shù)最大似然方法得到變點(diǎn)估計(jì)量,并在序列數(shù)N及每個(gè)序列的觀測(cè)值數(shù)量n都趨于無(wú)窮時(shí)證明了變點(diǎn)估計(jì)量的相合性及收斂速率.