二次截面Nakayama代數(shù)的McCoy性

周玉業(yè),程智

(安徽師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,安徽 蕪湖 241003)

1 引言

在本文中,R是一個(gè)有單位元的環(huán),R上的多項(xiàng)式環(huán)記作R[x],R上的n階矩陣環(huán)記作Mn(R).K是一個(gè)域,A為域K上的有限維代數(shù).

文獻(xiàn)[1]指出所有的交換環(huán)都是McCoy環(huán).后來,文獻(xiàn)[2-3]引入McCoy環(huán)的定義:如果對(duì)于任意的多項(xiàng)式f(x),g(x)∈R[x]{0},有f(x)g(x)=0,則存在r∈R{0},使得f(x)r=0(或rg(x)=0),那么環(huán)R稱為右 McCoy(或左McCoy)環(huán).若一個(gè)環(huán)既是左McCoy環(huán),又是右McCoy環(huán),則該環(huán)稱為Mc-Coy環(huán).McCoy環(huán)上的矩陣環(huán)未必是McCoy環(huán).但是McCoy環(huán)上一些特殊形式的矩陣環(huán)仍然是McCoy環(huán),而且兩者之間的McCoy性是等價(jià)的[4].考察哪些環(huán)類是McCoy環(huán)一直是大家關(guān)心的問題.文獻(xiàn)[5]提出了三個(gè)公開問題,其中有兩個(gè)問題都是考察某些環(huán)類是否是McCoy環(huán).部分學(xué)者則是從McCoy環(huán)不同形式的擴(kuò)張來構(gòu)造新的McCoy環(huán)類[6-8].

本文將考慮二次截面Nakayama代數(shù)中的所有McCoy環(huán).為方便起見,約定代數(shù)A是不可分解的,即A不可以寫成兩個(gè)代數(shù)的直積.記代數(shù)A的Jacobson根為radA,如果A/radA同構(gòu)于有限個(gè)域K的直積,則代數(shù)A稱為基本(basic)的.一個(gè)熟知的結(jié)論是所有的有限維基本代數(shù)都同構(gòu)于路代數(shù)KQ的商代數(shù).這里Q=(Q0,Q1)是一個(gè)quiver,其中點(diǎn)的集合Q0以及箭向的集合Q1都是有限集.路代數(shù)KQ中的基是Q中的道路,乘法由道路連接給出.設(shè)I為A中所有箭向生成的理想,代數(shù)A=KQ/I2稱為二次截面Nakayama代數(shù),其中Q是An型(即由n個(gè)點(diǎn)以及n?1個(gè)箭向組成的樹),或者是n-圈(即由n個(gè)點(diǎn)和n個(gè)箭向組成的圈).Nakayama代數(shù)A是自內(nèi)射的充要條件是Q是一個(gè)n-圈.

Nakayama代數(shù)是一類常見的表示有限代數(shù),這類代數(shù)一直是代數(shù)學(xué)者的研究熱點(diǎn).例如文獻(xiàn)[9]就對(duì)Nakayama代數(shù)上的所有Gorenstein投射模進(jìn)行分類,文獻(xiàn)[10]則考慮了Nakayama代數(shù)上的一些同調(diào)性質(zhì).本文主要給出以下結(jié)果.

定理 1.1二次截面Nakayama代數(shù)A是McCoy環(huán)的充要條件是A是自內(nèi)射代數(shù).

2 引理

首先給出更一般的結(jié)論并加以證明.設(shè)

記V2n(R)是形如 Diag(U1,U2,···,Un)的對(duì)角分塊矩陣集合.不難證明,V2n(R)是M2n(R)的子環(huán).

引理 2.1設(shè)R是有單位元的環(huán),則R是右(或左)McCoy環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)V2n(R)是右 (或左)McCoy環(huán).

證明這里V2n(R)是M2n(R)的子環(huán).我們直接驗(yàn)證R是右McCoy環(huán)的情況,R是左McCoy環(huán)的證明方法類似.

(必要性)這里將V2n(R)中第i行,第j列元素為1,其余位置元素全部為0的2n階矩陣記作ei,j.為方便起見,也記ei,i為ei.設(shè)

是V2n(R)[x]中的非零多項(xiàng)式,且滿足F(x)G(x)=0,其中

是V2n(R)中的矩陣.其中aki,bkj,cli,dlj是R中的元素,

其中整數(shù)s,t,k,l=1,2,···,n.那么有

若有某個(gè)fs(x)=0.則存在S=e2s?1,2s,使得F(x)S=0.于是設(shè)fs(x)0,其中s=1,2,···,n.

情形 1gt(x)0,其中t是 1,2,···,n中的某個(gè)整數(shù).

由F(x)G(x)=0,知ft(x)gt(x)(e2t?2+e2t?1)=0,則ft(x)gt(x)=0.這說明存在非零的rt∈R,使得ft(x)rt=0.因此F(x)rte2t?1,2t=0.

情形 2gt(x)=0,其中t是 1,2,···,n中的任意整數(shù).

因?yàn)?/p>

所以必有某個(gè)ql(x)0.根據(jù)F(x)G(x)=0以及V2n(R)的結(jié)構(gòu),可得到

因而fl(x)ql(x)=0.這說明存在非零的rl∈R,使得fl(x)rl=0,因此

因此,V2n(R)是右McCoy環(huán).

(充分性)設(shè)

是R[x]中的兩個(gè)非零多項(xiàng)式,且滿足f(x)g(x)=0.記

是V2n(R)[x]中的多項(xiàng)式,其中I2n是V2n(R)中的單位矩陣.因?yàn)閒(x)0,g(x)0,所以F(x),G(x)都是非零多項(xiàng)式.又因?yàn)閒(x)g(x)=0,所以

于是,V2n(R)是McCoy環(huán)說明了存在非零矩陣

使得F(x)S=0,其中k,l=1,2,···,n是R中元素.若存在某個(gè)si0,則f(x)si=0.否則,由于0,則存在某個(gè)tj0,使得f(x)tj=0.因此,R是右 McCoy環(huán).

若R是一個(gè)域,考慮以下的矩陣集合Tn+1(R).令

并記J為Tn+1(R)的Jacobson根,則有下面的結(jié)論.

引理 2.2環(huán)V2n(R)和Tn+1(R)/J2是同構(gòu)的.

證明記ei,j是2n階矩陣V2n(R)中第i行,第j列元素是1,其余元素是0的矩陣.類似地,為方便起見,我們也將ei,i,Ei,i分別記為ei,Ei.

注意到V2n(R)中的所有矩陣可表達(dá)為如下形式:

Tn+1(R)/J2中的所有矩陣可表達(dá)為如下形式:

其中ai,bj∈R,i,j=1,2,···,n.

構(gòu)造映射f:V2n(R)→Tn+1(R)/J2;x 7?→y.顯然,f是雙射.且對(duì)V2n(R)中的任意矩陣x,x′,可以直接證明f(x+x′)=f(x)+f(x′),f(xx′)=f(x)f(x′).因此f是環(huán)V2n(R)和Tn+1(R)/J2之間的一個(gè)同構(gòu).

3 定理證明

先證該定理的充分性:

注意到域 K是交換環(huán),從而是 McCoy環(huán).下面證明環(huán)Tn+1(K)/J2KQ/I2,Q是n個(gè)點(diǎn)的圈,I是由所有箭向生成的理想.記Q={Q0,Q1},Q0={1,2,···,n}是由n個(gè)點(diǎn)組成的集合,Q1={α1,···,αn?1,αn}是由所有箭向 (長(zhǎng)度為1的道路)組成的集合,即對(duì)任意i=1,2,···,n?1,αi:i→i+1以及αn:n→1為Q中的所有箭向.注意到代數(shù)KQ/I2中的所有道路恰是長(zhǎng)度為0的道路ωi,i∈Q0,以及Q1中的所有道路全體.于是KQ/I2中的元素x可表達(dá)為如下形式:

代數(shù)Tn+1(K)/J2中的元素y可表達(dá)為如下形式:

其中系數(shù)λ1,···,λn,k1,···,kn∈K.現(xiàn)構(gòu)造g:KQ/I2?→Tn+1(K)/J2;.顯然g是映射且是雙射.

對(duì)于 KQ/I2中的任意元素x,x′,直接驗(yàn)證知g(x+x′)=g(x)+g(x′).

注意到對(duì) [1,n]中的任意整數(shù)i,j,若i=j,則ωiωj=ωi;若,則ωiωj=0,以及ωiαi=αi=αiωi+1.并且在環(huán)Tn+1(K)/J2中,Ej,j+1Ej+1,j+2=0.于是

從而g是環(huán)KQ/I2到Tn+1(K)/J2的同構(gòu).

下證定理的必要性:

假設(shè)二次截面Nakayama代數(shù)A不是自內(nèi)射的,則Q是An型的,即Q=(Q0,Q1),其中Q0={1,2,···,n},Q1={αi|αi:i→i+1,1≤i≤n?1}.

記B=KQ/I2,取B[x]中的兩個(gè)非零多項(xiàng)式