覆蓋近似空間的連續(xù)與同胚映射

何家莉

(玉林師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,廣西 玉林 537000)

1 預(yù)備知識(shí)

由于科技的不斷進(jìn)步,產(chǎn)生了大量不完備的信息系統(tǒng).再用經(jīng)典的數(shù)學(xué)理論處理不完備的信息系統(tǒng)變得極其困難.為了解決這一困難,文獻(xiàn)[1]提出了模糊集理論.雖然該理論可以用來(lái)處理不確定性問(wèn)題,但是該理論添加了人為的因素,會(huì)導(dǎo)致結(jié)果的不精確.文獻(xiàn)[2]提出了粗糙集理論.該理論是一種處理不完備、不精確信息系統(tǒng)的強(qiáng)大工具,也是處理不確定知識(shí)的有效工具,因此該理論被成功地應(yīng)用于許多領(lǐng)域.但是Pawlak粗糙集（也稱經(jīng)典粗糙集）是在等價(jià)關(guān)系的基礎(chǔ)上定義上下近似算子,由于等價(jià)關(guān)系是很強(qiáng)的關(guān)系,因此有諸多局限.為了解除這種限制,文獻(xiàn)[3]利用覆蓋關(guān)系來(lái)代替等價(jià)關(guān)系,進(jìn)而在1983年提出了覆蓋粗糙集這一概念.隨著對(duì)覆蓋粗糙集研究的不斷深入,獲得了大量?jī)?yōu)秀結(jié)果.文獻(xiàn)[4]利用協(xié)調(diào)映射研究了覆蓋粗糙集的不變性,文獻(xiàn)[5]利用拓?fù)涞姆椒ㄑ芯苛烁采w廣義近似空間.文獻(xiàn)[6-7]研究了覆蓋粗糙集的上近似算子成為拓?fù)溟]包算子的充要條件以及對(duì)應(yīng)的隸屬度函數(shù)等問(wèn)題.文獻(xiàn)[8]研究了一般關(guān)系的粗糙集[8].文獻(xiàn)[9-10]研究了覆蓋近似空間的拓?fù)淇坍?huà)及對(duì)應(yīng)的公理化刻畫(huà)等問(wèn)題,文獻(xiàn)[11]研究了覆蓋近似空間的覆蓋的約簡(jiǎn)等.基于以上討論,為了更好地研究覆蓋近似空間,本文將討論覆蓋近似空間的連續(xù)性和分離公理,進(jìn)而在某種程度上提供覆蓋近似空間的一種分類方法.為此,先介紹本文需要的基本概念.

定義 1.1[3]設(shè)U是任意一個(gè)論域以及C是論域U的一個(gè)不包含空集子集族.如果∪C=U,則稱C是論域U的一個(gè)覆蓋,稱(U,C)是覆蓋近似空間.

定義 1.2[9]設(shè)(U,C)是覆蓋近似空間.對(duì)任意的x∈U以及任意的X∈P(U),定義如下:

引理1.1設(shè)X和Y是兩個(gè)集合,f:X→Y是映射.則

(1)對(duì)任意的A?X,有A?f?1(f(A));

(2)對(duì)任意的B?Y,有f(f?1(B))?B,若f為滿射,則有f(f?1(B))=B;

(3)對(duì)任意的A?X,B?Y,則f(A)?B當(dāng)且僅當(dāng)A?f?1(B).

2 覆蓋粗糙連續(xù)映射與覆蓋粗糙同胚

引理 2.1設(shè)(U,C)是覆蓋近似空間,則對(duì)任意的X?U以及Xi?U(i∈I),有

證明(1)首先證明對(duì)任意的,由定義1.2可得到,進(jìn)而可得到N(y),再由定義1.2可得到,從而有,因此

下面將證明反包含關(guān)系.

(3)用類似于(2)的證明方法,同理可證結(jié)論成立.

定義 2.1設(shè)(U1,C1)和(U2,C2)是兩個(gè)覆蓋近似空間,f:U1→U2是一個(gè)映射.若對(duì)任意的X?U1有,則稱f為覆蓋近似空間(U1,C1)到覆蓋近似空間(U2,C2)的覆蓋粗糙連續(xù)映射.若f是一個(gè)雙射且f和f?1都是覆蓋粗糙連續(xù)映射,則f稱為覆蓋近似空間(U1,C1)到(U2,C2)的覆蓋粗糙同胚映射.其中f(X)={f(x):x∈X}.

命題 2.1設(shè)(U1,C1)和(U2,C2)是兩個(gè)覆蓋近似空間,f:U1→U2是映射.則下列四條結(jié)論等價(jià):

(1)f是(U1,C1)到(U2,C2)的覆蓋粗糙連續(xù)映射;

(2)對(duì)任意的Y?U2,有;

(3)對(duì)任意的Y?U2,有;

(4)對(duì)任意的x∈U1,有.

證明(1)?(2).設(shè)(1)成立,則對(duì)任意的Y?U2,由f是覆蓋粗糙連續(xù)映射以及引理1.1(2)知.再由引理1.1(3)知

因此結(jié)論(2)成立;反之設(shè)(2)成立,對(duì)任意的X?U1,有

(2)?(3).設(shè) (2)成立.對(duì)任意的Y?U2,由 (2)得又由引理2.1(1)及f?1保持補(bǔ)運(yùn)算可知

(1)?(4).(1)?(4)顯然成立.設(shè) (4)成立,對(duì)任意的X?U1有由 (4)可知.再由引理2.1(4)及f保持并運(yùn)算可知

綜上所述(1)?(4).

定理 2.1設(shè)(U1,C1),(U2,C2)和(U3,C3)是覆蓋近似空間.若

都是覆蓋粗糙連續(xù)映射,則g?f:(U1,C1)→(U3,C3)也是覆蓋粗糙連續(xù)映射.

證明由f是覆蓋粗糙連續(xù)映射可知對(duì)任意的X?U1,有又由于f(X)?U2以及g是覆蓋粗糙連續(xù)映射知.從而.即.故g?f也是覆蓋粗糙連續(xù)映射.

由定義2.1,命題2.1以及定理2.1容易得到下面的定理:

定理 2.2設(shè)(U1,C1)和(U2,C2)是兩個(gè)覆蓋近似空間,f:U1→U2是雙射.則下列四條結(jié)論等價(jià):

(1)f是(U1,C1)到(U2,C2)的覆蓋粗糙同胚映射;

(2)對(duì)任意的X?U1,有

(3)對(duì)任意的Y?U2,有

(4)對(duì)任意的Y?U2,有

定理 2.3設(shè)(U1,C1),(U2,C2)和(U3,C3)是覆蓋近似空間,則有:

(1)恒等映射i:(U1,C1)→(U1,C1)是覆蓋粗糙同胚映射;

(2)如果f:(U1,C1)→(U2,C2)是覆蓋粗糙同胚映射,則f?1:(U2,C2)→(U1,C1)也是覆蓋粗糙同胚映射;

(3)若f:(U1,C1)→(U2,C2)和g:(U2,C2)→(U3,C3)都是覆蓋粗糙同胚映射,則g?f:(U1,C1)→(U3,C3)也是覆蓋粗糙同胚映射.

定義 2.2對(duì)覆蓋近似空間(U,C)中的任意一個(gè)點(diǎn)x,若則稱覆蓋近似空間(U,C)滿足T1分離性,也稱(U,C)為T1空間.

例2.1存在滿足T1分離性的覆蓋近似空間.

設(shè)U是任意一個(gè)論域,C=P(U){?}.由定義2.2,容易驗(yàn)證覆蓋近似空間(U,C)滿足T1分離性.

例2.2存在不滿足T1分離性的覆蓋近似空間.

設(shè)U是任意一個(gè)論域,取C={U}.由定義2.2,容易驗(yàn)證(U,C)不滿足T1分離性.設(shè)(U,C)是任意一個(gè)覆蓋近似空間,以C為閉子基誘導(dǎo)的拓?fù)溆涀鳓覥.拓?fù)淇臻g(U,τC)稱為覆蓋近似空間(U,C)誘導(dǎo)的拓?fù)淇臻g.

引理 2.2拓?fù)淇臻g(U,τ)是拓?fù)銽1空間當(dāng)且僅當(dāng)U中的每一個(gè)單點(diǎn)集是閉集.

定理 2.4設(shè)(U,C)是覆蓋近似空間且(U,τC)是由(U,C)誘導(dǎo)的拓?fù)淇臻g.則覆蓋近似空間(U,C)是T1空間當(dāng)且僅當(dāng)(U,τC)是T1拓?fù)淇臻g.

證明?設(shè)覆蓋近似空間(U,C)是T1空間,則對(duì)任意的x∈U有{x}=N(x).否則,存在a∈N(x),由定義 1.2知,這與矛盾.下面證為閉集.,由引理 2.2知 (U,τC)是拓?fù)銽1空間.

?設(shè)(U,τC)是拓?fù)銽1空間.則對(duì)任意的x∈U,

又因?yàn)?/p>

因此(U,C)是T1空間.

定理 2.5設(shè)(U1,C1),(U2,C2)是兩個(gè)覆蓋近似空間且f是覆蓋近似空間(U1,C1)到覆蓋近似空間(U2,C2)的覆蓋粗糙同胚映射,則覆蓋近似空間(U1,C1)是T1空間當(dāng)且僅當(dāng)覆蓋近似空間(U2,C2)是T1空間.

證明?設(shè)覆蓋近似空間(U1,C1)是T1空間且f是覆蓋近似空間(U1,C1)到覆蓋近似空間(U2,C2)的覆蓋粗糙同胚映射.則對(duì)任意的y∈U2,存在唯一的x∈U1使得x=f?1(y).又因?yàn)楦采w近似空間(U1,C1)是T1空間,所以

?采用上面類似的方法可以證明當(dāng)覆蓋近似空間(U2,C2)是T1空間時(shí),覆蓋近似空間(U1,C1)也是T1空間.