善于歸納總結(jié)，活用導(dǎo)數(shù)
———剖析導(dǎo)數(shù)在解題中的應(yīng)用

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導(dǎo)數(shù)有廣泛的應(yīng)用，為我們解決函數(shù)問題提供了有力的工具，它的引入為解決中學(xué)數(shù)學(xué)問題提供了新的方法，是研究函數(shù)性質(zhì)，求函數(shù)最值，單調(diào)性，證明不等式以及求曲線斜率和解決一些物理問題等簡潔而有效的工具。在解決一些復(fù)雜問題時有得天獨厚的優(yōu)勢，在教學(xué)中應(yīng)著重強(qiáng)調(diào)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用。

在現(xiàn)實教學(xué)中，對于導(dǎo)數(shù)應(yīng)用方面的問題，學(xué)生往往很難找到切入點，從而使怎樣利用導(dǎo)數(shù)的問題成了學(xué)生學(xué)習(xí)掌握導(dǎo)數(shù)的“攔路虎”。新課標(biāo)下導(dǎo)數(shù)的教學(xué)仍是一個重點，也是一個難點問題。很多學(xué)生都抱怨導(dǎo)數(shù)公式太多，法則太亂，顧此失彼，以至于不知道導(dǎo)數(shù)有何作用。其實只要打好基礎(chǔ)，善于總結(jié)，仔細(xì)分析，了解并掌握導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用并不難，關(guān)鍵在于積累和總結(jié)。

筆者結(jié)合教學(xué)實踐，就導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用作初步探究。

一、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的切線問題

在求過點P(x0，y0)所作函數(shù)y=f(x)對應(yīng)曲線的切線方程時應(yīng)先判斷該點是否在曲線上。

1. 當(dāng)點 P(x0，y0)在曲線上，即點 P(x0，y0)為切點時，則切線方程為 y-y0=f′(x0)(x-x0).

2. 當(dāng)點 P(x0，y0)不在曲線上時，則設(shè)切點坐標(biāo)為(x1，y1)，由先求得切點的坐標(biāo)，然后進(jìn)一步求切線方程。

例 1.已知函數(shù) f(x)=x3+1，求曲線 y=f(x)經(jīng)過點 P(1，2)的切線方程.

注意：本題解法可進(jìn)行分類解決(分為點P是或不是切點這兩類情況)，也可采用如下解法。

解：由題意，設(shè)切點為(x0，f(x0))，即為，

則經(jīng)過點P(1，2)的切線方程為l:y-2=f′(x0)(x-1).

解得：x0=1或，∴f′(x0)=3 或，

即所求切線方程為3x-y-1=0或3x-4y+5=0.

二、利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性問題

函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的最基本性質(zhì)之一，是研究函數(shù)所要掌握的最基本的知識。用單調(diào)性的定義來處理單調(diào)性問題需要有很強(qiáng)的技巧性，較難掌握好，而用導(dǎo)數(shù)知識來判斷函數(shù)的單調(diào)性簡便而且快捷。

只要求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷其正負(fù)性，則能判斷函數(shù)的單調(diào)性。這種方法比傳統(tǒng)的“定義法”及“圖像法”更方便。

例2.已知f(x)=ex-ax-1。

(1)求f(x)的單調(diào)增區(qū)間；

(2)若f(x)在定義域R內(nèi)單調(diào)遞增，求a的取值范圍；

(3)是否存在 a 使 f(x)在(-∞，0]上單調(diào)遞減，在[0，+∞)上單調(diào)遞增？若存在，求出a的值；若不存在，說明理由。

解：(1)∵f′(x)=ex-ax-1，∴f(x)=ex-ax-1，∴f′(x)=ex-a

令 f′(x)≥0，得 ex≥a，

當(dāng) a≤0 時，有 f′(x)＞0 在 R 上恒成立；當(dāng) a＞0 時，有 x≥ln a。

綜上情況，當(dāng) a≤0 時，f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(-∞，+∞)；當(dāng)a＞0 時，f(x)的單調(diào)增區(qū)間為［ln a，+∞)。

(2)∵f(x)=ex-ax-1，∴f′(x)=ex-a，

∵f(x)在 R 上單調(diào)遞增，∴f′(x)=ex-a≥0（等號只能在有限個點處取得）恒成立，即ex≥a，x∈R恒成立。

∵x∈R 時，ex∈(0，+∞)，∴a≤0。

(3)由已知 f(x)在(-∞，0]上單調(diào)遞減，在區(qū)間[0，+∞]上單調(diào)遞增可知，f(0)是f(x)的極值。

∴f′(0)=e0-a=0→a=1，∴ 存在 a=1 滿足條件。

三、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值與最值

最值問題是高中數(shù)學(xué)的一個重點，也是一個難點。它涉及到高中數(shù)學(xué)知識的各個方面，要解決這類問題往往需要各種技能，并且需要選擇合理的解題途徑。用導(dǎo)數(shù)解決這類問題可以使解題過程簡化，步驟清晰，學(xué)生也好掌握。應(yīng)注意函數(shù)的極值與最值的區(qū)別與聯(lián)系，極值是一個局部性概念，最值是某個區(qū)間的整體性概念。

例3.已知a為實數(shù)，函數(shù)f(x)=(x2-4)(x-a).

求導(dǎo)數(shù) f′(x)。

若 f′(-1)=0，求 f(x)在[-2，2]上的極大值和極小值以及最大值和最小值。

解：由原式得 f(x)=x3-ax2-4x+4a，則 f′(x)=3x2-2ax-4

四、利用導(dǎo)數(shù)證明不等式

利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，再由單調(diào)性來證明不等式是函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式綜合中的一個難點，也是近幾年高考的熱點。其主要思想是構(gòu)造輔助函數(shù)，把不等式的證明轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性或求最值，從而證得不等式。

例 4.求證：ex＞1+x(x＞0)

證明：令 f(x)=ex-1-x，則 f′(x)=ex-1＞0

∴f(x)在(0，+∞)上是增函數(shù).

當(dāng) x＞0 時，f(x)＞f(0)=0，即 ex＞1+x(x＞0)

五、利用導(dǎo)數(shù)解應(yīng)用題

運用導(dǎo)數(shù)解決實際問題，關(guān)鍵是要建立恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型(函數(shù)關(guān)系)。如果函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個點使f′(x)=0，此時函數(shù)在這點有極大(小)值，那么不與端點比較，也可以知道這就是最大(小)值。

總之，導(dǎo)數(shù)作為一種工具，在解決數(shù)學(xué)問題時使用非常方便。導(dǎo)數(shù)可用于解決函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值等，因此能幫我們較為明確函數(shù)圖像的基本動態(tài)。在利用導(dǎo)數(shù)解題過程中，要加強(qiáng)對基礎(chǔ)知識的理解，善于歸納總結(jié)，認(rèn)真分析，了解導(dǎo)數(shù)體現(xiàn)在哪方面的應(yīng)用，解題時自然得心應(yīng)手。希望通過以上對導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的探討，能進(jìn)一步幫助有需要的學(xué)生加深對函數(shù)的理解和直觀認(rèn)識，并能更好地利用導(dǎo)數(shù)解題。