基于多參量微分方程的地球人類(lèi)居住指標(biāo)模型

魏天琦

摘?要：由于人類(lèi)的活動(dòng)對(duì)自然資源的消耗等原因，存在于霍金預(yù)言中的“地球毀滅日”可能真實(shí)存在，我們稱(chēng)其為“地球人類(lèi)居住臨界點(diǎn)”。從自然資源等真正影響人類(lèi)生存的因素入手，結(jié)合一些系統(tǒng)性的方法，我們用數(shù)學(xué)建模的方式去建立描述“地球人類(lèi)居住臨界點(diǎn)”的 “地球人類(lèi)居住指標(biāo)模型”，給出預(yù)測(cè)地球還能供給人類(lèi)生存時(shí)間的方法，并由此為人類(lèi)的生存發(fā)展給出新的啟示。

關(guān)鍵詞：人口模型;層次分析;微分方程;線性泛函;人類(lèi)生存;自然資源

中圖分類(lèi)號(hào)：TB?????文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A??????doi：10.19311/j.cnki.1672-3198.2019.17.100

0?引言

人類(lèi)活動(dòng)需要自然資源的支持，如果使用不當(dāng)，自然可能導(dǎo)致資源匱乏，從而影響人類(lèi)的生存，同時(shí)，人類(lèi)活動(dòng)也影響著自然資源的變化情況?；艚痤A(yù)言中的那個(gè)“地球毀滅日”可能是真正存在的，且并未有前人進(jìn)行研究，在這里我們稱(chēng)其為“地球人類(lèi)居住臨界點(diǎn)”。我們所要實(shí)現(xiàn)的目的，就是用數(shù)學(xué)建模的方式去建立描述“地球人類(lèi)居住臨界點(diǎn)”的數(shù)學(xué)模型，從而系統(tǒng)地預(yù)測(cè)地球還能供給人類(lèi)生存的時(shí)間，并由此為人類(lèi)的生存發(fā)展給出新的啟示。我們稱(chēng)此數(shù)學(xué)模型為“地球人類(lèi)居住指標(biāo)模型”。

1?問(wèn)題提出

1.1?霍金預(yù)言

所謂霍金預(yù)言，指的是著名物理學(xué)家史蒂芬·霍金關(guān)于人類(lèi)命運(yùn)的預(yù)測(cè)。他2011年在接受美國(guó)著名知識(shí)分子視頻共享網(wǎng)站BigThink訪談時(shí)，稱(chēng)地球?qū)⒃?00年內(nèi)毀滅，而人類(lèi)要想繼續(xù)存活只有移民外星球。

霍金在接受一家網(wǎng)站采訪時(shí)說(shuō)：“人類(lèi)在未來(lái)數(shù)百年里必須認(rèn)真考慮自己的生存問(wèn)題。過(guò)去曾出現(xiàn)過(guò)多次人類(lèi)的生存危機(jī)，而發(fā)生類(lèi)似情況的頻率還會(huì)增加，我們需要十分謹(jǐn)慎地避免這類(lèi)危機(jī)。但我是一個(gè)樂(lè)觀主義者，如果人類(lèi)在未來(lái)二百年間能成功向外太空擴(kuò)張，那么我們就能避免災(zāi)難。在過(guò)去的一百年里，我們的科學(xué)技術(shù)取得了卓越的成就，如果我們想延續(xù)進(jìn)步，就不得不放眼外太空?！?/p>

霍金指出，人類(lèi)有望在未來(lái)駕駛宇宙飛船做時(shí)光旅行，從地球到銀河系邊緣的漫長(zhǎng)路程僅需八十年，這給人類(lèi)殖民外太空帶來(lái)了技術(shù)上的可能。另外，霍金多次警告說(shuō)，外星人可能會(huì)以掠奪資源為目的入侵地球。

1.2?對(duì)霍金預(yù)言的理解

霍金預(yù)言向我們指出了這樣一個(gè)問(wèn)題，地球在不久的未來(lái)面臨毀滅，這一點(diǎn)聽(tīng)上去似乎荒謬但其實(shí)并不難以理解，它并不是指地球會(huì)經(jīng)歷恒星爆發(fā)或陸地消失等毀滅性的災(zāi)難，而是隨著時(shí)間的推移，我們的地球可能會(huì)漸漸變得無(wú)法供給人類(lèi)生存的基本需要，換句話說(shuō)，這個(gè)語(yǔ)言不是地球毀滅，而是人類(lèi)在地球的毀滅。但是對(duì)于霍金所說(shuō)“兩百年以?xún)?nèi)地球毀滅”，我們并不持相信的態(tài)度，因?yàn)槲覀儧](méi)有看到這個(gè)結(jié)果“兩百年”從何而來(lái)，沒(méi)有數(shù)據(jù)與計(jì)算方法的支持，也就不存在預(yù)測(cè)的科學(xué)性和真實(shí)性。所以我們對(duì)這位已故的科學(xué)巨人做出的預(yù)言是十分懷疑的。

然而，卻正是這樣一個(gè)沒(méi)有數(shù)據(jù)根據(jù)和支持的預(yù)言，讓我們陷入了思考，的確，人類(lèi)活動(dòng)需要自然資源的支持，如果使用不當(dāng)，自然可能導(dǎo)致資源匱乏，從而影響人類(lèi)的生存，同時(shí)，人類(lèi)活動(dòng)也影響著自然資源的變化情況。所以，我們不妨把霍金預(yù)言當(dāng)作一個(gè)提醒，其中的那個(gè)“地球毀滅日”可能是真正存在的，在這里我們稱(chēng)其為“地球人類(lèi)居住臨界點(diǎn)”。我們所要實(shí)現(xiàn)的目的，就是用數(shù)學(xué)建模的方式去建立描述“地球人類(lèi)居住臨界點(diǎn)”的數(shù)學(xué)模型，從而系統(tǒng)地預(yù)測(cè)地球還能供給人類(lèi)生存的時(shí)間，并由此為人類(lèi)的生存發(fā)展給出新的啟示。我們稱(chēng)此數(shù)學(xué)模型為“地球人類(lèi)居住指標(biāo)模型”。

2?背景

2.1?自然資源概況

自然資源以自然形式出現(xiàn)在自然界中，不受人們的干擾，在沒(méi)有人類(lèi)幫助的情況下多年形成的資源。地球上充滿了利用周?chē)h(huán)境發(fā)展和重新生長(zhǎng)的自然資源。有些像水和空氣，用于我們的日常生存。其他如煤，天然氣和石油也可用于其他需求。所謂十大自然資源是：水，空氣，煤炭，石油，天然氣，磷，其他礦物，鐵，土壤，森林和木材。

除了上面列出的資源外，巖石和沉積物，湖泊和河流，山脈，濕地，沿海海岸，農(nóng)田，沙地，銅，粘土，錳和石頭亦是人類(lèi)繼續(xù)消耗的其他一些自然資源。

在目前全球70億人口中，自然資源需求將不可避免地增加。隨著越來(lái)越多的國(guó)家?guī)椭鮿?shì)群體的發(fā)展，對(duì)這些資源的需求將會(huì)增加。

數(shù)據(jù)指出水、石油天然氣、磷、煤炭、 稀土元素等自然資源已經(jīng)受到當(dāng)前消費(fèi)的嚴(yán)重壓力。即使全世界都喊出了節(jié)約資源的口號(hào)，事情也并沒(méi)有好轉(zhuǎn)，人類(lèi)每年都在減少對(duì)地球上水，土壤，清潔空氣和其他資源的回饋。

到2017年8月2日，人類(lèi)每年使用的資源更多的來(lái)源于不可再生，而不是地球在一年內(nèi)的新產(chǎn)出。下文我們稱(chēng)將一年內(nèi)的地球產(chǎn)出使用完的時(shí)間為“過(guò)沖日”。1980年，過(guò)沖日在11月，分別在1993年和2000年，提前到了10月和9月。到2016年已經(jīng)到了8月。雖然它似乎在朝著錯(cuò)誤的方向穩(wěn)步前進(jìn)，但科學(xué)家認(rèn)為它已經(jīng)放慢了速度，在2018年，過(guò)沖日仍在8月。但不得不說(shuō)的是，人類(lèi)仍然沒(méi)有成為良好的土地管家并改善地球的健康。

2.2?自然資源分析

在人類(lèi)文明蓬勃發(fā)展的今天，自然資源的使用卻正面臨較大的危機(jī)，具體情況如下：

（1）盡管數(shù)量巨大，地球上的水能直接被人們生產(chǎn)和生活利用的卻微乎其微。地球上有97%的水資源被鹽化，僅有3%可利用的淡水資源，而且大部分是主要分布在南北兩極地區(qū)的固體冰川，在目前技術(shù)條件下還無(wú)法大規(guī)模利用。目前人類(lèi)比較容易利用的淡水資源，主要是河流水、淡水湖泊水以及淺層地下水。在全部淡水的儲(chǔ)量中，這些部分只占0.3%，占全球總水量的十萬(wàn)分之七。據(jù)統(tǒng)計(jì)，目前，全球80多個(gè)國(guó)家的約15億人口面臨淡水不足，其中26個(gè)國(guó)家的3億人口完全生活在缺水狀態(tài)。

（2）土地資源告急。全世界現(xiàn)有的可用耕地約占地球陸地總面積的10%。然而由于人類(lèi)活動(dòng)的原因，世界土地資源的數(shù)量和質(zhì)量正在不斷下降，主要表現(xiàn)在土壤的肥力下降、土壤嚴(yán)重退化、土壤遭受侵蝕、農(nóng)田被侵占等。據(jù)統(tǒng)計(jì)，亞洲83%的可耕種土地被使用， 歐洲則有88%，前蘇聯(lián)的比例是61%，北美洲也有一半以上。世界可利用土地資源銳減，土地資源的使用面臨著巨大的挑戰(zhàn)。

（3）全球森林資源損失嚴(yán)重。其中熱帶國(guó)家受影響最大，990萬(wàn)公頃損失林地面積超過(guò)了地球總量的一半。

（4）礦產(chǎn)資源告急。礦產(chǎn)資源是指埋藏于地下或出露于地表，經(jīng)過(guò)地質(zhì)成礦作用形成的，具有現(xiàn)實(shí)或潛在經(jīng)濟(jì)價(jià)值的天然富集物，是重要的自然資源，社會(huì)生產(chǎn)發(fā)展的物質(zhì)基礎(chǔ)，現(xiàn)代社會(huì)人類(lèi)生產(chǎn)和生活的必備元素。它們的儲(chǔ)量有限，屬于不可再生資源。

礦業(yè)是人類(lèi)從事生產(chǎn)勞動(dòng)的經(jīng)典領(lǐng)域之一。礦業(yè)的發(fā)展、礦產(chǎn)資源的開(kāi)發(fā)利用的擴(kuò)大，對(duì)人類(lèi)社會(huì)文明的發(fā)展與進(jìn)步產(chǎn)生了無(wú)可替代的促進(jìn)作用。歷史學(xué)家將人類(lèi)古代歷史階段劃分為舊石器時(shí)代、新石器時(shí)代、青銅器時(shí)代、鐵器時(shí)代，其命名都是根據(jù)當(dāng)時(shí)人們開(kāi)發(fā)利用的主要礦產(chǎn)種類(lèi)。

全球使用的90%能源取自化石燃料，即煤炭、石油和天然氣，80%以上工業(yè)原料取自金屬和非金屬礦產(chǎn)資源，但這些資源都屬于用一點(diǎn)少一點(diǎn)的耗竭性資源，是無(wú)法再生的。

3?關(guān)于模型的一些假設(shè)

由于實(shí)際問(wèn)題的多元化，有很多對(duì)結(jié)果造成細(xì)微影響的干擾因素，在很多情況下針對(duì)它們不能用簡(jiǎn)單的參數(shù)進(jìn)行概括，但這種干擾因素是可以避免的，且對(duì)結(jié)果影響不大，所以我們忽略這些因素，對(duì)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行簡(jiǎn)化處理，從而我們做出如下假設(shè)：

（1）假設(shè)在研究此問(wèn)題的時(shí)間區(qū)間內(nèi)世界人口數(shù)量不會(huì)出現(xiàn)生物聚變，突增或突減。

（2）假設(shè)在這個(gè)時(shí)間區(qū)間內(nèi)人了社會(huì)和平穩(wěn)定，不會(huì)出現(xiàn)全球性天災(zāi)和大規(guī)模戰(zhàn)爭(zhēng)。

（3）假設(shè)在模型中自然資源總儲(chǔ)量不會(huì)突變，且每種自然資源儲(chǔ)量都是變量時(shí)間的函數(shù)。

（4）假設(shè)在這個(gè)時(shí)間區(qū)間內(nèi)，由非自然死亡或其他微小因素影響的人口變化，以及與自然資源無(wú)關(guān)的微小擾動(dòng)的影響可以忽略不計(jì)。

4?基于自然資源體系建立的初步模型

我們采取如上思維導(dǎo)圖中的思維模式進(jìn)行分類(lèi)，將環(huán)境容納量與人口的關(guān)系與環(huán)境容納量和自然資源的關(guān)系聯(lián)立，從而得到下面的數(shù)學(xué)模型。

4.1?變量及其含義

4.2?自然資源模型

分析各種對(duì)人類(lèi)生存有決定性意義的自然資源，我們總結(jié)出以下幾個(gè)決定性資源：水、大氣、土地、化石能源、金屬以及其他自然資源。

我們將把它們的儲(chǔ)量與時(shí)間的關(guān)系定義為函數(shù)：

LS（t），LW（t），LF（t），LA（t），LM（t），L1（t），L2（t），…

其中每個(gè)函數(shù)均只需要對(duì)相應(yīng)自然資源的使用情況展開(kāi)調(diào)查并進(jìn)行分析，即其儲(chǔ)量與時(shí)間的對(duì)應(yīng)變化進(jìn)行分析就可得出相應(yīng)表達(dá)式。

BP能源統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)顯示，2012年的世界能源消耗結(jié)構(gòu)中，水電僅占6.7%，可再生能源僅占1.9%，兩者總和不到10%，同年世界人口共70億人，可再生能源可供給的人口在現(xiàn)有的能源結(jié)構(gòu)的情況下不到7億人。同時(shí)，人類(lèi)數(shù)量還在繼續(xù)上漲，為了維持更多的人口需求，勢(shì)必會(huì)加大資源的利用量，那么，不可再生的能源（如化石等）的儲(chǔ)備量與其枯竭時(shí)間將與能源可供給人口數(shù)有巨大的相關(guān)性。

所以，我們認(rèn)為，如果在不可再生能源枯竭前，馬爾薩斯所提出的積極性抑制與預(yù)防性抑制不會(huì)出現(xiàn)的話，人口的增長(zhǎng)是無(wú)法避免的，那么人口的增長(zhǎng)與能源的使用，會(huì)一直有密切的聯(lián)系。因?yàn)槲覀冎雷匀毁Y源的儲(chǔ)備量是會(huì)影響人口的數(shù)量增長(zhǎng)的，資源儲(chǔ)備量越少，人口增長(zhǎng)越緩慢，于是結(jié)合Logistics人口模型的思想，我們可以得到以下多參量系統(tǒng)：

這就是結(jié)合logistics人口模型與多元線性泛函得到的多參量微分方程組。

此系統(tǒng)中的每個(gè)指標(biāo)都是其對(duì)應(yīng)資源的簡(jiǎn)單函數(shù)，通過(guò)建立行向量與列向量的乘法，我們建立線性泛函微分方程組，從而確定了時(shí)間與各個(gè)參量間的關(guān)系。這就是我們給出的確定“地球人類(lèi)居住臨界點(diǎn)”的方法。

結(jié)合上述模型，我們可以得出一些初步結(jié)論，目前地球正處于人口數(shù)量的上升階段，而且人口數(shù)量大大高于可再生能源所能支持的人口數(shù)目，我們需要降低能源的使用，來(lái)養(yǎng)活更多的人，同時(shí)，我們需要發(fā)展科學(xué)技術(shù)，提高可再生能源所提供的能源量。也就是說(shuō)，增加可再生能源在能源結(jié)構(gòu)的占比，以及控制人口數(shù)量去延緩能源枯竭的時(shí)間等方法，是目前我們正確的努力方向。

4.3?具體案例闡述（以化石能源為例）

4.3.1?化石能源概述

化石能源是一種碳?xì)浠衔锘蚱溲苌铩Ｋ怯晒糯锏幕练e而來(lái)，埋藏在地下與海洋下的不可再生能源?；剂现邪绰癫氐臄?shù)量的順序分為如下幾個(gè)種類(lèi)，而每個(gè)種類(lèi)的儲(chǔ)量均與人類(lèi)生存有著不可分割的關(guān)系。

（1）煤炭。埋藏在地下的植物受地下和地?zé)岬淖饔茫?jīng)過(guò)幾千萬(wàn)年乃至幾億年的炭化過(guò)程，釋放出水分、二氧化碳、甲烷等氣體后，含氧量減少而形成的化合物。

（2）石油。水中堆積的微生物殘骸，在高壓的作用下形成的碳?xì)浠衔铩Ｊ且环N全球使用量最高的化石燃料，其經(jīng)過(guò)精制后可得到汽油、煤油、柴油和重油。石油耗盡的時(shí)間較其他幾項(xiàng)會(huì)較晚來(lái)到，然而因?yàn)槭鞘a(chǎn)品的原材料，石油使用量高，用途廣泛，故而同樣需要作為重點(diǎn)對(duì)象。

（3）油頁(yè)巖。水藻炭化后形成的化合物。

（4）天然氣。天然氣直接采掘于地下，以甲烷為主。在攝氏零下162度被冷卻，液化后使用。

（5）可燃冰。儲(chǔ)存在深海低的一種以固態(tài)甲烷形式存在的可燃物。

4.3.2?化石能源模型

以上已經(jīng)將化石能源分為各種類(lèi)別，而它們也分別對(duì)環(huán)境容納量有不同程度的貢獻(xiàn)，所以我們要建立獨(dú)立的能源函數(shù)li（t）其中（i=1，2，…），li（t）為儲(chǔ)量隨時(shí)間變化的關(guān)系，并給他們賦權(quán)，權(quán)重表示為bi。于是得到化石能源函數(shù)，形如

LF（t）=b1l1（t）+b2l2（t）+b3l3（t）+…+bili（t）+…

其中（i=1，2，…）

以上僅為化石能源對(duì)應(yīng)的簡(jiǎn)單函數(shù)（線性）的獲得方法，用相同的方法，我們可以分別得到其他自然資源的時(shí)間函數(shù)，這里不再詳述。

下面主要介紹以層次分析的思想對(duì)多層線性函數(shù)進(jìn)行賦權(quán)的方法。

4.4?模型賦權(quán)的方法

A目前確定權(quán)重的方法比較多，從權(quán)重?cái)?shù)據(jù)的來(lái)源大概可以分為主觀賦權(quán)法、客觀賦權(quán)法和組合賦權(quán)法。在本文中，我們采取了主觀賦權(quán)法，確定影響環(huán)境容納量的指標(biāo)的權(quán)重。

根據(jù)指標(biāo)體系，利用層次分析法確定最大的環(huán)境容納量權(quán)重步驟如下：

（1） 構(gòu)造重要度判斷矩陣A。

我們通過(guò)兩兩相互比較各準(zhǔn)則對(duì)于目標(biāo)的重要度構(gòu)造判斷矩陣，任取每個(gè)函數(shù)中的兩個(gè)子函數(shù)在同一時(shí)間下的函數(shù)值，記為指標(biāo)因子xi和xj，以aij表示xi和xj對(duì)上層指標(biāo)的影響的大小，則判斷矩陣記為A=（aij）n×n。

為使矩陣中的各要素的重要性能夠定量表示，引入矩陣判斷標(biāo)度（1-9標(biāo)度法）進(jìn)行判斷矩陣的確定。若xi和xj對(duì)上層指標(biāo)的影響之比為aij，則xj與xi的重要性之比為1aij。下表列出了1-9級(jí)標(biāo)度的含義（參照美國(guó)匹茲堡大學(xué)T.Satty教授的分級(jí)建議）。

對(duì)于裝備評(píng)價(jià)指標(biāo)判斷矩陣的確定我們則通過(guò)裝備該功能的能力值進(jìn)行比較。

（2）權(quán)重值計(jì)算與一致性檢驗(yàn)。

判斷矩陣A最大特征值的特征向量W，再進(jìn)行歸一化處理，此時(shí)該向量就是同一層次對(duì)應(yīng)指標(biāo)因子與上一層次指標(biāo)的相對(duì)重要度的排序。該構(gòu)造方法雖然可以減小其他因素的影響，但在綜合全部比較結(jié)果時(shí)，難免會(huì)出現(xiàn)非一致性，如果要使比較結(jié)果前后完全一致，則矩陣A的元素還應(yīng)該滿足。

aijaji=aik（i，j，k=1，2，…，n）

如果矩陣A的元素滿足上述關(guān)系，則稱(chēng)矩陣A為一致矩陣.此時(shí)，若A的最大特征值λmax對(duì)應(yīng)的特征向量為W=（w1，w2，…，wn）T（此即為各指標(biāo)權(quán)重向量），則有

aij=wiwj（i，j=1，2，…，n）

此時(shí)矩陣A為

A=w1/w2w1/w2…w1/w2

w2/w1w2/w2…w2/wn

wn/w1wn/w2…wn/wn

為了測(cè)試由此方法得出權(quán)重的合理性，需要對(duì)判斷矩陣A進(jìn)行一致性檢驗(yàn)，判斷矩陣的一致性，具體步驟如下：

（?。┯?jì)算一致性指標(biāo)CI：

CI=λmax-nn-1

（ⅱ）查找相應(yīng)的平均隨機(jī)一致性指標(biāo)RI

表3?一致性指標(biāo)表

n123456789

RI000.580.901.121.241.321.411.45

（ⅲ）計(jì)算一致性比例CR：

CR

當(dāng)CR<0.10時(shí)，認(rèn)為判斷矩陣的一致性是可以接受的，否則需要對(duì)判斷矩陣進(jìn)行分析修正。

5?定性模型的不足、改進(jìn)方案與發(fā)展方向

不難發(fā)現(xiàn)，自然資源模型中并未考慮其他重要因素的影響。在假設(shè)前提下，初步模型中可以認(rèn)為自然資源儲(chǔ)量不僅是環(huán)境容納量的決定性因素，也是唯一的因素，所以我們可以建立這樣的數(shù)學(xué)模型。然而在實(shí)際情況中，其他人類(lèi)活動(dòng)會(huì)對(duì)自然資源的儲(chǔ)備和使用產(chǎn)生影響。如果要得到更確切的地球人類(lèi)居住指標(biāo)，我們就需要考慮人類(lèi)活動(dòng)的影響，并建立更完善的模型。

其他人類(lèi)活動(dòng)的影響，就其本身而言是人類(lèi)產(chǎn)業(yè)對(duì)環(huán)境的改變以及人類(lèi)科技文明的發(fā)展，前者主要以人類(lèi)活動(dòng)破壞生態(tài)、污染環(huán)境為主，而后者則以提供新的能源方式，提高自然資源利用率為主。也就是說(shuō)，一個(gè)對(duì)地球人類(lèi)居住指標(biāo)做出正向貢獻(xiàn)，而另一個(gè)做出負(fù)向貢獻(xiàn)。因此，目前階段我們提出的改進(jìn)建議為，考慮環(huán)境污染與科技發(fā)展的影響，同樣找到他們對(duì)環(huán)境容納量的貢獻(xiàn)函數(shù)以及貢獻(xiàn)力權(quán)重，建立泛函，找到與初步模型間的關(guān)系，從而完善初步的自然資源方程組，得到更加準(zhǔn)確的地球人類(lèi)居住指標(biāo)模型。

顯然，即使這樣改進(jìn)之后，此模型的主體仍是定性的，因?yàn)槲覀兡芰τ邢?，無(wú)法掌握人類(lèi)活動(dòng)導(dǎo)致環(huán)境變化和人類(lèi)科技發(fā)展的具體指標(biāo)，而將它升級(jí)為定量模型也是需要更深入地進(jìn)行調(diào)查并投入時(shí)間和資金進(jìn)行具體分析模擬的，筆者并不具備這樣的能力。

雖然就目前而言筆者給出的定型模型無(wú)法直接使用，但此思想方法，無(wú)疑在這個(gè)方向上看到了一條道路。并且，我們希望通過(guò)進(jìn)一步的努力和數(shù)據(jù)支持，找到“地球人類(lèi)居住臨界點(diǎn)”，從而證偽霍金預(yù)言，未雨綢繆，在模型中得到更多結(jié)論，并借此對(duì)世界提出改革的建議，從而將人類(lèi)的未來(lái)緊握在我們自己手中。

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