細菌種群中一類遷移方程的譜研究

王勝華，凌軍

(1.上饒師范學院，江西 上饒 334001;2.南昌大學 數(shù)學系，江西 南昌 330031)

1 問題提出

M.Boulanouar提出了一類具結(jié)構(gòu)化的細菌種群的數(shù)學模型［1-2］:

其中h(v)表示速度權(quán)重因子，ψ(u，v，t)表示由細菌成熟度u∈(0，1)和細菌成熟速度v∈(a，b)(0≤a＜v＜b≤+σ)在時間t構(gòu)成的細菌密度函數(shù);u=0表示子體細菌在出生時的成熟度，u=1表示母體細菌在經(jīng)有絲分解后的成熟度，r(u，v，v')表示細菌成熟速度從v'到v改變時的轉(zhuǎn)變速率，σ(u，v)為總轉(zhuǎn)變截面，且

在生物學上，每一有絲分裂時，子細菌被看成細菌種群的一部分，它們之間存在相互關(guān)系k(u'，v，v')，在數(shù)學上表示為下列一般邊界條件:

這里常數(shù)α，β≥0表示每一有絲分裂子細菌的平均數(shù)。

近年來，關(guān)于這類具結(jié)構(gòu)化的細菌種群模型的研究較少。文獻［1-2］僅在L1空間和具總轉(zhuǎn)換規(guī)則(即邊界條件(3)中α=0)的邊界條件下進行了研究，文獻［1］得到了該模型相應(yīng)的遷移算子生成正不可約C0半群，文獻［2］在文獻［1］的基礎(chǔ)上進一步討論了該模型的解在一致算子拓撲意義下的漸近行為等結(jié)果。文獻［3-6］在一般邊界條件下對這類具結(jié)構(gòu)化的細菌種群模型進行了研究，文獻［3］討論了其相應(yīng)的遷移算子產(chǎn)生不可約正C0半群;文獻［4］討論了該正C0半群的Dyson-Phillips展式的9階余項在L1空間上是弱緊和在Lp(1＜p＜σ)空間上是緊的，從而獲得了其遷移算子的譜在右半平面上僅由有限個具有限代數(shù)重數(shù)的離散本征值組成等結(jié)果;文獻［5］討論了該相應(yīng)的遷移算子的譜分析;文獻［6］討論了這類具結(jié)構(gòu)化的細菌種群模型的解在一致算子拓撲意義下的漸近行為。本文在L1空間中對這類一般邊界條件下具結(jié)構(gòu)化的細菌種群模型進行了研究，去掉了文獻［3-6］中關(guān)于擾動算子K的正則性和邊界算子的緊性等假設(shè)條件，討論了這類模型相應(yīng)的遷移算子的譜分析等，同樣得到了文獻［3-6］中該遷移算子的譜在右半平面上僅由有限個具有限代數(shù)重數(shù)的離散本征值組成以及這類模型解的漸近行為等結(jié)果。

設(shè)X=L1(Ω)(Ω =(0，1)×(a，b)=I×J，0≤a ＜ b≤σ)和索伯列夫空間

及跡空間為Y=L1(J，h(v)dv)，它們分別按范數(shù)

和

及

構(gòu)成Banach空間。邊界空間為:

其中h(v)為有界可測函數(shù)，假設(shè)(O):

定義Streaming算子T和碰撞算子K及遷移算子A如下:

則λ:Reλ ＞－σ0，方程(4)可形式的解為:

取u=1，則(5)式為:

根據(jù)(5)式和(6)式引入如下算子:

則 λ:Reλ ＞ － σ0，算子 Pλ，Qλ，Dλ和 Eλ都是有界正的［6］，且

從而(6)式和(5)式分別為:

令

則當Reλ ＞ λ0時，有

從而算子 ( I － PλHα，β)－1存在，所以

故有

2 主要結(jié)果

定理1 假設(shè) (O) 成立，則邊界算子 Hα，0，H0，β和 Hα，β都是 X 到 Y 上的正有界算子，H0，β為 X 上的弱緊算子。

證明 邊界算子Hα，β的正有界性易知。因為

則

所以

由于

定理2 假設(shè) (O)成立，則擾動算子K是X上的正有界算子，且為弱緊算子。

證明 由算子K的定義易知K是X上的正有界算子。所以當ψ∈X，ψ＞0，r＞0時，有

因此ψ∈X，ψ ＞0，有

定理3 假設(shè) (O)成立，且存在λ1使得λ ＞λ1，有

則遷移算子A的譜σ(A)在右半平面上由至多可數(shù)個具有限代數(shù)重數(shù)的離散本征值組成。

證明 因為λ ＞λ1，由(7)式知:

其中 Fλ=(I － PλHα，0)－1PλH0，β，Lλ=(I － PλHα，0)－1Dλ。易知:

當 λ ＞ λ2＞ λ1時，有 (I － PλHα，0)－1≤ (I － Pλ2Hα，0)－1。所以

因為H0，β在X上是弱緊的，則Fλ在X上也是弱緊的，從而(Fλ)2在X上是緊的，所以可得

因此由Gohberg-Shmulyan定理知:(I－ (Fλ)N) 是有界可逆的( λ∈C，λS，S={λk:k=1，2，…};λk是 (I－ (Fλ)N)－1的極點。因為

所以

因此，若λ∈C，λS，則(18)式變?yōu)?/p>

(8)式變?yōu)?/p>

所以λ∈S是(I－T)－1的極點，從而算子T的譜σ(T)由至多可數(shù)個具有限代數(shù)重數(shù)的離散本征值組成，因為A=T+K，K是有界的，所以由Kato擾動定理知:遷移算子A的譜σ(A)在右半平面上由至多可數(shù)個具有限代數(shù)重數(shù)的離散本征值組成。

附注1 定理3中的 λ1是存在的。事實上，因為=0，所以存在 λ1＞ λ ，使得 λ ＞ λ1，有

附注2 由定理1知:算子H0，β是弱緊的，則存在一列有限秩算子按算子范數(shù)收斂到H0，β，不妨設(shè)H0，β為秩一算子，即有:

其中k1(·)∈ L1(I)，ki(·)∈ L1(J)，i=2，3。

引理1［5］條件同定理3，則

1)Pλ，Qλ，Dλ，Eλ，F(xiàn)λ和 Lλ在 λ ∈ {λ ∈ C|Reλ ＞ λ1} 上都是有界正算子;

2)當Reλ ＞ λ1+ω0(ω0＞ 0)時，(λ －T)－1和(λ －A)－1都是有界正算子;

3)若σ(A)≠，則存在一個最大的實有限代數(shù)重數(shù)的離散本征值λ－。

令

其中s (A)是A的譜界。則類似于文獻［5］可得:

定理4 條件同定理3，則

3)遷移算子A的譜σ(A)在右半平面上僅由有限個具有限代數(shù)重數(shù)的離散本征組成。

由本文的假設(shè)(O)和定理1及定理2可知:文獻［4］中的假設(shè)(O1)－(O3)被滿足，從而可知文獻［4］的主要結(jié)果定理2，又由定理4即知:

定理5 條件同定理3，則遷移半群V(t)的Dyson-phillips展式的9階余項R9(t)在X上是弱緊的，從而遷移算子A的譜σ(A)在右半平面上僅由有限個具有限代數(shù)重數(shù)的離散本征值組成。