人工巖心電頻譜實驗及飽和度評價模型研究

馬雪瑞，柯式鎮(zhèn)*，賀秋利，李君建，蔡亞琳

1 中國石油大學(北京)地球物理學院，北京 102249

2 中國石油大學(北京)油氣資源與探測國家重點實驗室，北京 102249

3 中國石油集團測井有限公司，西安 710077

4 上海石油天然氣有限公司，上海 200041

0 引言

巖石的電阻率隨著測量電流頻率變化而變化的現(xiàn)象稱之為巖石的電頻散現(xiàn)象。常規(guī)電阻率測井通過Archie公式在油氣評價中發(fā)揮了重要作用[1]。電頻譜測井是基于巖石的電阻率頻散現(xiàn)象發(fā)展起來的一種新的測井方法，其測量結(jié)果能夠包含地層豐富的信息。但由于巖石電阻率頻散的微觀機理還沒有形成統(tǒng)一的認識[2]，電頻譜測井的發(fā)展受到了很大的限制，因此急需開展此方面的研究。

上個世紀國內(nèi)外的研究學者就已經(jīng)對巖石的電阻率頻散特性給予了很多關注，由于測量條件的影響，研究學者對巖石電阻率性頻散的測量多在幾千赫茲及以下，并不能完整的觀察到完整的電阻率頻譜，且研究學者較為關注巖石的介電特性或巖石電導率的頻散與黏土含量或者CEC之間的關系[3-6]。新世紀以來，研究學者在較寬的頻率范圍內(nèi)研究了巖石復電阻率與潤濕性[7-8]，滲透率[9-14]等參數(shù)的關系，但是這些研究多只關注巖石復電阻率與某一種或者兩種因素的關系。Revile研究團隊近年對巖石復電導率的研究較多，但其研究頻率為超低頻，更關注巖石的激發(fā)極化效應[12-13]。而在應用復電阻率頻譜解決實際地層問題方面，也有很多學者進行研究。郭立新在2009年，結(jié)合油田實際情況，定性分析了復電阻率測井基于高低頻電阻率比值所建立的解釋模型的應用效果，但該研究只是對復電阻率飽和度模型進行了定性分析[14]；宋延杰等利用與有效介質(zhì)對稱各向異性導電理論所建立的復電阻率解釋模型，在水淹層解釋方面應用良好，但只針對了兩個頻率點進行探索[15]。近年來，對于復電阻率解釋模型的研究很多，但大多數(shù)都停留在定性分析的階段，或只在單一頻率下進行探討，沒有充分考慮到掃頻測量條件下巖樣的頻散情況。在前人對巖樣復電阻率頻散特性的研究中，Cole-Cole模型可以很好的表征巖樣的頻散特性。但對于Cole-Cole模型中參數(shù)的研究還處于理論階段，沒有將其與地層參數(shù)建立聯(lián)系。

本文在 40 Hz～110 MHz范圍內(nèi)測量了人造巖心的電阻率，考察了孔隙度、含水飽和度、礦化度、離子類型、溫度、黏土含量對巖心電阻率頻散特性的影響，利用Cole-Cole模型擬合實驗曲線并獲得了1 kHz電阻率與時間常數(shù)，研究了1 kHz電阻率和時間常數(shù)與各個影響因素的關系。同時，結(jié)合實驗數(shù)據(jù)定量的建立了Cole-Cole模型與地層參數(shù)之間的關系，即本文所建立的電頻譜飽和度解釋模型，并將模型模擬結(jié)果與天然巖心測量數(shù)據(jù)進行對比分析。

1 實驗過程

為考察各影響因素對巖石電阻率頻散特性的影響，本次實驗采用人造巖心，包括4塊純砂巖和2塊泥質(zhì)砂巖，本文所用到的巖心的參數(shù)如表1所示巖心均加工為直徑25 mm的柱塞狀，長度不小于3 cm。巖心分別飽和2.5 kppm、10 kppm、100 kppm的NaCl溶液和CaCl2溶液。測量過程分為兩部分，一是常溫下在油驅(qū)水過程中進行巖石的電頻譜測量，利用煤油進行驅(qū)替，最小驅(qū)替速率為0.01 mL/min，圍壓保持10 MPa恒定，計量巖石出水量；驅(qū)替結(jié)束后將巖心置于恒溫箱的夾持器中，改變恒溫箱的溫度，在20 ℃～80 ℃范圍內(nèi)測量巖石的復電阻率。實驗均采用二極法進行測量，測量儀器為HP4294A阻抗分析儀，測量頻率范圍為 40 Hz～110 MHz。

表1 巖心數(shù)據(jù)參數(shù)表Table 1 Sample parameters

2 數(shù)據(jù)處理與參數(shù)反演

2.1 數(shù)據(jù)處理

實驗測量過程中，由于測量阻抗值較大，加上環(huán)境干擾，實驗數(shù)據(jù)引入了很多高頻噪聲，需要對實驗數(shù)據(jù)進行去噪處理。小波變換在信號處理中有著廣泛的應用，在去除噪聲方面，小波變換可以進行多尺度分析，有著良好的去噪效果[16]。

信號f(x)的小波變換表示為：

其中，ψ(t)為基小波，a為伸縮因子，b為平移因子。本文采用的基小波為Morlet小波，在小波域中利用閾值去噪法將高頻噪聲去除，采用小波變換中常用的Mallat算法進行分解和重構(gòu)。

圖1為去噪前后的數(shù)據(jù)，所用數(shù)據(jù)為1-3號巖心數(shù)據(jù)的處理結(jié)果，孔隙水礦化度為2.5 kppm,離子類型為CaCl2。

圖1 去噪后的數(shù)據(jù)與測量數(shù)據(jù)Fig. 1 Denoised data and measurement data

2.2 參數(shù)反演

利用巖石物理實驗數(shù)據(jù)反演結(jié)果對解釋模型進行標定是復電阻率測井資料解釋的基礎，反演方法的選擇會對反演結(jié)果及其準確性產(chǎn)生影響，林小穩(wěn)，柯式鎮(zhèn)等比較了最小二乘法、模擬退火算法以及遺傳算法在反演Cole-Cole模型參數(shù)及實測數(shù)據(jù)方面的優(yōu)缺點，發(fā)現(xiàn)模擬退火算法在巖石復電阻率參數(shù)反演中，因其不依賴初值能夠得到全局最優(yōu)解，過程簡單，容易實現(xiàn)等優(yōu)點，被廣泛使用[17-18]。

巖石電阻率隨頻率的變化可以表示為[18]：

其中，ρ(ω)為復電阻率，??m；ρ0為1 kHz率時巖石電阻率，??m；m為極化率；τ為時間常數(shù)，c為頻率相關系數(shù)，ω為角頻率

在模型的選擇方面，Dias模型和基于二階乘積形式的Cole-Cole模型的擬合效果差不多，但由于其所涉及到的參數(shù)太多，應用在實際解釋中，意義不大，故選擇基于乘積形式的二階Cole-Cole模型(公式3)更具有優(yōu)勢，

式中各參數(shù)意義與一階Cole-Cole模型中參數(shù)意義相同。

本文基于乘積形式的二階Cole-Cole模型，利用模擬退火算法得到各個模型參數(shù)，如圖2所示，本次研究主要關注時間常數(shù)τ2(后文表示為τ)。

3 實驗結(jié)果

3.1 頻率的影響

圖3為測量的巖石復電阻率的實部和虛部。在40 Hz～110 MHz之間，復電阻率實部隨頻率的升高先緩慢下降，而后迅速下降，在6 MHz左右減小為0；起初，復電阻率虛部隨頻率升高略有升高，而后逐漸下降，達到最小值后逐漸上升并趨于0。低頻時，虛部值略有上升是由于電極極化引起的。

通常，將復電阻率虛部最小值對應的頻率定義為界面極化頻率fc，且反演出的時間常數(shù)與界面極化頻率的關系為[19]：

圖2 反演結(jié)果與實驗數(shù)據(jù)Fig. 2 Inversion data and measurement data

3.2 孔隙度的影響

由Archie公式可知，當其他條件一定時，孔隙度φ越小，地層電阻率R0越大[1]。圖4為飽含2.5 kppmCaCl2溶液時，不同孔隙度的純砂巖巖心復電阻率與頻率的關系，從圖中可知隨著孔隙度的減小，巖石的頻散程度增強，實部和虛部電阻率增大，虛部谷底頻率減小。

巖石導電主要依靠巖石孔隙空間中的礦化水。當巖石的孔隙度減小，巖石孔隙空間減小，孔隙水中所含離子數(shù)目減小，使得巖石導電能力減弱，電阻率上升；同時，孔隙水中離子數(shù)目的減少，也直接導致了孔隙空間中離子發(fā)生極化時間的減小，虛部谷底頻率增大，時間常數(shù)減小。

圖3 典型巖心電阻率頻散曲線Fig. 3 Typical core resistivity dispersion curves

3.3 含水飽和度的影響

由Archie公式可知，對于含油的巖石，當其他條件一定時，巖石的電阻率隨著含水飽和度的減小而增大[1]。圖5為孔隙水是10 kppmNaCl溶液時，不同含水飽和度的1-2號純砂巖巖心復電阻率。由圖可知，巖心復電阻率實部和虛部隨著含水飽和度的減小而增大，虛部谷底頻率隨含水飽和度的減小而減小。

同孔隙度的影響相似。隨著含水飽和度的降低，當巖石孔隙空間中導電的水被不導電的油占據(jù)，導電通道減小，巖石孔隙水中所含離子數(shù)目減少，巖石的導電能力下降，電阻率升高；同時，孔隙水中離子數(shù)目減小，導致離子發(fā)生極化的時間增大，故巖石的時間常數(shù)隨著含水飽和度的降低而增大，谷底頻率向低頻方向移動。

圖4 不同孔隙度的純砂巖巖心電阻率頻散曲線(a)實部曲線；(b)虛部曲線Fig. 4 Resistivity dispersion curves of pure sands with different porosity (a)curves of the real part, (b)curves of the imaginary part

3.4 溫度的影響

圖6為飽含100 kppmNaCl溶液的1-1號巖心在不同溫度下的巖心電阻率頻散曲線。在實際地層中，埋藏越深，地層的溫度越高。從圖中可以看出巖心實部電阻率和虛部電阻率均隨溫度的升高而減小，同樣，1 kHz電阻率和時間常數(shù)也隨溫度的升高而減小。因為溫度越高，巖石孔隙水中的離子運動速率加快，導致巖心導電能力增強，巖心電阻率減?。煌瑫r，離子運動速率變大，使得發(fā)生極化的時間減小，時間常數(shù)隨溫度的升高而減小，谷底頻率向著頻率增大方向移動。

圖5 不同含水飽和度的純砂巖巖心電阻率頻散曲線(a)實部曲線；(b)虛部曲線Fig. 5 Resistivity dispersion curves of pure sands with different water saturation (a)curves of the real part, (b)curves of the imaginary part

圖6 不同溫度下1-1號巖心電阻率頻散曲線(a)實部曲線；(b)虛部曲線Fig. 6 Resistivity dispersion curves of the 1-1 sample at different temperature (a)curves of the real part, (b)curves of the imaginary part

3.5 礦化度的影響

巖心孔隙水的礦化度對巖石的導電性有很大的影響。圖7為1-2號巖心在完全飽和不同礦化度NaCl溶液的巖心電阻率頻散曲線。從圖中可以看出，隨著孔隙水礦化度的升高，巖石電阻率頻散程度減小，巖石復電阻率實部和虛部電阻率減小，虛部谷底頻率增大。

由于礦化度的升高，巖石孔隙水中導電離子數(shù)目增多，孔隙水導電能力增強，導致巖石電阻率下降；同時，孔隙水中離子數(shù)目的增多，使得在一定的孔隙空間內(nèi)發(fā)生極化的時間減小，所以弛豫時間隨礦化度升高而減小，谷底頻率向著頻率增大的方向移動。

圖7 1-2號巖心在完全飽和不同礦化度NaCl溶液的巖心電阻率頻散曲線(a)實部曲線；(b)虛部曲線Fig. 7 Resistivity dispersion curves of the 1-2 sample saturated with NaCl solution with different salinity (a)curves of the real part, (b)curves of the imaginary part

圖8 相同礦化度下飽含NaCl溶液和CaCl2溶液的巖心電阻率頻散曲線(a)實部曲線；(b)虛部曲線Fig. 8 Resistivity dispersion curves of a sample saturated with NaCl solution and CaCl2 solution with same salinity (a)curves of the real part, (b)curves of the imaginary part

3.6 離子的影響

從圖8中可以看出，相同礦化度下，飽含CaCl2溶液的巖心電阻率頻散程度更大，電阻率阻值更高，虛部谷底頻率更小，時間常數(shù)更大。因為在礦化度單位同為ppm(mg/L)時，CaCl2的分子量更大，故等量的溶液中CaCl2溶液的離子數(shù)較少，且CaCl2溶液與NaCl溶液中電荷量基本相當。因此飽含CaCl2溶液的巖心電阻率較高。由于鈣離子半徑更大，遷移速率較低，故時間常數(shù)較大，界面極化頻率較低。

3.7 黏土含量的影響

圖9中涉及的三塊巖心是1-2號純砂巖巖心，氣測孔隙度為17.27%；巖心編號為4-1的含有10%伊利石的泥質(zhì)砂巖巖心，氣測孔隙度為16.57%；巖心編號為4-2的含有20%伊利石的泥質(zhì)砂巖巖心，氣測孔隙度為17.63%。隨著黏土含量的增加，巖心電阻率頻散程度降低，實部電阻率和虛部電阻率均減小，虛部谷底頻率向頻率增大的方向移動。同樣，隨著黏土礦物含量的增加，巖石電阻率與時間常數(shù)有所減小。

由于黏土礦物離子雙電層的附加導電性[21]，使得含有泥質(zhì)的砂巖電阻率較同等情況下砂巖電阻率較低。在一定的含量范圍內(nèi)，巖石電阻率隨巖石含黏土礦物含量的增大而減小。同時，泥質(zhì)砂巖中，極化是由界面極化和離子雙電層極化共同組成[22]，且界面極化的影響大于離子雙電層形變的影響。在電場的作用下，離子雙電層發(fā)生形變，電場反方向一側(cè)積累較多負電荷，沿電場方向積累較多正電荷，黏土礦物顆粒附著在孔隙壁兩側(cè)，自由水中的正負離子為抵消離子雙電層形變的影響，一部分電荷被中和掉了，故界面極化效應減弱，使得在同樣的電場強度下整體極化強度減小，離子恢復平衡的時間減小，導致時間常數(shù)減小，界面極化頻率向著頻率增大方向移動。。

3.8 反演結(jié)果分析

本文將實驗所測得的數(shù)據(jù)基于乘積形式的二階Cole-Cole模型進行擬合，并利用模擬退火算法得到時間常數(shù)τ，探究了各影響因素對時間常數(shù)以及1 kHz情況下巖石實部電阻率的影響。

圖10～圖11分別為純砂巖巖心含水飽和度和孔隙度的改變對1 kHz電阻率和時間常數(shù)的影響。從圖中可以看出，隨著含水飽和度和孔隙度的增大，1 kHz電阻率和時間常數(shù)均呈冪指數(shù)形式衰減。隨著含水飽和度和孔隙度的增大，孔隙中可以自由移動的離子數(shù)目增多，使得整個巖樣的導電性增強，引起電導率升高，電阻率降低，而且離子數(shù)目的增多，極大的減少了巖石內(nèi)部的極化時間，使得時間常數(shù)減小。

圖9 孔隙度相似且泥質(zhì)含量不同的巖心電阻率頻散曲線(a)實部曲線；(b)虛部曲線Fig. 9 Resistivity dispersion curves of samples with similar porosity and different clay contents (a)curves of the real part, (b)curves of the imaginary part

圖12為泥質(zhì)砂巖的含水飽和度的改變對1 kHz電阻率和時間常數(shù)的影響。從圖中我們可以看出，與純砂巖類似的，含水飽和度的改變對電阻率和時間常數(shù)的影響規(guī)律也十分相近。

經(jīng)上述分析，在實驗的過程中，結(jié)合虛部實驗數(shù)據(jù)和頻率的關系，發(fā)現(xiàn)在頻率不為零的時候，時間常數(shù)滿足如下經(jīng)驗公式：

其中，ρ0為巖石在1 kHz條件下的電阻率，Pτ和Qτ均為常數(shù)。

4 電頻譜測井飽和度模型

巖石復電阻率頻散特性的研究對建立電頻譜測井飽和度模型至關重要，由于外加電場以及孔隙流體的存在，會使巖石呈現(xiàn)阻抗和容抗的特性。而Cole-Cole模型可以描述激發(fā)極化效應以及描述低頻部分，復電阻率頻散響應可以表示為多個Cole-Cole模型的組合，該模型能夠很好的擬合復電阻率曲線。模型可以表達為：

圖10 純砂巖的1 kHz電阻率和時間常數(shù)與含水飽和度的關系(a)電阻率曲線；(b)時間常數(shù)曲線Fig. 10 1 kHz resistivity and time constant of pure sandstone with different water saturation (a)curve of resistivity, (b)curve of time constant

圖11 純砂巖的1 kHz電阻率和時間常數(shù)與孔隙度的關系(a)電阻率曲線；(b)時間常數(shù)曲線Fig. 11 1 kHz resistivity and time constant of pure sandstone with different porosity (a)curve of resistivity, (b)curve of time constant

其中，ρ0為零頻電阻率；η為極化率，0＜η＜1；ω為角頻率；τ為時間常數(shù)，c為頻率相關系數(shù)，0 ≤c≤ 1。

在電流頻率為零時，即在直流條件下，巖石的電阻率ρ0滿足阿爾奇公式，則有：fc為谷底頻率；

而通過式(5)我們可以將時間常數(shù)與電阻率建立聯(lián)系。

綜上，本文將Cole-Cole模型參數(shù)與地層參數(shù)建立關系：

根據(jù)以上建立的模型，模擬了巖心復電阻率與含水飽和度、孔隙度、溫度、礦化度的關系。從圖13～圖16中可以看出，隨著影響因素的改變，模擬的曲線的變化趨勢與前文實驗中所得到的結(jié)果吻合情況良好，說明該模型能夠很好的表征Cole-Cole模型參數(shù)與地層參數(shù)之間的關系。

圖12 泥質(zhì)砂巖的1 kHz電阻率和時間常數(shù)與含水飽和度的關系(a)電阻率曲線；(b)時間常數(shù)曲線Fig. 12 1 kHz resistivity and time constant of shaly sandstone with different water saturation (a)curve of resistivity, (b)curve of time constant

圖13 模擬的不同含水飽和度下的巖心復電阻率Fig. 13 Simulation of core complex resistivity with different water saturations

圖14 模擬的不同孔隙度下的巖心復電阻率Fig. 14 Simulation of core complex resistivity with different porosity

圖15 模擬的不同礦化度下的巖心復電阻率Fig. 15 Simulation of core complex resistivity with different salinity

圖16 模擬的不同溫度下的巖心復電阻率Fig. 16 Simulation of core complex resistivity with different temperature

為更好的驗證模型的應用效果，本文測量了一塊天然純砂巖巖心的復電阻率頻譜，測量環(huán)境為常溫條件，巖心的孔隙度為27.3%，孔隙水為10 kppm 的NaCl 溶液，利用所推導出的復電阻率頻譜解釋模型，來對該天然巖心含水飽和度進行預測，圖17為利用時間常數(shù)所計算出的含水飽和度與巖樣實測含水飽和之間的對比圖，從圖中可以看出，通過模型計算出的含水飽和度與在實驗中所測得的巖樣的實際含水飽和的基本一致。

在上述的分析中可知，時間常數(shù)τ是與虛部谷底頻率有關的參數(shù)，其值的大小受含水飽和度的影響。而上述模型將時間常數(shù)與含水飽和度之間的關系轉(zhuǎn)為定量分析，即在實際應用中，可以通過時間常數(shù)的值以及實部電阻率的值同時對含水飽和度進行計算，這樣在很大程度上提高了計算的含水飽和度的精度。

圖17 利用時間常數(shù)計算的飽和度與測量值對比Fig. 17 Relationship between saturation calculated using time constants and measured values

5 結(jié)論

巖心電頻譜受孔隙度、飽和度、礦化度、離子類型、溫度、黏土含量的影響。隨著孔隙度、含水飽和度、礦化度、溫度、黏土含量的增大，巖心電阻頻散程度減弱，巖心實部電阻率和虛部電阻率均變小。

1 kHz 下電阻率和通過Cole-Cole模型參數(shù)反演出的時間常數(shù)，二者同樣隨著孔隙度、含水飽和度、礦化度、溫度、黏土含量的增大而減小，整體呈冪函數(shù)的衰減形式，而且二者隨各個影響因素變化規(guī)律相似。

通過電阻率和時間常數(shù)，建立Cole-Cole模型中參數(shù)與實際地層參數(shù)之間的關系，建立了電頻譜飽和度解釋模型，并應用模型計算數(shù)據(jù)與人造巖心實驗數(shù)據(jù)和天然巖心實驗數(shù)據(jù)進行相互驗證，利用虛部信息反演出的時間常數(shù)值所計算出的含水飽和度的值與實際測量值吻合度很高，驗證結(jié)果表明模型確有可行性。