解讀條件與成果擴大：較難題的教學(xué)關(guān)鍵

☉江蘇省張家港外國語學(xué)校 周桂榮

進入中考復(fù)習(xí)之后，每份綜合試卷都會有2～3道較難題用來承擔(dān)區(qū)分選拔功能，這些較難題往往因為小問之間的梯度拉開較大，學(xué)生在較短時間內(nèi)不能獲得思路，或者苦惱于無思路，待到講評時教師一講又覺得特別簡單，往往發(fā)出“考試時我怎么就沒有想到這個思路呢”的感嘆.本文結(jié)合最近一次較難題的教學(xué)案例，談?wù)勗谳^難題教學(xué)過程中要注意引導(dǎo)學(xué)生解讀條件并促進學(xué)生成果擴大，以便自主發(fā)現(xiàn)較難題的求解思路.

一、較難題的教學(xué)案例

（1）AP⊥BC時，求運動時間t.

（2）在運動過程中，是否存某一時刻，使得△APQ為直角三角形？如果存在，求出t的值.

（3）當t＞6時，記△APQ的面積為S，求S與t的關(guān)系式.

圖1

圖2

圖3

圖4

圖5

圖6

講評記錄：第（1）問比較簡單，如圖2，只是讓學(xué)生初步感受過點A作BC邊上的高AP，并熟悉該圖形中一些重要數(shù)據(jù)，比如，△ABP三邊之比是1∶2∶，△APC三邊之比是1∶1∶，學(xué)生對這個小問都能順利解決.

第（2）問第一種情況就是在圖2的基礎(chǔ)上，畫出BC邊上的高AQ，PQ=BQ，這就是符合要求的一種情況.但是當點P運動到AC邊上時，有學(xué)生構(gòu)圖時就出現(xiàn)了困難.筆者安排學(xué)生上臺先在AC上任取一點P，連接BP，并取中點Q，不斷調(diào)整構(gòu)造出如圖4這樣的相對精準的圖形，這時大家就發(fā)現(xiàn)了△ABP是特殊三角形（等腰三角形），從而就容易求出AP的長，于是運動時間就確定了.

對于第（3）問，學(xué)生的主要障礙在AP邊上的高QH無法用含t的式子表示.這時我們引導(dǎo)學(xué)生反復(fù)讀題，深入思考“動中點”Q的運動軌跡，學(xué)生發(fā)現(xiàn)了如圖6這樣的情況，于是想清了AP邊上的高一定等于Q1H，進一步利用直角三角形Q1HC中的邊角關(guān)系.由CQ1=3，就可求出Q1H的長為

教后反思：教學(xué)過程中，在第（2）問求解出現(xiàn)困難時，安排學(xué)生構(gòu)造草圖、反復(fù)調(diào)整，這是對題目條件的深入理解、精準構(gòu)圖的需要；而對于第（3）問，當學(xué)生出現(xiàn)困難時，我們沒有直接告知思路，只是啟發(fā)他們退回條件進行分析，想清Q點的運動軌跡（也就是促進學(xué)生追求“成果擴大”，豐富對中點Q的信息解讀），這樣對于發(fā)現(xiàn)AP邊上的高是不變的很有幫助.

考題2：已知正方形ABCD，點A（0，-4）、B（1，-4）、C（1，-5）、D（0，-5），拋物線y=x2+mx-2m-4（m為常數(shù)）的頂點為M.

（1）小海發(fā)現(xiàn)拋物線會經(jīng)過一個定點，請分析小海的發(fā)現(xiàn)是否正確，并說明理由；

（2）求頂點M的坐標（用含m的代數(shù)式表示）；

（3）若拋物線y=x2+mx-2m-4（m為常數(shù)）與正方形ABCD的邊有交點，求m的取值范圍.

講評記錄：（1）拋物線y=x2+mx-2m-4改寫為y=（x-2）m+x2-4，于是可確認x=2時，y的值為0，與m無關(guān)，即拋物線經(jīng)過定點（2，0）.

（3）對于這一問，不少學(xué)生表示沒有思路，追問他們原因，發(fā)現(xiàn)多數(shù)學(xué)生感覺拋物線是運動的，無法畫出草圖分析.于是先引導(dǎo)學(xué)生分析前兩問，進行成果擴大.首先，拋物線會經(jīng)過定點（2，0），進一步，頂點坐標說明頂點的運動軌跡是什么？學(xué)生經(jīng)過分析，取x=-，y=-m2-2m-4，則m=-2x，代入后得y=-x2+4x-4，確認了頂點在拋物線y=-（x-2）2上運動.在此基礎(chǔ)上，可以畫出草圖7分析，從而確認拋物線在運動變換過程中與正方形ABCD的兩次臨界相交情況（頂點在點A處，拋物線經(jīng)過點C）.把點A（0，-4）的坐標代入y=x2+mx-2m-4，解得m=0；把點C（1，-5）的坐標代入y=x2+mx-2m-4，解得m=2.所以0≤m≤2.

圖7

教后反思：較難題的解題思路難以打開時，往往是因為前后問題之間的“落差”較大，學(xué)生缺少必要的鋪墊式問題來“過渡”，這也啟發(fā)我們在解題教學(xué)中，要善于預(yù)設(shè)鋪墊式問題，通過啟發(fā)式講授幫助學(xué)生順利地獲得思路，提高解題教學(xué)效率，也促進學(xué)生學(xué)會解題.

考題3：如圖8，⊙O的直徑AB=26，P是AB上（不與點A、B重合）任一點，C、D為⊙O上兩點.若∠APD=∠BPC，則稱∠CPD為直徑AB的“回旋角”.

（1）若∠BPC=∠DPC=60°，求證：∠CPD是直徑AB的“回旋角”.

圖8

圖9

教學(xué)記錄：（1）證明的關(guān)鍵是計算出∠APD=∠BPC=60°.于是∠CPD是直徑AB的“回旋角”.

（2）這一問對學(xué)生來說有些困難，這時啟發(fā)他們補全同形，如圖9，延長CP，交⊙O于點E，連接DE、OD、OC.由的長為π，r=13，可得圓心角∠DOC=45°.接下來引導(dǎo)學(xué)生思考同弧所對的圓心角與同弧所對的“回旋角”有怎樣的關(guān)系.學(xué)生在圖9中推理，如下所示：

∠2=∠3，∠1=∠2，可得∠1=∠3. 由于點D、E關(guān)于AB對稱，所以PD=PE.于是∠DPC=2∠E.結(jié)合∠DOC=2∠E，得“回旋角”與圓心角相等，即∠DPC=∠DOC=45°.

教后反思：當學(xué)生思維受阻時，教師需要預(yù)設(shè)恰當?shù)膯l(fā)式問題，這些提示語既不能直接告知答案，也不能與答案的距離“過近”，需要設(shè)計一些“跳一跳，夠得到”的思路啟示或鋪墊式問題，讓學(xué)生繼續(xù)挑戰(zhàn)、接通思路.

二、關(guān)于較難題解題教學(xué)的幾點思考

1.教師要對較難題關(guān)鍵解題步驟有準確研判

較難題的講評往往會占去很多課堂教學(xué)時間，有時講評之后效果并不理想，因為講評時重點不夠突出，難點突破沒有得到充分展示，所以學(xué)生對難點、易錯點、關(guān)鍵步驟沒有達到深刻理解.這就需要教師在課前解答較難題時不能只是滿足于解題思路的貫通、答案的獲得，而且要善于解后反思，想清辨明這道較難題的關(guān)鍵步驟是哪一步或哪幾步，難點在哪兒，易錯點、易混點在哪兒，怎樣體現(xiàn)“回到概念”去解題的解題理念，這樣在講評時才可能做到有的放矢、重點突出地講評與引導(dǎo).

2.解題教學(xué)之前要精心預(yù)設(shè)鋪墊式問題

較難題的解題教學(xué)之前，教師要精心備課，特別是預(yù)設(shè)鋪墊式問題，以便當學(xué)生思維受阻時能通過恰當?shù)奶釂柣騿l(fā)，使學(xué)生“有路可循”，自主發(fā)現(xiàn).鋪墊式問題的設(shè)計要針對習(xí)題的難點或關(guān)鍵步驟，圍繞題目條件或某些經(jīng)典問題的結(jié)構(gòu)進行.比如，上文“考題3”，當學(xué)生思路不通時，我們通過啟發(fā)學(xué)生思考新定義“回旋角”與圓心角之間的關(guān)系，引領(lǐng)學(xué)生嘗試證明它們相等，從而打開思路，這種鋪墊式問題不但實現(xiàn)了解題目的，也是向?qū)W生傳遞會解題的思考方法，即當我們遇到一些較難題時，要善于“向后退”，退到條件再出發(fā)，反復(fù)解讀條件中的信息，成果擴大后再迎難而上.

3.引導(dǎo)學(xué)生解后反思想清辨明關(guān)鍵步驟

較難題講評之后，不少教師一般會安排一定的時間讓學(xué)生整理過程，不然有些學(xué)生只顧聽講，似能理解，但記不下來過程，下課之后黑板擦了，很快又忘了.我們認為，不但要安排學(xué)生做適當?shù)倪^程記錄，還要引導(dǎo)學(xué)生進行解后反思，突出解題步驟中哪些是關(guān)鍵步驟，哪些是易錯步驟，哪些是自己沒有想到的一種解題念頭，等等.要通過解題教學(xué)中滲透解后反思的教學(xué)環(huán)節(jié)，促進學(xué)生善于解后反思這一優(yōu)秀習(xí)慣的養(yǎng)成.