微專題復(fù)習(xí)：值得重視的一類課型
——以“黃金分割”專題復(fù)習(xí)課為例

☉江蘇省蘇州高新區(qū)實(shí)驗(yàn)初級中學(xué) 丁 香

黃金分割是一個(gè)非常重要的知識點(diǎn)，各種版本的教材都在不同章節(jié)通過例、習(xí)題或數(shù)學(xué)活動進(jìn)行滲透，作為中考復(fù)習(xí)，有必要將黃金分割作為一個(gè)專題復(fù)習(xí).本文是筆者設(shè)計(jì)的一節(jié)“黃金分割”專題復(fù)習(xí)課，整理出來，供研討.

一、“黃金分割”專題復(fù)習(xí)活動設(shè)計(jì)

活動1：復(fù)習(xí)黃金分割的定義

問題1：如圖1，點(diǎn)C在AB上，AC∶AB=BC∶AC.若AB=1，求AC的長.

圖1

預(yù)設(shè)：學(xué)生利用一元二次方程解出AC的長為之后，給出黃金分割比值，指出它的近似值通常用0.618表示，進(jìn)一步給出定義.

定義：黃金分割是指將整體一分為二，較大部分與整體部分的比值等于較小部分與較大部分的比值，其比值

運(yùn)用定義解釋以下尺規(guī)作圖：

如圖2，以AB為直角邊作直角三角形ABC，使∠ABC=90°，BC=AB，在斜邊AC上取CP=CB，再在AB上取AG=AP.則點(diǎn)G為線段AB的黃金分割點(diǎn).

圖2

活動2：認(rèn)識黃金三角形

問題2：如圖3，在等腰△ABC中，頂角∠A=36°，BD為∠ABC的平分線.

（1）求證：AD=BD；

（2）圖中有三角形相似嗎？

（3）若AC=2，求底邊BC的長.

教學(xué)組織：在學(xué)生練習(xí)之后，引導(dǎo)他們根據(jù)黃金分割的定義，確認(rèn)點(diǎn)D為邊AC的黃金分割點(diǎn)，這種三角形常常稱為“黃金三角形”（頂角為36°的等腰三角形），它的底邊與腰長的比值為

圖3

活動3：找一找黃金分割點(diǎn)

問題3：以下構(gòu)圖簡單、自然，卻能得出黃金分割點(diǎn)，你能說明理由嗎？

（1）如圖4，分別以BC為一邊向兩側(cè)作等邊三角形ABC和正方形BCDE.以點(diǎn)C為圓心、CE為半徑畫弧，與射線AB交于點(diǎn)F.則B是線段AF的黃金分割點(diǎn).

圖4

圖5

（2）如圖5，先構(gòu)造邊長分別為3、4、5的三角形ABC.作角B的平分線，與邊AC交于點(diǎn)D.以點(diǎn)D為圓心、DA為半徑作圓，與角平分線分別交于點(diǎn)E、F.則E是線段BF的黃金分割點(diǎn).

（3）如圖6，畫一個(gè)含30°角的直角三角形ABC，∠ABC=30°，∠C=90°.取AB的中點(diǎn)E，以點(diǎn)E為圓心、AB的長為半徑畫圓，與CB的延長線交于點(diǎn)D，則B為線段CD的黃金分割點(diǎn).

教學(xué)組織：通過幾個(gè)好懂的作圖得出黃金分割點(diǎn)，安排學(xué)生“回到定義”去判斷，加深對黃金分割比值的理解.

圖6

活動4：考題中的黃金分割

問題4：如圖7，菱形ABCD中，點(diǎn)E是對角線AC上一點(diǎn)，且EA=AB，EB=EC=ED=1，求菱形的邊長.（至少兩種方法求解）

圖7

解法預(yù)設(shè)：

圖8

解法1：如圖8，連接BD交AC于點(diǎn)O，設(shè)菱形的邊長為x，則在直角三角形AOD、直角三角形DOE中，利用公共邊DO，可得關(guān)于x的方程，解得x=

解法2：可證△CDE∽△CAD，可得CD2=CE·AC.設(shè)菱形的邊長CD為x，可得x2=1·（x+1），解得

解法3：設(shè)∠CDE=α，容易導(dǎo)出∠DCE=α，∠DAE=α，∠ADE=∠DEA=2α.在△ADE中，利用三角形內(nèi)角和可求出α=36°，于是△ADE是黃金三角形，底邊DE=1，則腰長為，即菱形的邊長為

教學(xué)組織：先安排學(xué)生獨(dú)立練習(xí)，然后組內(nèi)展示不同解法，最后由小組派出代表上臺講解，教師點(diǎn)評時(shí)注意引導(dǎo)學(xué)生識別黃金三角形.

二、教學(xué)立意的進(jìn)一步解讀

1.深入研究教材，挑出在不同分冊的素材與題例

教材編寫者對一些經(jīng)典問題或奇異性質(zhì)往往采取分批呈現(xiàn)、螺旋上升的安排方式，像本文關(guān)注的黃金分割的經(jīng)典圖形，在八年級上學(xué)期學(xué)習(xí)等腰三角形時(shí)就出現(xiàn)過“黃金三角形”，但是由于當(dāng)時(shí)還沒有相似的知識，也沒有一元二次方程的知識儲備，所以對“黃金三角形”的研究并不深入，所以這個(gè)圖形在本專題復(fù)習(xí)中得到全面關(guān)注和研究.此外，有些教材在圖形認(rèn)識初步學(xué)習(xí)時(shí)，讓學(xué)生通過畫四邊形，并取四邊中點(diǎn)得到“中點(diǎn)四邊形”，學(xué)生通過度量、猜想發(fā)現(xiàn)中點(diǎn)四邊形的性質(zhì)，但由于沒有學(xué)到平行四邊形、中位線的性質(zhì)，所以在七年級時(shí)沒有進(jìn)行證明，這也是不同分冊的教材對經(jīng)典問題、奇異性質(zhì)的分批呈現(xiàn)與螺旋上升，我們在中考備考復(fù)習(xí)時(shí)就要注意抓取這些素材，引導(dǎo)學(xué)生“再認(rèn)識”.

2.檢索各地考卷，精選體現(xiàn)黃金分割考點(diǎn)的習(xí)題

研究中考試題是很多同行的興趣，特別是針對一些較難的綜合題進(jìn)行解析更是不少教研群（QQ群、微信群）的主要內(nèi)容，然而針對經(jīng)典問題（如黃金分割）這樣的專題研究不是很多，似乎研究考題一定有要“獵奇”的追求.我們通過檢索各地考卷發(fā)現(xiàn)，在不少地區(qū)（如上海、安徽等地）關(guān)鍵考題的位置上都隱含考查了黃金分割的考點(diǎn).需要注意的是，這種檢索并不是按關(guān)鍵字、關(guān)鍵詞來檢索，而是需要認(rèn)真解題，在演算過程中發(fā)現(xiàn)試題中存在黃金分割的結(jié)構(gòu)特征，這類習(xí)題就需要被抓取出來，作為歸類收集的重要素材，為日后研發(fā)黃金分割習(xí)題課積累資料.

3.注重演算說理，呈現(xiàn)數(shù)學(xué)問題預(yù)設(shè)多解與追問

黃金分割的相關(guān)作圖、構(gòu)圖方法很多，如何帶領(lǐng)學(xué)生解讀、理解這些方法也是備課階段重點(diǎn)考慮的.在上面的課例中，我們提供了4種較為典型的構(gòu)圖方法，為了節(jié)約課堂時(shí)間，沒有安排學(xué)生模仿作圖，而是安排學(xué)生對這些構(gòu)圖方法進(jìn)行解讀、演算，通過運(yùn)算確認(rèn)構(gòu)圖方法的正確性，也感受到黃金分割的奇異之美.另外，對一些典型問題還預(yù)設(shè)了不同思路，要求學(xué)生運(yùn)用不同方法解答，體現(xiàn)思維的發(fā)散性，同時(shí)不同的解法也對應(yīng)著不同知識模型，體現(xiàn)黃金分割與多個(gè)不同知識模型的廣泛聯(lián)系.

三、關(guān)于微專題復(fù)習(xí)的兩點(diǎn)思考

1.值得重視的微專題復(fù)習(xí)課型

我們注意到高考備考階段特別重視微專題的復(fù)習(xí)研討活動，在中考復(fù)習(xí)階段也有不少教師積極嘗試，開展了中考微專題復(fù)習(xí)課型的建構(gòu)與推介，這些都給我們積極啟示.從教學(xué)實(shí)踐來看，微專題復(fù)習(xí)課能讓學(xué)生更有參與的熱情，充滿探索新知的興奮與樂趣，是值得我們積極參與的一類課型.相比傳統(tǒng)的中考復(fù)習(xí)分一輪、二輪，微專題復(fù)習(xí)這種“八股化”做法，以某一個(gè)知識點(diǎn)或主題推進(jìn)復(fù)習(xí)進(jìn)程，所選習(xí)題跨不同年級，形散神聚，讓學(xué)生有“一線串珠”的感覺.

2.微專題復(fù)習(xí)課重在精選主題

微專題復(fù)習(xí)課的備課選題需要教師長期積累，特別是針對本地區(qū)中考試題、課本例題和習(xí)題有深入的對比研究，能敏銳地抓取出一些典型問題，挑選出一些有價(jià)值的研究主題，然后將這些典型例、習(xí)題或考題在某一個(gè)主題下由易到難“串題成課”，使得一節(jié)課下來，學(xué)生訓(xùn)練不同章節(jié)的習(xí)題，但都是聚焦某一條主線，漸次展開.上文關(guān)注的黃金分割，其實(shí)還可以主題關(guān)注“圍長方形問題”，從七年級的字母表示數(shù)、一元一次方程，到八年級的整式乘除、因式分解、分式運(yùn)算，再到九年級的一元二次方程、二次函數(shù)等，都可以聚焦“圍長方形問題”；再比如，聚焦“三個(gè)一次”，關(guān)注一元一次方程、一元一次不等式、一次函數(shù)之間的聯(lián)系，等等.這些都是值得研究的微專題復(fù)習(xí)課.